ملخص الدرس / الثآنية ثانوي/رياضيات/الجبر و التحليل/المعادلات المتراجحات من الدرجة 2

الدوال كثيرة الحدود

الدالة كثير حدود :

تعريف : 

نسمي دالة كثير حدود (أو كثير حدود) كل دالة  معرفة على  ب: 

حيث  عدد طبيعي و  أعداد حقيقية ثابتة 

أمثلة : 

كل دالة ثابتة :  هي دالة كثير حدود و بصفة خاصة الدالة المعدومة 

الدوال :  ,  ,   هي كثيرات حدود 

2- درجة كثير حدود :

مبرهنة و تعريف : 

كل دالة كثير حدود غير معدومة  تكتب بطريقة وحيدة على الشكل :  مع 

يسمى العدد الطبيعي  درجة كثير الحدود   تسمى الأعداد   معاملاته و يسمى  الحد الذي درجته 

أمثلة :

كل دالة ثابتة :  هي كثير حدود درجته 

كل دالة تآلفية :   هي كثير حدود درجته 

كل دالة :  هي كثير حدود درجته 

( تسمى أيضا ثلاثي حدود من الدرجة الثانية ) 

ملاحظة : درجة كثير الحدود المعدوم غير معينة 

3- تساوي كثيري حدود :

مبرهنة :

يكون كثير حدود معدوما اذا و فقط اذا كانت كل معاملاته معدومة .

يكون كثيرا حدود غير معدومين متساويين اذا و فقط اذا كانا من نفس الدرجة و كانت معاملات الحدود من نفس الدرجة متساوية 

مثال :

اذا كان لدينا من أجل كل عدد حقيقي   

فان :   و 

4 - عمليات كثيرات الحدود :

تسمح قواعد الحساب الجبري من التوصل الى النتائج التالية :

1- مجموع , فرق و جداء كثيرات حدود .

2- مركب كثيري حدود هو كثير حدود .\

3- جداء كثيري حدود غير معدومين درجتاهما  و  على الترتيب هو كثير حدود درجته 

ملاحظة : بصفة عامة حاصل قسمة كثير حدود  على كثير حدود  ليس كثير حدود و تسمى الدالة :  دالة ناطقة . 

5- جذر كثير حدود :

تعريف :

ليكن  كثير حدود درجته أكبر من أو تساوي  و  عدد حقيقي 

العدد  جذر لكثير الحدود  يعني 

مثال : 

ليكن  كثير الحدود المعرف ب: 

لدينا :  و منه  هو جذر لكثير الحدود  بينما العدد  ليس جذرا له لأن 

6- تحليل كثير حدود باستعمال  :

مبرهنة : 

ليكن  كثير حدود درجته أكبر من أو يساوي  و  عدد حقيقي . 

اذا كان  ( جذر لكثير الحدود  ) فانه يوجد كثير حدود  بحيث من أجل كل عدد حقيقي  لدينا : 

مثال :

ليكن  كثير الحدود المعرف ب: 

لدينا :   و  و  ومنه الأعداد 1، 2 و 3 هي جذور لكثير الحدود  , يمكن اذن تحليل  و لدينا : 

المعادلات من الدرجة الثانية

1- المعادلات من الدرجة الثانية :

تعريف : 

نسمي معادلة من الدرجة الثانية ذات المجهول كل معادلة يمكن كتابتها على الشكل :  حيث و   أعداد حقيقية ثابتة مع 

2- حل المعادلة  : 

نعتبر المعادلة من الدرجة الثانية ذات المجهول  التالية : 

باستعمال الشكل النموذجي نبرهن على المبرهنة التالية : (الجدول 1) 

ملاحظة : اذا كان  نقول أن المعادلة   تقبل حلا مضاعفا 

البرهان :

نكتب العبارة في الطرف الأول للمعادلة  على شكلها النموذجي ، عندئذ نميز ثلاث حالات : 

 نكتب  و منه 

 

للمعادلة حلان هما  ، 

 :  ومنه للمعادلة حل وحيد هو 

 : لدينا  ، و بالتالي  ومنه المعادلة لا تقبل حلولا 

مبرهنة : 

لتكن المعادلة  مع  ،  مميزها :

- اذا كان   فان المعادلة تقبل حلين   :   ،  و ينتج

- اذا كان  فان المعادلة تقبل حلا مضاعفا   ( نعني بحل مضاعف ، حلان متطابقان ) و ينتج 

- اذا كان  فان المعادلة لا تقبل حلولا و العبارة  لا تحلل 

مثال : حل في  المعادلات التالية :

أ- 

ب- 

ج- 

د- 

الحل :

أ-  تعني  أي  أو  ومنه مجموعة الحلول هي 

ب- لدينا :  ;  و  ومنه : اذن ليس للمعادلة حلول ومنه 

ج-  تكافئ  اذن للمعادلة حل مضاعف  و منه 

د- لدينا :  ;   و  ومنه :  اذن للمعادلة حلان متمايزان : و 

ومنه : 

