ملخص الدرس / الثآنية ثانوي/رياضيات/الجبر و التحليل/الدوال

الدالة و تمثيلها البياني

الملخص الدالة و تمثيلها البياني

الدالة و تمثيلها البياني :

مفهوم الدالة : 

 مجال من   ، الدالة  هي علاقة ترفق بكل سابقة   من المجال   صورة واحدة فقط   نرمز لها بــ 

الصورة و السابقة : 

اذا كان  عنصرا من  ، نسمي العدد الحقيقي  صورة   بالدالة    و نسمي  سابقة   بالدالة 

ترميز و تعابير : 

- يرمز عادة للدالة بالأحرف : 

- للتعبير عن الدالة  نكتب : 

     

و نقرأ الدالة  من  في  و التي ترفق بكل عنصر  من   العنصر   من   . أي أنه لايجاد   نحسب 

تنبيه : 

حذاري من الخلط بين   رمز الدالة و   الذي يعبر عن  صورة العدد الحقيقي   بواسطة الدالة  

 الدوال المرجعية : 

1- الدالة التآلفية :                   6 - الدالة قيمة مطلقة : 

2- الدالة مربع :                             7 - الدالة جب : 

3- الدالة مكعب :                            8 - الدالة جب تمام : 

4- الدالة مقلوب :                         9 - الدالة ظل : 

5- الدالة جذر التربيع :                   10 - الدالة ظل تمام :

التمثيل البياني لدالة : 

 دالة و مجال تعريفها ‏ التمثيل البياني للدالة     معلم للمستوي هو مجموعة النقط ! حيث :

  و   اذا رمزنا الى منحني الدالة   بالرمز   فان    هي معادلة    في المعلم    أنظر الشكل المقابل

نتيجة : 

نقول أن النقطة   تنتمي الى المنحنى   اذا كان   و

الفاصلة و الترتيبة : 

 دالة و    تمثيلها البياني في المعلم .

-  فاصلة نقطة من المنحني   هي محلها على المحور الأفقي   للمعلم و قيمتها هي السابقة  .

. ترتيبة نقطةمن المنحني   هي محلها على المحور العمودي   للمعلم   و قيمتها هي الصورة   .

مجال تعريف دالة

الملخص مجال تعريف دالة

مجال التعريف :

مجال التعريف  لدالة   مجموعة بدئها   و مجموعة وصولها   هو مجموعة السوابق من   التي تمتلك صورا بالدائة  بعبارة أخرى مجموعتة العناصر   التي من أجلها تكون   موجودة.

نتيجة مباشرة : 

تكون الدالة  غير معرفة في المجال الذي لا يمكن فيه ايجاد صورة    للسابقة    بواسطة الدالة  .

التفسير الهندسي : 

 دالة و  تمثيلها البياني ، مجال التعريف   للدالة   هوالمجال الذي يكون فيه لكل فاصلة   ترتيبة   (واحدة فقط ) بواسطة  . أي هو مجموعة الفواصل التي يمكن ايجاد ترتيبة (واحدة فقط) لها بالاسقاط على المنحني  

انظر الشكل المقابل 

طريقة : مجال التعريف بيانيا : 

بيانيا مجموعة تعريف دالة هو اتحاد مجالات الفواصل التي لها صورة بواسطة المنحني الممثل للدالة . 

تعميم الشروط : 

* عبارة جبرية و   دالة  مجال تعريفها  

- تكون الدالة الناطقة معرفة اذا كان المقام غير معدوم : اذا كانت   فان  

- تكون الدالة الصماء معرفة اذا كان ما تحت الجذر أكبر من أو يساوي الصفر : اذا كانت    فان 

- الدوال التي تكتب من الشكل   مثل الدالة التآلفية و الدالة مربع و مكعب معرفة على   أي  

- تكون دالة القيمة المطلقة معرفة على المجال الذي يكون ما بداخل القيمة المطلقة معرف عليه . اذا كانت   فان  

- تكون دالة الجب معرفة على المجال الذي يكون ما بداخل القوسين معرف عليه . اذا كانت   فان  

- تكون دالة الجب تمام معرفة على المجال الذي يكون ما بداخل القوسين معرف عليه . اذا كانت   فان  

- تكون الدالة ظل معرفة على المجال الذي يكون ما بداخل القوسين يختلف عن   . اذا كانت   فان 

- تكون الدالة ظل تمام معرفة على المجال الذي يكون ما بداخل القوسين يختلف عن  . اذا كانت   فان 

 

طريقة : مجال التعريف حسابيا : 

- اذا كانت الدالة ناطقة و كان مقامها جذرا يكفي أن يكونٍ ما بداخل الجذر أكبر تماما من الصفر.

