ملخص الدرس / الأولى ثانوي/رياضيات/الجبر و التحليل / الدوال المرجعية

الدرس

من الأستاذ(ة) وزارة التربية الوطنية

الدالة مربع

تعريف :

الدالة مربع هي الدالة التي ترفق بكل عدد حقيقي $x$ مربعه $x^{2}$ .

إذا رمزنا إلى الدالة مربع بالرمز $f$ ، نكتب $f\left ( x \right )=x^{2}$ أو $x \overset{f}{\mapsto} x^2$ .

اتجاه التغير :

مبرهنة :

الدالة مربع متزايدة تماما على $\left [ 0 ;+\infty \right [$ ، و متناقصة تماما على $\left ] -\infty ;0 \right ]$ .

$+\infty$ $0$ $-\infty$

$x$

$\nearrow$ $0$ $\searrow$

$x^{2}$

التمثيل البياني :

عندما نمثل في معلم $\left ( O;I,J \right )$ النقط ذات الاحداثيات $\left ( x,x^{2} \right )$ نحصل على المنحنى الممثل للدالة " مربع "

تمثيل بعض النقط من منحنى الدالة مربع .

Chargement en cours, Veuillez patientez...

$(C)$ هو منحنى الدالة مربع . معادلة $(C)$ هي : $y=x^{2}$

يسمى $(C)$ قطعا مكافئا ذروته $O$ .

Chargement en cours, Veuillez patientez...

خاصية :

من أجل كل عدد حقيقي $x$ ، لدينا $(-x)$ عدد حقيقي و $(-x)^{2}^=x^{2}$ أي $f(-x)=f(x)$ .

نستنتج أن الدالة مربع زوجية .

ملاحظة :

في معلم متعامد يكون بيان الدالة مربع متناظرا بالنسبة إلى محور التراتيب .

الدالة مقلوب

تعريف :

الدالة مقلوب هي الدالة المعرفة على المجموعة $]-\infty;0[\cup ]0;+\infty[$ ، و التي ترفق بكل عدد حقيقي $x$ غير معدوم مقلوبه $\frac{1}{x}$ .

إذا رمزنا إلى الدالة مقلوب بالرمز $f$ ، نكتب $f\left ( x \right )=\frac{1}{x}$ أو $x \overset{f}{\mapsto} \frac{1}{x}$ .

اتجاه التغير :

م برهنة :

الدالة مقلوب متناقصة تماما على كل من المجالين $\left ] 0 ;+\infty \right [$ و $\left ] -\infty ;0 \right [$ .

$+\infty$ $0$ $-\infty$

$x$

$\searrow$ $\left | \right |$ $\searrow$

$\frac{1}{x}$

التمثيل البياني :

بما أن $0$ ليس له صورة بالدالة مقلوب ، فإن منحنيها لا يقطع محور التراتيب .

يسمى المنحنى الممثل للدالة " مقلوب " قطعا زائدا .

خاصية :

من أجل كل عدد حقيقي $x$ غير معدوم ، لدينا $(-x)$ عدد حقيقي غير معدوم و $\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}$ أي $f\left ( -x \right )=-f\left ( x \right )$ .

نستنتج أن الدالة مقلوب فردية .

Chargement en cours, Veuillez patientez...

ملاحظة : في كل معلم يكون منحنى الدالة مقلوب متناظرا بالنسبة إلى مبدأ هذا المعلم .

الدالة الجذر التربيعي

تعريف :

الدالة " الجذر التربيعي "هي الدالة المعرفة على المجال $\left [ 0 ;+\infty \right [$ و التي ترفق بكل عدد حقيقي $x$ جذره التربيعي $\sqrt{x}$

إذا رمزنا إلى الدالة مربع بالرمز $f$ ، نكتب $f\left ( x \right )=\sqrt{x}$ أو $x \overset{f}{\mapsto} \sqrt{x}$ .

