ملخص الدرس / الثآنية ثانوي/رياضيات/الجبر و التحليل/الأشتقاقية
عمليات على الدوال المشتقة
مشتقة مجموع دالتين :
مبرهنة :
و دالتان قابلتان للاشتقاق على مجال من . الدالة قابلة للاشتقاق على و دالتها المشتقة هي :
برهان :
من أجل كل عدد حقيقي يختلف عن . لدينا :
نضع و .
بما أن و قابلتان للاشتقاق على لدينا من أجل كل l من و .
و منه و منه صحة البرهان .
مشتقة جداء دالتين :
مبرهنة :
لتكن دالتان و قابلتان للاشتقاق على مجال ( هو مجال أو اتحاد مجالات من ) . الدالة قابلة للاشتقاق على و دالتها المشتقة هي : .
حالة خاصة :
الدالة ( حيث عدد حقيقي ) قابلة للاشتقاق على و دالتها المشتقة هي :
(عمليات على الدوال المشتقة(تابع
مشتقة مقلوب دالة :
مبرهنة :
دالة قابلة للاشتقاق على مجال من و لا تنعدم على الدالة قابلة للاشتقاق على و دالتها المشتقة هي : .
مشتقة نسبة دالتين :
مبرهنة :
لتكن دالتان و قابلتان للاشتقاق على مجال ( هو مجال أو اتحاد مجالات من ) . و لا تنعدم على .
الدالة قابلة للاشتقاق على و دالتها المشتقة هي : .
برهان :
نلاحظ أن يكتب و نطبق مبرهنة مشتقة مقلوب دالة و مبرهنة مشتقة جداء دالتين .
مشتقة الدالة :
مبرهنة : (تقبل بدون برهان )
قابلة للاشتقاق على مجال من . و عددان حقيقيان . مجموعة الاعداد الحقيقية حيث ينتمي إلى . الدالة
قابلة للاشتقاق على و دالتها المشتقة هي : حيث مشتقة الدالة على .
ملاحظة :
الدالة هي دالة مركبة من الدالة متبوعة بالدالة أي .
جدول ملخص
تطبيقات الاشتقاقية
إتجاه تغير الدالة :
مبرهنة : (تقبل بدون برهان )
لتكن دالة معرفة و قابلة للاشتقاق على مجال و دالتها المشتقة .
* إذا كانت موجبة تماما ( يمكن أن تكون معدومة من أجل قيم منعزلة من ) على المجال فإن الدالة متزايدة تماما على المجال .
* إذا كانت سالبة تماما ( يمكن أن تكون معدومة من أجل قيم منعزلة من ) على المجال فإن الدالة متناقصة تماما على المجال .
* إذا كانت معدومة على المجال فإن الدالة ثابتة على المجال .
ملاحظة :
إذا كانت دالة إما متزايدة تماما و إما متناقصة تماما على مجال نقول أن الدالة رتيبة تماما على المجال .
القيم الحدية المحلية لدالة :
مبرهنة : (تقبل بدون برهان )
لتكن دالة معرفة و قابلة للاشتقاق على مجال و دالتها المشتقة .
* إذا انعدمت الدالة المشتقة عند قيمة من مغيرة إشارتها فإنه يوجد مجال مفتوح محتوى في يشمل تقبل فيه قيمة حدية . تسمى قيمة حدية محلية .
ملاحظات :
* يمكن وجود عدة قيم حدية محلية على .
* إذا انعدمت الدالة المشتقة عند قيمة من فإن الرسم البياني للدالة يقبل مماسا موازيا لحامل محور الفواصل عند النقطة التي فاصلتها .
تعليق :
في صورة شاشة الآلة المقابلة ، الرسم يمثل الدالة . مشتقتها الدالة تنعدم عند و لاتغير الإشارة
و
ليست قيمة حدية محلية للدالة .
حصر دالة
حصر دالة :
نتائج :
لتكن دالة معرفة و قابلة للاشتقاق على مجال و دالتها المشتقة .
* إذا كانت الدالة متزايدة تماما على المجال فإن من أجل كل عدد حقيقي من المجال .
* إذا كانت الدالة متناقصة تماما على المجال فإن من أجل كل عدد حقيقي من المجال .
عنصر حاد من الأعلى - عنصر حاد من الأسفل :
تعريف :
لتكن دالة معرفة على مجال .
* يسمى عدد حقيقي عنصرا حادا من الأعلى للدالة على المجال إذا و فقط إذا كان من أجل كل عدد حقيقي من المجال ، .
