ملخص الدرس / الأولى متوسط/رياضيات/الأنشطة العددية/القسمة الإقليدية و القسمة العشرية

القسمة الإقليدية لعدد طبيعي (يسمّى المقسوم) على عدد طبيعي غير معدوم (يسمّى المقسوم عليه)، تعني إيجاد عددين طبيعيين، يسميان الحاصل و الباقي و يحققان:

الباقي+الحاصل*المقسوم عليه=المقسوم

المقسوم عليه>الباقي.

مثال1:

لدى صائغ مجوهرات 253 لؤلؤة، يريد استعمالها لصنع عقود، يتضمن كل عقد 17 لؤلؤة.

فعليه أن يبحث:

كم يتضمن العدد 253 من مرّة 17 

15+14*17=253

يمكن للصائغ صنع 14 عقدا، و يتبقى معه 15 لؤلؤة.

ملاحظة:

إيجاد حاصل القسمة الإقليدية للعدد 253 على 17، يعني البحث عن العدد الطبيعي الذي نضربه في 17 لنقترب قدر الإمكان من 2583 بقيم أقل، و التباعد عن 253 يمثل باقي القسمة.

مثال2:

 المساواة 15*4=60 تعني باقي قسمة العدد 60 على 4 هو 0.

في هذه الحالة نقول إنّ:

60 مضاعف للعدد 4 أو 60 يقبل القسمة على 4 أو 4 قاسم ل 60.  

يقبل عدد طبيعي القسمة:

• على 2، إذا كان رقم آحاده 8،6،4،2،0. ( في هذه الحالة فقط ، نقول إنّ هذا العدد زوجي).
• على 5، إذا كان رقم آحاده 5،0.
• على 3، إذا كان مجموع  أرقامه يقبل القسمة على 3.

أمثلة:

• الأعداد 2014،34،20 تقبل القسمة على 2.
• العددان 2325،20 يقبلان القسمة على 5.
• العدد 2019 يقبل القسمة على 3.

لأنّ 12=9+1+0+2 و 12 يقبل القسمة على 3.

النص:

أ) هل يمكن توزيع 100 حبّة حلوى بالتساوي على 4 أكياس؟ 200 حبّة حلوى؟ 500 حبة حلوى؟

ب) نفس السؤال السّابق من أجل: 116 حبّة حلوى، 103 حبّة حلوى، 224 حبّة حلوى (يمكنك استغلال نتيجة السوال السابق).

 

حل: 

أ) 4*25=100، يمكن أن يحتوي كل كيس على 25 حبّة حلوى.                                           0+4*24=100

   4*50=200، يمكن أن يحتوي كل كيس على 50 حبّة حلوى.                                           0+4*50=200

   4*125=500، يمكن أن يحتوي كل كيس على 125 حبّة حلوى.                                        0+4*125=500 فالأعداد 100،200،500 تقبل القسمة على 4.

 

 ب) يمكن أن نكتب 16+100=116

حسب نتيجة السؤال السابق، تم توزيع 100 حبّة حلوى بالتساوي على 4 أكيلس، يمكن أيضا مواصلة 16 حبة حلوى بالتساوي على 4 أكياس، و ذلك بإضافة 4 حبّات حلوى في كل كيس.

نستنتج أنه يمكن توزيع 116 حبّة حلوى بالتساوي على 4 أكياس.

 

- يمكن أن نكتب 3+100=103

رغم أنّه يمكن توزيع 100 حبّة حلوى بالتساوي على 4 أكياس، إلا أنه                                       3+4*25=103 فالعدد 103 لا يقبل القسمة على4.

يمكن توزيع 3 حبّات حلوى بالتساوي على 4 أكياس.

نستنتج أنّه لا يمكن توزيع 103 حبّة حلوى بالتساوي على 4 أكياس.

 

- يمكن أن نكتب 24+200=224

حسب نتيجة السؤال السابق ، تم توزيع 200  حبّة حلوى بالتساوي على 4 أكياس                           4*56=4*6+4*50=224 فالعدد 224 يقبل القسمة على 4.

يمكن أيضا مواصلة توزيع 24 حبّة حلوى بالتساوي على 4 أكياس، و ذلك بإضافة 

6 حبّات حلوى في كل كيس.

 

طريقة:

لمعرفة قابلية قسمة عدد طبيعي على 4، نختبر قابلية قسمية العدد المشكّل من رقمي آحاده و عشراته على4

• إذا كان العدد المشكّل من هذين الرقمين يقبل القسمة على 4، فإنّ العدد يقبل القسمة على 4 .
• إذا كان العدد المشكّل من هذين الرقمين لا يقبل القسمة على 4، فإنّ العدد لا يقبل القسمة على 4.

