ملخص الدرس / الثآنية ثانوي/رياضيات/الإحصاء و الإحتمالات/الإحتمالات

مصطلحات

- نسمي تجربة عشوائية كل تجربة لا يمكن توقع نتيجتها رغم معرفة مجموعة النتائج الممكنة .

   * في تجربة عشوائية ، مجموعة النتائج الممكنة تسمى مجموعة الامكانيات و يرمز لها بالرمز  .

    ليكن   جزءا من  ، نقول عندئذ أن  حادثة .

- إذا احتوت المجموعة الجزئية   على عنصر وحيد فإنها تدعى حادثة أولية .

 هي الحادثة الأكيدة و  هي الحادثة المستحيلة . (  الجزء الخيالي ) 

- إذا كانت  حادثة ما فإن حادثتها العكسية يرمز لها ب  و هي التي تحوي كل عناصر  ما عدا عناصر 

- لتكن  و  حادثتين . نرمز ب  للحادثة "  و  " و هي التي تحوي العناصر المشتركة بين   و  

  * إذا كانت  خالية أي  نقول عندئذ أن الحادثتين   و  غير متلائمتين .

- نرمز ب  للحادثة "   أو  " و هي التي تحوي عناصر  و عناصر  أيضا .

قانون الاحتمال

تعريف :

قانون احتمال  لتجربة عشوائية هو إرفاق كل مخرج  بعدد موجب  مع 

بحيث يتحقق ما يلي : 

* نمذجة تجربة عشوائية يعني إرفاقها بمجموعة إمكانيات  و قانون احتمال  على  

يسمى العدد  احتمال تحقق المخرج  

ملاحظة  :

بما أن كل عدد  موجب فهو أصغر من المجموعة  و منه  من أجل كل  طبيعي من  إلى  .

ملاحظة  :

إحتمال الحادثة  يرمز له ب  و يساوي مجموع إحتمالات الحوادث الاولية للحادثة  .

تساوي الاحتمال

تعريف : 

نقول عن تجربة أنها متساوية الاحتمال عندما يكون لكل الحوادث الاولية نفس الاحتمال نقول عندئذ أن قانون الاحتمال متساوي التوزيع .

نتيجة : 

في حالة تساوي الاحتمال 

كل مخرج  له احتمال  حيث 

إذا كانت الحادثة  تحوي   عنصرا  يكون احتمالها  حيث 

أي أن = عدد عناصر  / عدد عناصر 

ملاحظة : 

بما أن  فإن  و نضع 

خواص الاحتمالات

لتكن  المجموعة الشاملة ( النتائج الممكنة ) لتجربة عشوائية ، نزود  بالاحتمال  .

من أجل كل حادثة  فإن 

 و 

 إذا كانت  و  حادثتين كيفيتين فإن : 

 إذا كانت  و  حادثتين غير متلائمتين  فإن

  حيث  الحادثة العكسية للحادثة  

 إذا كانت الحادثة  جزءا من الحادثة    فإن

تعاريف :

لتكن  مجموعة النتائج الممكنة لتجربة عشوائية ( نعتبر هذه النتائج أعداد حقيقية ) 

ليكن  احتمالا على  ، نرمز بالرمز  للاحتمال

* أمل قانون الاحتمال هو العدد  حيث 

* تباين قانون الاحتمال هو العدد  حيث

* الانحراف المعياري لقانون الاحتمال هو العدد 

يمكن كتابة التباين  على الشكل

ملاحظة : 

الأمل يمثل الوسط الحسابي في سلسلة احصائية  إذا اعتبرنا  أن قيم الطبع هي عناصر  و التواترات النظرية هي القيم  

المتغير العشوائي

تعريف : 

 المجموعة الشاملة لتجربة عشوائية . نسمي متغيرا عشوائيا كل دالة عددية معرفة على 

قانون الاحتمال لمتغير عشوائي

تعريف : 

قانون غحتمال لمتغير عشوائي  هي الدالة المعرفة على ( مجموعة قيم  ) و التي ترفق بكل قيمة  من  العدد 

تعريف : 

* الأمل الرياضياتي للمتغير  هو العدد  حيث

* التباين للمتغير  هو العدد

*الانحراف المعياري للمتغير  هو العدد

و يمكن كتابة  حيث