ملخص الدرس / الثآنية ثانوي/رياضيات/الجبر و التحليل/النهايات

نهاية غير منتهية عند عدد حقيقي

1- نهاية غير منتهية عند عدد حقيقي:

مبرهنة : 

 عدد حقيقي 

نقبل النتائج التالية :   ;

2- المستقيم المقارب الموازي لمحور التراتيب :

تعريف : 

هو التمثيل البياني لدالة  في معلم و  عدد حقيقي ، اذا كانت النهاية ( النهاية من اليمين أو من اليسار ) للدالة  عند العدد  هي  أو  نقول أن المستقيم الموازي لمحور التراتيب ذو

المعادلة  هو مستقيم مقارب للمنحنى 

نهاية منتهية عند ما لانهاية

1- نهاية منتهية عند ما لانهاية :

مبرهنة :

 عدد حقيقي 

نقبل النتائج التالية :  ; 

2- المستقيم المقارب الموازي لمحور الفواصل :

تعريف :

 هو التمثيل البياني لدالة  في معلم و  عدد حقيقي ، القول أن المستقيم الموازي لمحور الفواصل ذو المعادلة   هو مستقيم مقارب للمنحنى  عند  أو  يعني أن

  أو  على الترتيب 

عمليات على النهايات

ملاحظات :

1- يتم حساب نهاية دالة عند الحدود المفتوحة لمجموعة تعريف .

2- اذا كانت  دالة قابلة للاشتقاق عند عدد حقيقي  من مجموعة تعريفها فان 

3- اذا قبلت دالة  نهاية عند عدد حقيقي  فان هذه النهاية وحيدة 

4- يمكن لدالة أن لا تقبل نهاية عند حد من حدود من مجموعة تعريفها ، فمثلا الدالة  لا تقبل نهاية عند 

مبرهنات أولية على النهايات :

 و دالتان ، يمثل  عدد حقيقي  أو  نقبل المبرهنات التالية : 

1. نهاية مجموع دالتين :

       
       
   ح ع ت

2. نهاية جداء دالتين :

               
       
      ح ع ت ح ع ت

3. نهاية حاصل قسمة دالتين : 

 

                                    
            
                           ح ع ت  ح ع ت    ح ع ت   ح ع ت    ح ع ت

 

ملاحظة : 

تسمى الحالات التي لا تسمح فيها النظريات السابقة من استنتاج النهاية بحالات عدم التعيين (ح ع ت ) .

خواص :

1. النهاية عند  وعند   لدالة كثير حدود هي نهاية حدها الأعلى درجة عند 

2. النهاية عند  و عند  لدالة ناطقة هي نهاية حاصل قسمة الحدين الأعلى درجة عند 

المستقيم المقارب المائل

الملخص المستقيم المقارب المائل

تعريف :

ليكن  التمثيل البياني لدالة  في معلم و ليكن  المستقيم ذو المعادلة :

القول أن المستقيم  مستقيم مقارب للمنحنى  عند  (على الترتيب عند ) يعني أن : 

(على الترتيب عند )

ملاحظة :

اذا كانت الدالة  معرفة كما يلي :   مع  أو  فمن الواضح أن المستقيم ذو المعادلة

مستقيم مقارب مائل للمنحنى الممثل للدالة عند  أو 

مثال : 

نعتبر الدالة  المعرفة على  ب و ليكن  تمثيلها البياني في معلم ، لدينا  و  ومنه فالمستقيم  ذو المعادلة مستقيم مقارب مائل للمنحنى  عند  و 

دراسة دالة

مخطط دراسة دالة :

1- تحديد مجموعة تعريف الدالة ان لم تعطى .

2- دراسة شفعية الدالة ( زوجية أو فردية الدالة ) ان أمكن و دورية الدالة قصد تقليص مجال الدراسة :

  - اذا كانت الدالة دورية و دورها  فيمكن دراستها على مجال طوله 

  - اذا كانت الدالة زوجية أو فردية فيكفي دراستها على نصف مجال التعريف 

3- حساب النهايات عند حدود مجموعة التعريف .

4- دراسة اتجاه التغير و يتم فيها ما يلي :

  - حساب المشتقة على المجالات التي تقبل فيها الدالة الاشتقاق .

  - دراسة اشارة المشتقة و استنتاج تغيرات الدالة .

  - تحديد القيم الحدية في حالة وجودها .

5- تشكيل جدول التغيرات .

6- تحديد المستقيمات المقاربة ان وجدت .

7- التمثيل البياني للدالة و يتم فيه ما يلي :

  - رسم المستقيمات المقاربة .

  - تمثيل بعض النقاط المسلعدة و خاصة القيم الحدية و نقاط تقاطع المنحنى مع محوري الاحداثيات .

  - رسم المماسات عند القيم الحدية و المماسات الأخرى المطلوبة في النص .

استغلال عناصر تناظرالمنحنى ان وجدت  (مراكز التناظر و محاور التناظر ) 

نقطة الانعطاف :

تعريف :

نقطة انعطاف منحنى الدالة  هي النقطة التي يقطع فيها المماس المنحنى . 

ملاحظة :

المنحنى الممثل للدالة حيث يقبل دائما مركز تناظر هي نقطة الانعطاف 

دراسة دالة تناظرية

تعريف :

نسمي دالة تناظرية كل دالة من الشكل  حيث  ،  ، و  أعداد حقيقية مع  و 

ملاحظة :

نسمي المنحنى الممثل للدالة التناظرية من الشكل  مع  و  قطعا زائدا معادلتا مستقيميه المقاربين هما :   و