- اذا تطابق أو تكرر شرط نأخذه مرة واحدة فقط.

- حسابيا؛ مجمومة تعريف دالة هو تقاطع مجمومة عناصر كل شرط اذا تظمن شرط تعريفها عدة شروط .

تنبيه ! حذاري من التبسيط : 

يجب ايجاد مجموعة تعريف الدالةّ بالشكل الذي ورد به في النص دون تبسيطها حتى وان كان ذالك ممكنا .

ملاحظة : 

القيمة المطلقة لا تفرض شروط في مجال التعريف لكن احترام خواصها أثناء العمليات الحسابية.

اتجاه تغير دالة

الملخص اتجاه تغير دالة

الدالة متزايدة : 

لتكن  دالة عددية معرفة على  و  مجال من  و ليكن  و  عددان حقيقيان ينتميان الى المجال ‏

* نقول عن الدالة أنها متزايدة على  اذا كان : مهما يكن    فان  

* نقول عن الدالة أنها متزايدة تماما على  اذا كان : مهما يكن    فان 

Chargement en cours, Veuillez patientez...

الدالة متناقصة : 

لتكن  دالة عددية معرفة على  و  مجال من  و ليكن  و  عددان حقيقيان ينتميان الى المجال ‏

* نقول عن الدالة أنها متناقصة على  اذا كان : مهما يكن    فان 

* نقول عن الدالة أنها متناقصة تماما على  اذا كان : مهما يكن    فان 

 Chargement en cours, Veuillez patientez...

رتابة دالة : 

* نقول عن الدالة  أنها رتيبة اذا كانت متزايدة أو متناقصة 

* نقول عن الدالة  أنها رتيبة تماما  اذا كانت متزايدة تماما أو متناقصة تماما .

الدالة الثابتة : 

لتكن  دالة عددية معرفة على  و  مجال من  و ليكن  و  عددان حقيقيان ينتميان الى المجال ‏

* نقول عن الدالة أنها متناقصة على  اذا كان : مهما يكن    فان 

Chargement en cours, Veuillez patientez...

تنبيه ! تغير ام اشارة : 

حذاري من الخلط بين الدالة المتناقصة و السالبة ، و بين الدالة المتزايدة و الموجبة ، فالدالة يمكن أن تكون متزايدة و سالبة في نفس الوقت أي أن تكون   أو متناقصة و موجبة في نفس الوقت أي

شفعية و دورية دالة

الملخص شفعية و دورية دالة

الدالة الفردية : 

 دالة عددية معرفة على مجال   من  . تكون  دالة فردية اذا تحقق ما يلي : 

* مهما يكن  فان

التفسير الهندسي : 

اذا كانت  دالة فردية فان التمثيل البياني لها يقبل المبدأ 0 كمركز تناظر .

Chargement en cours, Veuillez patientez...

ملاحظة : 

- اذا كانت  دالة فردية معرفة على  ، فانه يمكن اقتصار دراستها على المجال  فنرسم بيان الدالة  على   ثم نرسم الجزء الآخر بالتناظر بالنسبة للمبدأ 0 .

 دالة فردية معرفة على  ، اذا كانت الدالة  متزايدة على مجال من  فانها متزايدة على المجال الذي يناظره من  و العكس صحيح 

 

الدالة الزوجية : 

 دالة عددية معرفة على مجال   من  . تكون  دالة زوجية اذا تحقق ما يلي : 

* مهما يكن  فان 

التفسير الهندسي : 

اذا كانت  دالة زوجية فان التمثيل البياني لها يقبل محور التراتيب  كمحور تناظر .