* يسمى عدد حقيقي عنصرا حادا من الأسفل للدالة على المجال إذا و فقط إذا كان من أجل كل عدد حقيقي من المجال ، .
ملاحظة :
* القيمة الحدية الكبرى للدالة على المجال إن وجدت هي العنصر الحاد من الأعلى و هو أصغر العناصر الحادة من الأعلى .
* القيمة الحدية الصغرى للدالة على المجال إن وجدت هي العنصر الحاد من الأسفل و هو أكبر العناصر الحادة من الأسفل .
إتجاه تغير دالة
إتجاه تغير دالة :
مبرهنة (تقبل بدون برهان):
لتكن دالة معرفة وقابلة للإشتقاق على مجال و دالتها المشتقة.
- إذا كانت موجبة تماما (يمكن أن تكون معدومة من أجل قيم منعزلة من ) على المجال فإن الدالة متزايدة تماماً على المجال .
- إذا كانت سالبة تماماً (يمكن أن تكون معدومة من أجل قيم منعزلة من ) على المجال فإن الدالة متناقصة تماماً على المجال .
- إذا كانت معدومة على المجال فإن الدالة ثابتة على المجال
ملاحظة :
إذا كانت دالة إما متزايدة تماماً وإما متناقصة تماماً على مجال نقول أن الدالة رتيبة تماماً على المجال .
مثال : لتكن الدالة المعرفة على كما يلي : .
الدالة قابلة للإشتقاق على ودالتها المشتقة حيث : .
الدالة سالبة تماماً على وتنعدم في النقطة المعزولة إذن الدالة متناقصة تماماً على .
القيم الحدية المحلية لدالة
القيم الحدية المحلية لدالة :
مبرهنة (تقبل بدون برهان) :
لتكن دالة معرفة وقابلة للإشتقاق على مجال و دالتها المشتقة.
- إذا انعدمت الدالة المشتقة عند قيمة من مغيرة إشارتها فإنه يوجد مجال مفتوح محتوى في يشمل تقبل فيه قيمة حدية ، تسمى قيمة حدية محلية.
ملاحظات :
- يمكن وجود عدة قيم حدية محلية على .
- إذا انعدمت الدالة المشتقة عند قيمة من فإن الرسم البياني للدالة يقبل مماسا موازيا لحامل محور الفواصل عند النقطة التي فاصلتها .
تعليق :
في صورة شاشة الآلة التالية، الرسم يمثل الدالة ، مشتقتها ، الدالة تنعدم عند ولا تغير الإشارة، و .
ليست قيمة حدية محلية للدالة .
حصر دالة
حصر دالة :
نتائج :
لتكن دالة معرفة وقابلة للإشتقاق على مجال و دالتها المشتقة.
- إذا كانت الدالة متزايدة تماماً على المجال فإن من أجل كل عدد حقيقي من المجال : .
- إذا كانت الدالة متناقصة نماماً على المجال فإن من أجل كل عدد حقيقي من المجال : .
مثال :
لتكن الدالة المعرفة على كما يلي : .
- الدالة قابلة للإشتقاق على ودالتها المشتقة هي : .
- الدالة سالبة تماماً على و إذن الدالة متناقصة تماماً على المجال .
- الدالة موجبة تماماً على إذن الدالة متزايدة تماماً على المجال .
جدول التغيرات في الصورة المرفقة
من أجل كل من المجال ، أي .
من أجل كل من المجال ، أي .
عنصر حاد من الأعلى - عنصر حاد من الأسفل
عنصر حاد من الأعلى - عنصر حاد من الأسفل :
تعريف :
لتكن دالة معرفة على مجال .
- يسمى عدد حقيقي عنصراً حاداً من الأعلى للدالة على المجال إذا وفقط إذا كان من أجل كل عدد حقيقي من المجال ، .
- يسمى عدد حقيقي عنصراً حاداً من الأسفل للدالة على المجال إذا وفقط إذا كان من أجل كل عدد حقيقي من المجال ، .
بالنسبة للمثال السابق الدالة المعرفة على كما يلي : .
0 عنصر حاد من الأعلى و عنصر حاد من الأسفل.
ملاحظة :
- القيمة الحدية الكبرى للدالة على إن وجدت هي العنصر الحاد من الأعلى وهو أصغر العناصر الحادة من الأعلى.
- القيمة الحدية الصغرى للدالة على إن وجدت هي العنصر الحاد من الأسفل وهو أكبر العناصر الحادة من الأسفل.