ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/المتتاليات/المتتاليات

تعريف متتالية

تعريف : متتالية    هي دالة ترفق بكل عدد طبيعي    , أكبر من أو يساوي عدد طبيعي    معطى , العدد    . 

ترميز : 

* نرمز الى صورة العدد الطبيعي   بالمتتالية   بـ   بدلا من 

*نرمز الى المتتالية   بـ     إذا كانت معرفة من أجل كل عدد طبيعي    أكبر أو يساوي   

*نرمز الى المتتالية  بـ   أو    إذا كانت معرفة على   

*يسمى    الحد العام للمتتالية    و يسمى    حدها الأول 

* إذا كانت المتتالية    معرفة على   نرمز الى حدها الأول بالرمز    

ملاحظة : لابد من التمييز بين متتالية     و بين حدها     الذي هو عدد حقيقي. 

 

 

طرق توليد متتالية

توليد متتالية بالحد العام : 

تعريف : يمكن تعريف متتالية     بوضع من أجل كل عدد طبيعي    مع     , حيث    دالة معرف على  

مثال : 

نعتبر المتتالية     المعرفة من أجل كل عدد طبيعي    بـ      

لدينا      حيث     هي الدالة  المعرفة على    بـ 

العلاقة      تسمح من حساب قيمة كل الحدود و من أجل ذلك يكفي تعويض      على التوالي  بـ   

لدينا        و هكذا ......

توليد متتالية بعلاقة تراجعية :

تعريف : يمكن تعريف متتالية بالتراجع و ذلك بإعطاء : 

1) قيمة الحد العام 

2) علاقة تراجعية تربط بين حدين متتابعين منالمتتالية . 

مثال : 

نعتبر المتتالية      المعرفة بـ     و من أجل كل عدد طبيعي    

تسمح العلاقة      بحساب قيمة الحد     إذا علمت قيمة الحد الذي يسبقه    . 

معرفة قيم    تسمح حساب قيمة    و هكذا فإن     

معرفة قيمة   تسمح من حساب قيمة    و هكذا فإن     و هكذا .....

 

 

المتتاليات من الشكل

من الشكل :    (     و    )   

  متتالية معرفة على    بحدها الأول     و بالعلاقة     حيث      و 

1- الحالة الأولى     : 

مثال : نعتبر المتتالية      المعرفة على   بحدها الأول    و من أجل كل     من      

- من الواضح أن المتتالية     حسابية أساسها    و حدها الأول 

- من أجل كل     من     و منه   

- من اجل كل    من        و منه 

- من أجل كل     من     و منه المتتالية     متناقصة . 

2- الحالة الثانية    و   :

مثال : نعتبر المتتالية     المعرفة على     بحدها الأول     و من أجل كل   من     

 - حساب الحدودالأولى يعطينا :     و    نخمن أن المتتالية    ثابتة . 

- لنبين بالتراجع أنه من أجل كل    من    

* الخاصية صحيح من أجل     لأن   

* نفرض أن الخاصية صحيحة من أجل عدد طبيعي    حيث     أي أن     و نبرهن صحتها من أجل 

لدينا   و منه     إذن الخاصية صحيحة من أجل    

نستنتج حسب مبدأ البرهان بالتراجع , أن الخاصية صحيحة من أجل كل    من     إذن المتتالية      ثابتة . 

- من أجل كل عدد طبيعي غير معدوم      و منه  

3- الحالة الثالث     و    :

لحساب الحد العام     و المجموع      نستعين بالمتتاليات ذات الحد العام    

مثال : 

نعتبر المتتالية    المعرفة على    بحدها الأول      و من أجل كل     من       لتكن المتتالية    المعرفة على    بحدها العام    

- من أجل كل    من     ,    

لدينا من أجل كل    من     ,     . نستنتج أن المتتالية    هندسية أساسها    و حدها الأول 

- من أجل كل     من   ,      و    

- من أجل كل       من     لدينا     

و منه 

     

نستنتج هكذا أن     

- من أجل كل    من    ,      و منه للمتتاليتين  و   نفس اتجاه التغير 

 

 

المتتاليات العدديه

المتتاليه المحدوده من الأعلى المتتاليه المحدوده من الأسفل

 متتاليه عدديه معرفه من أجل كل عدد طبيعي  من المجال 

نقول أن المتتاليه محدوده من الأعلى بالعدد  إذا كان 

نقول أن المتتاليه  محدوده من الأسفل بالعدد  إذا كان

نقول أن المتتاليه  محدوده إذا كانت محدوده من الأعلى ومحدوده من الأسفل

رتابه متتاليه عدديه

 متتاليه عدديه معرفه من أجل كل عدد طبيعي  من المجال 

نقول أن المتتاليه  متناقصه على المجال  إذا كان 

نقول ان المتتاليه  متزايده على المجال  إذا كان 

نقول أن المتتاليه  ثابته على المجال إذا كان 

ملاحظه

 متتاليه عدديه معرفه من أجل كل عدد طبيعي  من المجال  وحدها الأول 

إذا كانت متناقصه من أجل كل عدد طبيعي  من المجال  فإن 

إذا كانت متزايده من أجل كل عدد طبيعي  من المجال  فإن 

نهايه متتاليه

أ- نهايه المتتاليه   حيث 

         

 

 

 

ب- نهايه المتتاليه  حيث 

          
ليس لها نهايه

 

 

 

 

تقارب متتاليه 

كل متتاليه متزايده ومحدوده من الأعلى هي متتاليه متقاربه

كل متتاليه متناقصه ومحدوده من الأسفل هي متتاليه متقاربه

خواص

 الخاصيه 1 

إذا كان  و  و  فإن 

الخاصيه 2

إذا كان  و فإن 

الخاصيه 3

إذا كان و   فإن 

الخاصيه 4

إذا كان و فإن 

المتتاليات من النوع 

نعتبر المتتاليه  المعرفه  كما يلي

حيث   داله مستمره على المجال  بحيث  و  عنصرا من 

إذا كانت  متقاربه فإن نهايتها  حل للمعادله 

المتتاليات الحسابيه

التعريف

 هو أساس المتتاليه الحسابيه

الحد العام 

المجموع

الوسط الحسابي

 و و ثلاثه حدود متتابعه

المتتاليه الهندسيه

التعريف

 هو أساس المتتاليه الهندسيه

الحد العام

المجموع 

الوسط الهندسي

 و  و ثلاثه حدود متتابعه