ملخص الدرس / الثآنية ثانوي/رياضيات/الجبر و التحليل/المعادلات المتراجحات من الدرجة 2

الملخص

الدوال كثيرة الحدود

الدالة كثير حدود :

تعريف :

نسمي دالة كثير حدود (أو كثير حدود) كل دالة $f$ معرفة على $\mathbb{R}$ ب: $f\left ( x \right )=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+....a_{1}x+a_{0}$

حيث $n$ عدد طبيعي و $a_{n},....,a_{1},a_{0}$ أعداد حقيقية ثابتة

أمثلة :

كل دالة ثابتة : $\left ( k\in \mathbb{R} \right ) x \mapsto k$ هي دالة كثير حدود و بصفة خاصة الدالة المعدومة $x \mapsto 0$

الدوال : $x \mapsto 0 ,3x^{2}+x-\sqrt{2}$ , $x \mapsto \left ( x+2 \right )\left ( x^{2}-2 \right )$ , $x \mapsto x^5$ هي كثيرات حدود

2- درجة كثير حدود :

مبرهنة و تعريف :

كل دالة كثير حدود غير معدومة $f$ تكتب بطريقة وحيدة على الشكل : $f\left ( x \right )=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+....a_{1}x+a_{0}$ مع $a_{n}\neq 0$

يسمى العدد الطبيعي $n$ درجة كثير الحدود $f$ تسمى الأعداد $a_{n},....,a_{1},a_{0}$ معاملاته و يسمى $a_{p}x^{p}$ الحد الذي درجته $p$

أمثلة :

كل دالة ثابتة : $\left ( a_{0}\neq 0 \right )x \mapsto a_{0}$ هي كثير حدود درجته $0$

كل دالة تآلفية : $\left ( a\neq 0 \right )x \mapsto ax+b$ هي كثير حدود درجته $1$

كل دالة : $x \mapsto ax^{2}+bx+c \left ( a\neq 0 \right )$ هي كثير حدود درجته $2$

( تسمى أيضا ثلاثي حدود من الدرجة الثانية )

ملاحظة : درجة كثير الحدود المعدوم غير معينة

3- تساوي كثيري حدود :

مبرهنة :

يكون كثير حدود معدوما اذا و فقط اذا كانت كل معاملاته معدومة .

يكون كثيرا حدود غير معدومين متساويين اذا و فقط اذا كانا من نفس الدرجة و كانت معاملات الحدود من نفس الدرجة متساوية

مثال :

اذا كان لدينا من أجل كل عدد حقيقي $: x$ $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=2x^{3}-x+3$

فان : $c=-1,b=0,a=2$ و $d=3$

4 - عمليات كثيرات الحدود :

تسمح قواعد الحساب الجبري من التوصل الى النتائج التالية :

1- مجموع , فرق و جداء كثيرات حدود .

2- مركب كثيري حدود هو كثير حدود .\

3- جداء كثيري حدود غير معدومين درجتاهما $n$ و $p$ على الترتيب هو كثير حدود درجته

ملاحظة : بصفة عامة حاصل قسمة كثير حدود $f$ على كثير حدود $g$ ليس كثير حدود و تسمى الدالة : $h:x \mapsto \frac{f\left ( x \right )}{g\left ( x \right )}$ دالة ناطقة .

5- جذر كثير حدود :

تعريف :

ليكن $f$ كثير حدود درجته أكبر من أو تساوي $1$ و $\alpha$ عدد حقيقي

العدد $\alpha$ جذر لكثير الحدود $f$ يعني $f\left ( \alpha \right )=0$

مثال :

ليكن $f$ كثير الحدود المعرف ب: $f\left ( x \right )=x^{3}-x^{2}-x-2$

لدينا : $f\left ( 2 \right )=0$ و منه $2$ هو جذر لكثير الحدود $f$ بينما العدد $0$ ليس جذرا له لأن $\left ( f\left ( 0 \right )=-2 \right )f\left ( 0 \right )\neq 0$

6- تحليل كثير حدود باستعمال $\left ( x-\alpha \right )$ :

مبرهنة :

ليكن $f$ كثير حدود درجته أكبر من أو يساوي $1$ و $\alpha$ عدد حقيقي .

اذا كان $f\left ( \alpha \right )=0$ ( $\alpha$ جذر لكثير الحدود $f$ ) فانه يوجد كثير حدود $g$ بحيث من أجل كل عدد حقيقي $x$ لدينا : $f\left ( x \right )=\left ( x-\alpha \right )g\left ( x \right )$

مثال :

ليكن $f$ كثير الحدود المعرف ب: $f\left ( x \right )=x^{3}-6x^{2}+11x-6$

لدينا : $f\left ( 1 \right )=0$ و $f\left ( 2 \right )=0$ و $f\left ( 3 \right )=0$ ومنه الأعداد 1، 2 و 3 هي جذور لكثير الحدود $f$ , يمكن اذن تحليل $f$ و لدينا : $f\left ( x \right )=\left ( x-1 \right )\left ( x-2 \right )\left ( x-3 \right )$

المعادلات من الدرجة الثانية

1- المعادلات من الدرجة الثانية :

