ملخص الدرس / الثآنية ثانوي/رياضيات/الجبر و التحليل/المتتاليات العددية

المتتاليات العددية

 متتالية عددية :

تعريف :

متتالية عددية حقيقية  هي دالة ترفق بكل عدد طبيعي  ، أكبر من أو يساوي عدد طبيعي  معطى ، العدد  .

ترميز :

نرمز إلى صورة  بالمتتالية  ب  بدلا من  . هذا الترميز الجديد يسمى الترميز بدليل .

المتتالية  يرمز لها  إذا كانت المتتالية  معرفة من أجل  أكبر من او يساوي  .

المتتالية  يرمز لها  إذا كانت المتتالية  معرفة على  .

 هو الحد الذي دليله  و يسمى كذلك الحد العام للمتتالية  .

 هو الحد الاول للمتتالية  إذا كانت معرفة من أجل  أكبر من او يساوي  .

هو الحد الاول للمتتالية  إذا كانت معرفة على  .

 طرق توليد متتالية عددية (يقصد بتوليد متتالية معرفة حدودها ) :

توليد متتالية عددية بالحد العام :

* إذا كان الحد العام لمتتالية عددية معطى بدلالة  فإنها معرفة تماما . و لحساب حد  من الحدود يكفي تعويض  بالقيمة  .

توليد متتالية عددية بعلاقة تراجعية :

* لتكن دالة عددية  معرفة على مجال  و حيث أن من اجل  فإن  . المتتالية  المعرفة بحدها الاول  و العلاقة  تسمى متتالية

تراجعية . تسمح هذه العلاقة بحساب  إذا علم   من أجل كل  الدالة العددية  تسمى الدالة المرفقة بالمتتالية  .

التمثيل البياني لمتتالية عددية

 متتالية معرفة بالحد العام :

* يمكن تمثيل حدود متتالية عددية معرفة بحدها العم على محور 

مثال :

لتكن المتتالية  المعرفة على  كما يلي :  .

Chargement en cours, Veuillez patientez...

* يمكن تمثيل متتالية عددية معرفة بحدها العام ( ترفق هذه المتتالية بدالة  ) .

مثال :

لتكن المتتالية  المعرفة على  كما يلي :  . 

 معرفة كذلك  حيث :   نعرف  على المجال  بما أن  عدد طبيعي . في الرسم المقابل 

النقط الممثلة احداثياها   من أجل  ،  ،  ،  ،   و  في المستوي المنسوب إلى معلم  .

مجموعة النقط   هي التمثيل البياني للمتتالية  .

Chargement en cours, Veuillez patientez...

 متتالية معرفة بعلاقة تراجعية :

لتكن المتتالية  المعرفة بحدها الأول   و العلاقة التراجعية  حيث  دالة معرفة على  .

مجموعة النقط  هي التمثيل البياني في المستوي المنسوب إلى معلم للمتتالية .

اتجاه تغير متتالية عددية

 متتالية متزايدة :

تكون متتالية  متزايدة ( متزايدة تماما على الترتيب ) إبتداءا من الرتبة  إذا و فقط إذا كان  (  على الترتيب ) من أجل كل عدد طبيعي 

 أكبر من أو يساوي  .

 متتالية متناقصة :

تكون متتالية  متناقصة ( متناقصة تماما على الترتيب ) إبتداءا من الرتبة  إذا و فقط إذا كان  (  على الترتيب ) من أجل كل عدد طبيعي 

 أكبر من أو يساوي  .

 متتالية ثابتة :

تكون متتالية  ثابتة إبتداءا من الرتبة  إذا و فقط إذا كان  من أجل كل عدد طبيعي  أكبر من أو يساوي  .

المتتالية الحسابية

 تعريف متتالية حسابية :

تعريف :

نقول أن المتتالية  متتالية حسابية حدها الاول  إذا و فقط إذا وجد عدد حقيقي  بحيث ان من أجل كل عدد طبيعي  :  .

يسمى  أساس المتتالية  .

ملاحظة :

إذا كان  فإن المتتالية  ثابتة و كل حدودها تساوي الحد الأول  .

 الحد العام لمتتالية حسابية :

مبرهنة :

( تقبل يدون برهان )  متتالية حسابية حدها الاول  أساسها  .

الحد العام للمتتالية الحسابية  هو  من أجل كل عدد طبيعي  .

ملاحظات :

* إذا كان  الحد الأول فإن عبارة الحد العام هي :   .

* بصفة عامة إذا كان  الحد الأول (  عدد طبيعي أصغر من  ) فإن عبارة الحد العام هي :  .