أمثلة:

• العدد 16 يقبل القسمة على 4، فالعدد 2016 يقبل القسمة على 4.
• العدد 18 لا يقبل القسمة على 4، فالعدد 2018 لا يقبل القسمة على4.

دوري الآن: 

اختبر قابلية قسمة كل عدد من الأعداد الآتية على 4: 108، 2020، 527،4356748 .

إجراء القسمة العشرية لعدد على آخر غير معدوم، تعني إيجاد القيمة المظبوطة أو المقرّبة لحاصل القسمة.

نميز حالتين:

 

في هذه الحالة نحصل على باق معدوم،و حاصل القسمة عدد عشري قيمته مظبوطة.

مثال : 

لنبحث عن طول ضلع مربع، محيطه 23m .

• طول ضلع المربع هو حاصل القسمة العشرية للعدد 23 على 4.
• نبدأ بإجراء القسمة الإقليدية للعدد 23 على 4، ثمّ نواصل العمل بتحويل الباقي إلى عدد الأجزاء من عشرة: 3 وحدات هي 30 جزءا من عشرة، ثمّ نقسم 30 على 4 فنحصل على 7 أجزاء من عشرة (نضع الفاصلة قبل الرقم 7 مباشرة). 
• نواصل بتحويل الباقي إلى عدد الأجزاء من مائة.
• جزءان من عشرة عبارة عن 20 جزءا من المائة.
• نقسم 20 على 4 فنحصل على 5 أجزاء من مائة و الباقي صفر أي: 5.75=23/4.

طول ضلع المربع هو 5.75cm.

في هذه الحالة:

• البواقي تبدأ في التكرار انطلاقا من مرحلة معينة، و القسمة لا تنتهي.
• الحاصل ليس عددا عشريا، لا يمكن إعطاء قيمة مضبوطة له، لكن يمكن إعطاء قيمة مقرّبة له.

مثال:

يزن 11 صندوقا متماثلا 658Kg، لنبحث عن وزن الصندوق الواحد.

القسمة غير منتهية

في الجزء العشري لحاصل القسمة، بعد الرقم 8 يظهر الرقم 1، ثمّ من جديد يظهر الرقم 8 يليه الرقم 1، و هكذا...

يمكن أن نكتب: يزن الصندوق الواحد بالتقريب 59.8kg.

 59.8kg هي قيمة مقربّة إلى الجزء من المائة بالنقصان لوزن الصندوق الواحد.

النص:

طول خط منكسر مكوّن من ثلاث قطع مستقيمة متقايسة، 76.41cm  (الأبعاد على الشكل ليست حقيقية)

احسب طول القطعة المستقيمة الواحدة.

حل:

لإيجاد طول القطعة المستقيمة الواحدة، نجري القسمة العشرية للعدد 76.41 على3، نتبع المراحل الآتية:

 

1- نبدأ بتحديد الرقم الأول لحاصل القسمة،كم من مرة يوجد العدد 3 في العدد 7؟ مرتان.

2- تبقى معنا عشرة واحدة، يمكن مبادلتها ب 10 وحدات بإضافة 6 وحدات إلى 10 وحدات (إنزال6)نتحصل على 16 وحدة، كم من مرّة يوجد العدد 3 في العدد 16؟ 5 مرّات.

3- بقيت معنا وحدة واحدة، يمكن مبادلتها ب 10 أجزاء من عشرة بإضافة 4 أجزاء من عشرة إلى 10 أجزاء من عشرة (إنزال 4)، نتحصل على 14 جزء من عشرة، كم مرّة يوجد العدد 3 في العدد 4؟ 4 مرّات (نضع الفاصلة مباشرة بعد الرقم5 ثم نضع الرقم 4 بعدها مباشرة)، نتحصل على 14 جزء من عشرة ، كم من مرّة يوجد العدد 3 في العدد 14؟ 4 مرّات (نضع الفاصلة مباشرة بعد الرقم 5 ثم نضع الرقم 4 بعدها مباشرة).

4- يبقى معنا جزءان من عشرة، يمكن مبادلتهما ب 20 جزء من مائة بإضافة الجزء من المائة إلى 20 جزء من مائة (إنزال 1)، نتحصل على 21 جزء من مائة، كم مرة يوجد العدد 3 في العدد 21؟ 7 مرّات بالضبط (الباقي معدوم).

طول القطعة المستقيمة الواحدة هو 25.47cm.

طريقة:

تقنية إجراء القسمة العشرية للعدد 76.41 على 3، هي نفسها تقنية إجراء القسمة العشرية للعدد 7641 على 3، مع مراعاة وضع الفاصلة مباشرة بعد إنزال رقم الأجزاء من عشرة (الرقم 4 في المثال السابق).

دوري الآن:

انجز عموديا القسمة العشرية لكل من: 36.47 على7                       52.56 على 12                        7.65 على 9