Chargement en cours, Veuillez patientez...

ملاحظة : 

- اذا كانت  دالة زوجية معرفة على  ، فانه يمكن اقتصار دراستها على المجال  فنرسم بيان الدالة  على   ثم نرسم الجزء الآخر بالتناظر بالنسبة لمحور التراتيب .

 دالة زوجية معرفة على  ، اذا كانت الدالة  متزايدة على مجال من  فانها متناقصة على المجال الذي يناظره من  و العكس صحيح 

الدالة الدورية :

 دالة عددية معرفة على مجال   من  . تكون  دالة دورية اذا تحقق ما يلي : 

* مهما يكن  فان  حيث 

*

التفسير الهندسي : 

اذا كانت  دالة دورية فان التمثيل البياني لها يتكرر كل مسافة  من  .

Chargement en cours, Veuillez patientez...

ملاحظة : 

- اذا كانت  دالة دورية معرفة على  و دورها  ، فانه يمكن اقتصار دراستها على مجال طوله   ثم نكمل الرسم باستعمال انسحاب شعاعه

- الدوال : 

* الدالة جب  دورية ، دورها 

* الدالة جب تمام  دورية ، دورها 

* الدالة ظل  دورية ، دورها 

* الدالة ظل تمام  دورية ، دورها 

 

الدوال المرجعية

 الدوال المرجعية : 

1- الدالة التآلفية :                   

2- الدالة مربع :                            

3- الدالة مكعب :                           

4- الدالة مقلوب :                        

5- الدالة جذر التربيع :                   

6 - الدالة قيمة مطلقة : 

7 - الدالة جب : 

8 - الدالة جب تمام : 

9 - الدالة ظل : 

10 - الدالة ظل تمام :

الدالة التآلفية

الملخص الدالة التآلفية

مجال التعريف : 

نوع الشفعية : 

الدالة التآلفية   لا زوجية و لا فردية 

اتجاه التغير : 

اذا كان   فان الدالة التآلفية   متزايدة تماما على

اذا كان   فان الدالة التآلفية   متناقصة تماما على 

 

جدول التغيرات :

 Chargement en cours, Veuillez patientez...

الدالة مربع

الملخص الدالة مربع

مجال التعريف : 

نوع الشفعية : 

الدالة مربع     دالة زوجية

اتجاه التغير : 

اذا كان   فان الدالة مربع     متناقصة تماما على 

اذا كان   فان الدالة مربع    متزايدة تماما على 

 

جدول التغيرات :

 Chargement en cours, Veuillez patientez...

الدالة مكعب

الملخص الدالة مكعب

مجال التعريف : 

نوع الشفعية : 

االدالة مكعب    دالة فردية 

اتجاه التغير : 

الدالة مكعب      متزايدة تماما على 

 

جدول التغيرات :

 Chargement en cours, Veuillez patientez...

الدالة جذر التربيع

الملخص الدالة جذر التربيع

مجال التعريف : 

نوع الشفعية : 

الدالة جذر التربيع     لا زوجية و لا فردية 

اتجاه التغير : 

الدالة جذر التربيع    متزايدة تماما على 

جدول التغيرات :

Chargement en cours, Veuillez patientez...

الدالة قيمة مطلقة

الملخص الدالة قيمة مطلقة

مجال التعريف : 

نوع الشفعية : 

 الدالة قيمة مطلقة   دالة زوجية

اتجاه التغير : 

اذا كان   فان  الدالة قيمة مطلقة    متناقصة تماما على 

اذا كان   فان الدالة قيمة مطلقة   متزايدة تماما على 

جدول التغيرات :

Chargement en cours, Veuillez patientez...

الدالة مقلوب

الملخص الدالة مقلوب

مجال التعريف : 

نوع الشفعية : 

  الدالة مقلوب      دالة فردية 

اتجاه التغير : 

 الدالة مقلوب     متناقصة تماما على 

جدول التغيرات :

Chargement en cours, Veuillez patientez...