تعريف :

نسمي معادلة من الدرجة الثانية ذات المجهول $x$ كل معادلة يمكن كتابتها على الشكل : $ax^{2}+bx+c=0$ حيث $b,a$ و $c$ أعداد حقيقية ثابتة مع $a\neq 0$

2- حل المعادلة $ax^{2}+bx+c=0$ :

نعتبر المعادلة من الدرجة الثانية ذات المجهول $x$ التالية : $\left ( a\neq 0 \right )ax^{2}+bx+c=0$

باستعمال الشكل النموذجي نبرهن على المبرهنة التالية : (الجدول 1)

ملاحظة : اذا كان $\Delta =0$ نقول أن المعادلة $ax^{2}+bx+c=0$ تقبل حلا مضاعفا

البرهان :

نكتب العبارة في الطرف الأول للمعادلة $\left ( a\neq 0 \right )ax^{2}+bx+c=0$ على شكلها النموذجي ، عندئذ نميز ثلاث حالات :

$\Delta > 0$ نكتب $\frac{\Delta }{4a^{2}}=\left ( \frac{\sqrt{\Delta }}{2a} \right )^{2}$ و منه $a\left [ \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}-\left ( \frac{\sqrt{\Delta }}{2a} \right )^{2} \right ]=a\left ( x+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{\Delta }}{2a} \right )\left ( x+\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{\Delta }}{2a} \right )$

$ax^{2}+bx+c=a\left [ \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}-\frac{\Delta }{4a^{2}} \right ]=$

للمعادلة حلان هما $x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$ ، $x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$

$\Delta =0$ : $ax^{2}+bx+c=a\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}$ ومنه للمعادلة حل وحيد هو $x_{0}=\frac{-b}{2a}$

$\Delta < 0$ : لدينا $-\frac{\Delta }{4a^{2}}< 0$ ، و بالتالي $\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}+\left ( -\frac{\Delta }{4a^{2}} \right )> 0$ ومنه المعادلة لا تقبل حلولا

مبرهنة :

لتكن المعادلة $ax^{2}+bx+c=0$ مع $\left ( a\neq 0 \right )$ ، $\Delta$ مميزها :

- اذا كان $\Delta > 0$ فان المعادلة تقبل حلين $x_{2};x_{1}$ : $x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$ ، $x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$ و ينتج

$ax^{2}+bx+c=a\left ( x-x_{1} \right )\left ( x-x_{2} \right )$

- اذا كان $\Delta =0$ فان المعادلة تقبل حلا مضاعفا $:x_{0}$ $x_{0}=\frac{-b}{2a}$ ( نعني بحل مضاعف ، حلان متطابقان ) و ينتج $ax^{2}+bx+c=a\left ( x-x_{0} \right )^{2}$

- اذا كان $\Delta < 0$ فان المعادلة لا تقبل حلولا و العبارة $ax^{2}+bx+c$ لا تحلل

مثال : حل في $\mathbb{R}$ المعادلات التالية :

أ- $x^{2}+2x=0$

ب- $x^{2}+x+1$

ج- $x^{2}-4x+4=0$

د- $x^{2}+x-6=0$

الحل :

أ- $x^{2}+2x=0$ تعني $x\left ( x+2 \right )=0$ أي $x=0$ أو $x=-2$ ومنه مجموعة الحلول هي $S=\left \{ -2;0 \right \}$

ب- لدينا : $a=1$ ; $b=1$ و $c=1$ ومنه : $\Delta =\left ( 1 \right )^{2}-4\left ( 1 \right )\left ( 1 \right )=-3$ اذن ليس للمعادلة حلول ومنه $S=\o$

ج- $x^{2}-4x+4=0$ تكافئ $(x-2)^{2}=0$ اذن للمعادلة حل مضاعف $x=2$ و منه $S=\left \{ 2 \right \}$

د- لدينا : $a=1$ ; $b=1$ و $c=-6$ ومنه : $\Delta =(1)^{2}-4(1)(-6)=25$ اذن للمعادلة حلان متمايزان : $x_{1}=\frac{-1+\sqrt{25 }}{2}=2$ و

$x_{2}=\frac{-1-\sqrt{25 }}{2}=-3$

ومنه : $S=\left \{ -3;2 \right \}$

3- الشكل النموذجي لثلاثي الحدود $\left ( a\neq 0 \right )ax^{2}+bx+c$ :

من أجل كل عدد حقيقي $x$ لدينا : $ax^{2}+bx+c=a\left [ x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} \right ]$

و بما أن $\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}=x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{b^{2}}{4a^{2}}$ فان $x^{2}+\frac{b}{a}x=\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}$

ومنه $ax^{2}+bx+c=a\left [ \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}+\frac{c}{a} \right ]$

$=ax^{2}+bx+c=a\left [ \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}-\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}} \right ]$

بوضع $\Delta =b^{2}-4ac$ نجد $ax^{2}+bx+c=a\left [ \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}-\frac{\Delta }{4a^{2}} \right ]$

تعريف :