اتجاه التغير :

مبرهنة :

الدالة " الجذر التربيعي " متزايدة تماما على $\left [ 0 ;+\infty \right [$

$+\infty$ $0$

$x$

$\nearrow$

$\sqrt{x}$

التمثيل البياني :

بما أن الدالة " الجذر التربيعي " معرفة فقط على المجال $\left [ 0 ;+\infty \right [$ فإن منحنيها يقع في الربع الأول من المعلم كما هو موضح في الشكل المقابل .

Chargement en cours, Veuillez patientez...

الدالة جيب و الدالة جيب تماما

الدائرة المثلثية :

* نقول عن الدائرة $\left ( C \right )$ أنها موجهة إذا اخترنا عليها اتجاهها للحركة .

نصطلح على أن الاتجاه المباشر ( أو الموجب ) هو الاتجاه المخالف لاتجاه دوران عقارب الساعة و الاتجاه غير المباشر ( أو السالب ) هو الاتجاه الموافق لاتجاه دوران عقارب الساعة.

* $\left ( O;I,J \right )$ معلم متعامد و متجانس للمستوي .

الدائرة الموجهة التي مركزها $O$ و نصف قطرها $1$ تسمى دائرة مثلثية .

Chargement en cours, Veuillez patientez...

المستقيم العددي و الدائرة المثلثية :

لتكن الدائرة المثلثية $\left ( C \right )$ في المعلم المتعامد و المتجانس $\left ( O;I,J \right )$ . $\left ( D \right )$ هو المماس للدائرة $\left ( C \right )$ في $I$ . $K$ هي نقطة من $\left ( D \right )$ حيث $\overrightarrow{IK}=\overrightarrow{OJ}$ .

* نرفق بكل عدد حقيقي $x$ النقطة $m$ من $\left ( D \right )$ التي فاصلتها $x$ في المعلم الخطي $\left ( I;K \right )$ و بلف $\left ( C \right )$ على $\left ( D \right )$ ، تنطبق النقطة $m$ على نقطة $M$ من $\left ( C \right )$ .

* نعلم أن فاصلة $K$ في المعلم $\left ( I;K \right )$ هي $1$ . فعندما نلف $\left ( D \right )$ على $\left ( C \right )$ ، تنطبق $K$ على $N$ من $\left ( C \right )$ .

نعرف $1$ راديان بانه قيس للزاوية الموجهة $\left ( \overrightarrow{OI},\overrightarrow{ON} \right )$

* كل عدد حقيقي $x$ تقابله نقطة وحيدة $M$ على $\left ( C \right )$

نقول إن $M$ هي صورة $x$ ، و نقول كذلك إن $x$ هي قيس للزاوية الموجهة $\left ( \overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM} \right )$ و نكتب : $\left ( \overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM} \right )=x \: \: rad$

تعريف :

$x$ عدد حقيقي . $M$ النقطة من الدائرة المثلثية و المرفقة بالعدد $x$ .

في المعلم $\left ( O;I,J \right )$ :

* نسمي جيب تمام العدد الحقيقي $x$ ، فاصلة النقطة $M$ و نرمز إليه بالرمز $\cos x$ .

الدالة $\cos$ هي الدالة التي ترفق بكل عدد حقيقي $x$ العدد $\cos x$ .

* نسمي جيب العدد الحقيقي $x$ ، ترتيب النقطة $M$ و نرمز إليه بالرمز $\sin x$ .

الدالة $\sin$ هي الدالة التي ترفق بكل عدد حقيقي $x$ العدد $\sin x$ .

مبرهنة :

من أجل كل عدد حقيقي $x$ لدينا :

* $\cos ^{2}x+\sin ^{2}x=1$ و $-1\leq \sin x\leq 1$ و $-1\leq \cos x\leq 1$

* $\cos \left ( -x \right )=\cos x$ و $\sin \left ( -x \right )=-\sin x$ أي أن الدالة جيب تمام زوجية و الدالة جيب فردية .