* تعيين الحد العام يعود إلى كتابة  بدلالة  .

 مجموع حدود متتابعة من متتالية حسابية :

مبرهنة :

( تقبل يدون برهان )  متتالية حسابية حدها الاول  أساسها  .ليكن المجموع : 

من أجل كل عدد طبيعي  : 

 يساوي عدد الحدود مضروب في نصف مجموع الحد الأول و الحد الأخير .

المتتاليات الهندسية

 تعريف متتالية هندسية : 

تعريف :

نقول أن المتتالية  متتالية هندسية حدها الاول  إذا و فقط إذا وجد عدد حقيقي  حيث أن من أجل كل عدد طبيعي  :  .

يسمى  أساس المتتالية  .

ملاحظة :

* إذا كان  فإن المتتالية ثابتة جميع حدودها تساوي  .

*إذا كان  فإن حدود المتتالية معدومة ابتداءا من الحد الثاني .

 الحد العام لمتتالية هندسية :

مبرهنة :

(تقبل دون برهان )  متتالية هندسية حدها الاول   أساسها  .

عبارة الحد العام للمتتالية الهندسية  :  من أجل كل عدد طبيعي  .

ملاحظات :

* إذا كان الحد الأول  عبارة الحد  العام  .

*  بصفة عامة إذا كان  ( عدد طبيعي أصغر من  ) الحد الأول فإن عبارة الحد العام   .

* تعيين الحد العام يعود إلى كتابة  بدلالة  .

 مجموع حدود متتابعة من متتالية هندسية :

مبرهنة :

 متتالية هندسية حدها الاول   أساسها  . ليكن المجموع :  .

* إذا كان  فإن  من أجل كل عدد طبيعي  .

* إذا كان  فإن  من أجل كل عدد طبيعي  .

 يساوي الحد الأول مضروب في النسبة  . حيث   هو عدد الحدود .

نهاية متتالية عددية

 متتالية عددية متقاربة :

تعريف :

 متتالية عددية و  عدد حقيقي .

نقول أن المتتالية  تقبل  كنهاية إذا و فقط إذا كان كل مجال مفتوح يشمل  فهو يشمل أيضا كل حدود المتتالية  ابتداءا من رتبة معينة . و نكتب : 

 أو  ( حيث أن النهاية  لا تحسب إلا عند  ) في هذه الحالة نقول أن المتتالية  متقاربة .

ملاحظات :

* إذا كانت  متتالية متقاربة فإن نهايتها وحيدة .

* إذا كانت  متتالية غير متقاربة فهي متباعدة ( نهايتها غير منتهية أو غير موجودة ) .

 نهاية متتالية عددية مرفقة بدالة :

مبرهنة :

لتكن المتتالية  المعرفة كما يلي   . حيث  دالة معرفة على مجال من الشكل  حيث  عدد حقيقي .

إذا كانت  فإن   .

 نهاية غير منتهية لمتتالية عددية :

تعاريف :

 متتالية عددية  .

* المتتالية  تقبل  كنهاية إذا و فقط إذا كان كل مجال مفتوح   يشمل كل حدود المتتالية  ابتداءا من رتبة معينة .

و نرمز :  .

* المتتالية  تقبل  كنهاية إذا و فقط إذا كان كل مجال مفتوح   يشمل كل حدود المتتالية  ابتداءا من رتبة معينة .

و نرمز :  .

مبرهنة :

لتكن المتتالية  المعرفة كما يلي   . حيث  دالة معرفة على مجال من الشكل  حيث  عدد حقيقي .

* إذا كانت  فإن   .

* إذا كانت  فإن   .

ملاحظة :

النتائج و النظريات حول نهايات الدوال تبقى صحيحة في المتتاليات .

نهاية متتالية عددية باستعمال الحصر

مبرهنة  : 

 ،  و  ثلاث متتاليات عددية  و  عدد حقيقي .

إذا كانت   و  و إذا كان ابتداءا من عدد طبيعي  ،   فإن  .

مبرهنة  : 

 و  متتاليتان عدديتان . إذا كان ابتداءا من عدد طبيعي   ،  و  فإن  .

مبرهنة  : 

 و  متتاليتان عدديتان . إذا كان ابتداءا من عدد طبيعي   ،  و  فإن  .

نهاية متتالية هندسية

مبرهنة :

 متتالية هندسية حدها الاول   أساسها  .

* إذا كان  و  فإن  و المتتالية  متباعدة .

* إذا كان  و  فإن  و المتتالية  متباعدة .

* إذا كان   فإن  و المتتالية  متقاربة .

* إذا كان  فإن المتتالية  متباعدة ( النهاية غير موجودة ) .