3- الشكل النموذجي لثلاثي الحدود  :

من أجل كل عدد حقيقي   لدينا : 

و بما أن   فان 

ومنه 

بوضع  نجد 

تعريف : 

ليكن  ثلاثي حدود من الدرجة الثانية   يسمى العدد  مميز ثلاثي الحدود  و نرمز اليه بالرمز 

يسمى  الشكل النموذجي لثلاثي الحدود 

مثال : 

نعتبر ثلاثي الحدود من الدرجة الثانية  المعرف ب : 

1- عين الشكل النموذجي ل 

2- بين أنه من أجل كل عدد حقيقي  لدينا :  ، استنتج أن  تقبل على  قيمة حدية يطلب تحديدها 

الحل :

1- من أجل كل عدد حقيقي  لدينا : 

ومنه :  و هو الشكل النموذجي ل 

2- لمقارنة  بالعدد  نقوم بدراسة اشارة الفرق 

لدينا من السؤال الأول : و بما أن نستنتج أن اذن من أجل كل عدد حقيقي  لدينا :

بما أن   و فان : نستنتج أن الدالة  تقبل على  قيمة حدية صغرى هي  و تبلغها من أجل القيمة  للمتغير 

المتراجحات من الدرجة الثانية

1-المتراجحات من الدرجة الثانية:

تعريف :

نسمي متراجحة من الدرجة الثانية ذات المجهول  ، كل متراجحة يمكن كتابتها على أحد الشكلين التاليين  ،  حيث  و  أعداد حقيقية

ثابتة مع 

2- اشارة ثلاثي الحدود 

                                                                        
                                                                  
                                                                  
              اشارة         اشارة            اشارة 

الحالة 1: 

لدينا   حيث :    ;  

بفرض   نحصل على الجدول المقابل 

الحالة 2: 

لدينا  حيث  و منه 

من أجل  و اشارته هي اشارة  من أجل كل 

الحالة 3: 

لدينا  و بما أن  فان من أجل كل عدد حقيقي  ، اشارة   هي اشارة 

مبرهنة : 

  المعادلة  لا تقبل حلولا :

من أجل كل عدد حقيقي  ، اشارة  هي من نفس اشارة 

 : المعادلة  تقبل حلين متمايزين  و 

                                                                        
             اشارة         اشارة            اشارة 

3- حل في المتراجحات :

أ-

ب- 

ج- 

يؤول حل متراجحة من الشكل  ،  ;  أو  الى دراسة اشارة ثلاثي

الحدود 

الحل :

أ- لدينا  ومنه حلول المعادلة  هما :  و 

 

                                                                      
                                                    

مجموعة الحلول هي اذن :

ب- لدينا  ومنه للمعادلة   حلا مضاعفا هو  ، مجموعة الحلول هي اذن : 

                                                                          
                                                             

ج- لدينا  ومنه ليس للمعادلة   حلولا لأن  مجموعة الحلول هي اذن : 

                                                                          
                                                                           

 

مجموع و جداء حلي معادلة من الدرجة الثانية

1- حساب أحد الحلين بمعرفة الآخر :

اذا علم أحد الجذرين يمكن حساب الجذر الآخر و ذلك باستعمال المجموع  أو الجداء 

2- تعيين عددين علم مجموعهما و جداؤهما :

مبرهنة : يكون مجموع عددين هو  و جداؤهما هو  اذا و فقط اذا كانا حلين للمعادلة ذات المجهول  : 

3- تعيين اشارة حلي معادلة من الدرجة الثانية :

مبرهنة : نعتبر المعادلة :  مع 

1. اذا كان   فان المعادلة (1) تقبل حلين اشارتاهما مختلفتان .

2. اذا كان  و  و  فان المعادلة (1) تقبل حلين موجبين تماما .

3. اذا كان  و  و  فان المعادلة (1) تقبل حلين سالبين تماما .

المتراجحات و المعادلات مضاعفة التربيع

1- المعادلات مضاعفة التربيع :

تعريف :

نسمي معادلة مضاعفة التربيع ذات المجهول  ، كل معادلة يمكن كتابتها على الشكل :  حيث :  و أعداد حقيقية ثابتة مع 

بين أن حل المعادلة  يؤول الى حل الجملة : 

يسمى المجهول  مجهولا مساعدا .

بعد حل المعادلة  نستنتج حلول المعادلة 

2- المتراجحات مضاعفة التربيع :

تعريف :

نسمي متراجحة مضاعفة التربيع ذات المجهول  ، كل متراجحة يمكن كتابتها على أحد الشكلين التاليين :   ,  

حيث  و أعداد حقيقية ثابتة مع 

يؤول حل متراجحة مضاعفة التربيع الى دراسة اشارة