اتجاه تغير الدالتين " جيب تمام " و " جيب " على المجال $\left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ]$

خاصية $1$ :

في الشكل المقابل :

العددان الحقيقيان $x$ و ${x}'$ ينتميان إلى المجال $\left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ]$ و صورتاهما $M$ و ${M}'$ تتغيران على ربع الدائرة من $I$ إلى $J$

إذا كان $x<{x}'$ فإن $\sin x<\sin {x}'$ و $\cos x>\cos {x}'$ .

نستنتج أن :

* الدالة $\cos$ متناقصة تماما على المجال $\left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ]$ .

* الدالة $\sin$ متزايدة تماما على المجال $\left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ]$ .

Chargement en cours, Veuillez patientez...

خاصية $2$ :

ي الشكل المقابل :

العددان الحقيقيان $x$ و ${x}'$ ينتميان إلى المجال $\left [ \frac{\pi }{2},\pi \right ]$ و صورتاهما $M$ و ${M}'$ تتغيران على ربع الدائرة من $J$ إلى ${I}'$ .

إذا كان $x<{x}'$ فإن $\sin x>\sin {x}'$ و $\cos x>\cos {x}'$ .

نستنتج أن :

* الدالة $\cos$ متناقصة تماما على المجال $\left [ \frac{\pi }{2},\pi \right ]$ .

* الدالة $\sin$ متناقصة تماما على المجال $\left [ \frac{\pi }{2},\pi \right ]$ .

Chargement en cours, Veuillez patientez...

جدول تغيرات الدالتين " جيب تمام " و " جيب " على المجال $\left [ 0,\pi \right ]$ :

نستنتج من الخاصية $1$ و من الخاصية $2$ :

Chargement en cours, Veuillez patientez...

التمثيل البياني :

* ننشئ التمثيل البياني للدالة $\cos$ على المجال $\left [ 0,\pi \right ]$ انطلاقا من جدول تغيراتها .

نتمم هذا الرسم على $\left [ -\pi,0 \right ]$ بالتناظر بالنسبة لمحور التراتيب لأن الدالة $\cos$ زوجية .

Chargement en cours, Veuillez patientez...

* ننشئ التمثيل البياني للدالة $\sin$ على المجال $\left [ 0,\pi \right ]$ انطلاقا من جدول تغيراتها .

نتمم هذا الرسم على $\left [ -\pi,0 \right ]$ بالتناظر بالنسبة للمبدأ لأن الدالة $\sin$ فردية .

Chargement en cours, Veuillez patientez...

ملاحظة :

بيان الدالتين " جيب تمام " و " جيب " على $\mathbb{R}$ هما :

Chargement en cours, Veuillez patientez...

لاحظ أنه يمكن استنتاج أي جزء من بيان الدالة " جيب تمام " (أو الدالة " جيب ") من الجزء الملون بالأحمر و ذلك بانجاز " دوريا مثيلات له لأن من أجل كل عدد حقيقي $x$ لدينا :

$\cos \left ( x+2\pi \right )=\cos x$ و $\left ( \sin \left ( x+2\pi \right )=\sin x \right )$ نقول إن الدالة " جيب تمام " ( الدالة " جيب " أيضا ) دورية و دورها $2\pi$ .

ملخص الدرس / الأولى ثانوي/رياضيات/الجبر و التحليل / الدوال المرجعية

الدرس

الدالة مربع

تعريف :

اتجاه التغير :

مبرهنة :

التمثيل البياني :

خاصية :

ملاحظة :

الدالة مقلوب

تعريف :

اتجاه التغير :

م برهنة :

التمثيل البياني :

خاصية :

الدالة الجذر التربيعي

تعريف :

اتجاه التغير :

مبرهنة :

التمثيل البياني :

الدالة جيب و الدالة جيب تماما

الدائرة المثلثية :

المستقيم العددي و الدائرة المثلثية :

تعريف :

مبرهنة :

خاصية :

خاصية :

جدول تغيرات الدالتين " جيب تمام " و " جيب " على المجال :

التمثيل البياني :

ملاحظة :

خاصية $1$ :

خاصية $2$ :

جدول تغيرات الدالتين " جيب تمام " و " جيب " على المجال $\left [ 0,\pi \right ]$ :