الدالة جب

الملخص الدالة جب

 الدالة جب    :

مجال التعريف : 

الشفعية و الدورية : 

 الدالة جب    فردية و دورية ، دورها  

اتجاه التغير : 

الدالة جب     متزايدة تماما على    

الدالة جب     متناقصة تماما على 

 

جدول التغيرات :

Chargement en cours, Veuillez patientez...

الدالة جب تمام

الملخص الدالة جب تمام

الدالة جب تمام   :

مجال التعريف : 

الشفعية و الدورية : 

الدالة جب تمام    زوجية و دورية ، دورها  

اتجاه التغير : 

الدالة جب تمام     متزايدة تماما على    

الدالة جب تمام    متناقصة تماما على   

 

جدول التغيرات :

Chargement en cours, Veuillez patientez...

الدالة ظل

الملخص الدالة ظل

الدالة ظل   : 

مجال التعريف : 

الشفعية و الدورية : 

الدالة ظل   فردية و دورية ، دورها  

اتجاه التغير : 

االدالة ظل     متزايدة تماما على    

 

جدول التغيرات :

Chargement en cours, Veuillez patientez...

الدالة ظل تمام

الملخص الدالة ظل تمام

الدالة ظل تمام   : 

مجال التعريف : 

الشفعية و الدورية : 

الدالة ظل تمام    فردية و دورية ، دورها  

اتجاه التغير : 

الدالة ظل تمام    متناقصة تماما على    

 

جدول التغيرات :

Chargement en cours, Veuillez patientez...

العمليات الجبرية

الملخص العمليات الجبرية

 و  دالتان معرفتان على  و  على الترتيب و  عدد حقيقي . 

الجدول : أنظر الشكل المقابل 

تركيب الدوال

تركيب الدوال : 

 و  دالتان معرفتان على  و  على الترتيب بحيث من أجل كل  من  فان : 

مركب الدالة   متبوعة بالدالة  هي الدالة التي نرمز لها بـ  و المعرفة على  بـ : 

مجموعة تعريف دالة مركبة : 

 و  دالتان معرفتان على  و  على الترتيب ، مجموعة تعريف الدالة   هو المجال  حيث : 

*        ( لأن السابقة  هي المتغير في الدالة   ) 

*  ( لأن الصورة   هي المتغير في الدالة   )

 

- عملية تركيب الدوال هو عملية تجميعية أي أن : 

- عملية تركيب الدوال ليس عملية تبديلية أي أن : 

 

اتجاه تغير مجموع دالتين : 

* مجموع دالتين متزايدتين (أو متزايدتين تماما) على مجال  هو دالة متزايدة (أو متزايدة تماما) على  

* مجموع دالتين متناقصتين (أو متناقصتين تماما) على مجال  هو دالة متناقصة (أو متناقصة تماما) على 

اتجاه تغير جداء دالتين :

* جداء دالتين متزايدتين (أو متزايدتين تماما) على مجال  هو دالة متزايدة (أو متزايدة تماما) على  

* جداء دالتين متناقصتين (أو متناقصتين تماما) على مجال  هو دالة متناقصة (أو متناقصة تماما) على 

تنبيه! لا يمكن استنتاجه : 

لا يمكن استنتاج اتجاه تغير مجموع أو جداء دالتين مختلفتين في اتجاه التغير لأنه لا يمكن جمع أو ضرب متبانيتين مختلفتين في الاتجاه .

اتجاه تغير مجموع دالة و عدد : 

 دالة معرفة على مجال  من  و  عدد حقيقي . 

* للدالة  و الدالة  نفس اتجاه التغير 

 اتجاه تغير جداء دالة و عدد : 

 دالة معرفة على مجال  من  و  عدد حقيقي . 

* اذا كان   فان للدالة  و الدالة  لهما نفس اتجاه التغير 

* اذا كان   فان للدالة  و الدالة  مختلفتان في اتجاه التغير 

اتجاه تغير مركب دالتين : 

 و  دالتان معرفتان على  و  على الترتيب بحيث من أجل كل  من  فان : 

* اذا كانت للدالتين  و  نفس اتجاه التغير فان الدالة  تكون متزايدة .

* اذا كانت للدالتين  و   اتجاه التغير مختلف فان الدالة  تكون متناقصة .