ليكن $ax^{2}+bx+c$ ثلاثي حدود من الدرجة الثانية $\left ( a\neq 0 \right )$ يسمى العدد $b^{2}-4ac$ مميز ثلاثي الحدود $ax^{2}+bx+c$ و نرمز اليه بالرمز $\Delta$

يسمى $a\left [ \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}-\frac{\Delta }{4a^{2}} \right ]$ الشكل النموذجي لثلاثي الحدود $ax^{2}+bx+c$

مثال :

نعتبر ثلاثي الحدود من الدرجة الثانية $f$ المعرف ب : $f(x)=x^{2}+3x-4$

1- عين الشكل النموذجي ل $f(x)$

2- بين أنه من أجل كل عدد حقيقي $x$ لدينا : $f(x)\geq \frac{-25}{4}$ ، استنتج أن $f$ تقبل على $\mathbb{R}$ قيمة حدية يطلب تحديدها

الحل :

1- من أجل كل عدد حقيقي $x$ لدينا : $x^{2}+3x-4=\left ( x+\frac{3}{2} \right )^{2}-\frac{9}{4}-4=\left ( x+\frac{3}{2} \right )^{2}-\frac{25}{4}$

ومنه : $f(x)=\left ( x+\frac{3}{2} \right )^{2}-\frac{25}{4}$ و هو الشكل النموذجي ل $f(x)$

2- لمقارنة $f(x)$ بالعدد $-\frac{25}{4}$ نقوم بدراسة اشارة الفرق $\left [ f(x)-\left ( -\frac{25}{4} \right ) \right ]$

لدينا من السؤال الأول : $f(x)-(-\frac{25}{4})=\left ( x+\frac{3}{2} \right )^{2}$ و بما أن $\left ( x+\frac{3}{2} \right )^{2}\geq 0$ نستنتج أن اذن من أجل كل عدد حقيقي $x$ لدينا : $f(x)\geq -\frac{25}{4}$

بما أن $f(x)\geq -\frac{25}{4}$ و $f(-\frac{3}{2})= -\frac{25}{4}$ فان : $f(x)\geq f(-\frac{3}{2})$ نستنتج أن الدالة $f$ تقبل على $\mathbb{R}$ قيمة حدية صغرى هي $\frac{-25}{4}$ و تبلغها من أجل القيمة $\frac{-3}{2}$ للمتغير

المتراجحات من الدرجة الثانية

1-المتراجحات من الدرجة الثانية:

تعريف :

نسمي متراجحة من الدرجة الثانية ذات المجهول $x$ ، كل متراجحة يمكن كتابتها على أحد الشكلين التاليين $ax^{2}+bx+c\geq 0$ ، $ax^{2}+bx+c> 0$ حيث $b;a$ و $c$ أعداد حقيقية

ثابتة مع $a\neq 0$

2- اشارة ثلاثي الحدود $ax^{2}+bx+c . \left ( a\neq 0 \right )$

$x$	$-\infty$ $x_{1}$ $x_{2}$ $+\infty$
$x-x_{1}$	$-$ $0$ $+$ $\left \| \right$ $+$
$x-x_{2}$	$-$ $\left \| \right$ $-$ $0$ $+$
$a\left ( x-x_{1} \right )\left ( x-x_{2} \right )$	$a$ اشارة $a$ $0$ اشارة $(-a)$ $0$ اشارة

الحالة 1: $\Delta > 0$

لدينا $ax^{2}+bx+c=a\left ( x-x_{1} \right )\left ( x-x_{2} \right )$ حيث : $x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$ ; $x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$

بفرض $x_{1}< x_{2}$ نحصل على الجدول المقابل

الحالة 2: $\Delta =0$

لدينا $ax^{2}+bx+c=a\left ( x-x_{1} \right )^{2}$ حيث $x_{1}=\frac{-b}{2a}$ و منه $ax^{2}+bx+c=0$

من أجل $x=x_{1}$ و اشارته هي اشارة $a$ من أجل كل $x\neq x_{1}$

الحالة 3: $\Delta < 0$

لدينا $ax^{2}+bx+c=a\left [ \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}+\left ( \frac{-\Delta }{4a^{2}} \right ) \right ]$ و بما أن $\left [ \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}+\left ( \frac{-\Delta }{4a^{2}} \right ) \right ]> 0$ فان من أجل كل عدد حقيقي $x$ ، اشارة $ax^{2}+bx+c$ هي اشارة $a$

مبرهنة :

$\Delta < 0$ المعادلة $ax^{2}+bx+c=0$ لا تقبل حلولا :

من أجل كل عدد حقيقي $x$ ، اشارة $ax^{2}+bx+c$ هي من نفس اشارة $a$

$\Delta > 0$ : المعادلة $ax^{2}+bx+c=0$ تقبل حلين متمايزين $x_{1}$ و $x_{2}\left ( x_{1}< x_{2} \right )$

$x$	$-\infty$ $x_{1}$ $x_{2}$ $+\infty$
$ax^{2}+bx+c$	$a$ اشارة $a$ $0$ اشارة $(-a)$ $0$ اشارة

3- حل في المتراجحات :

أ- $2x^{2}+4x-6\leq 0$

ب- $-x^{2}+10x-25\geq 0$

ج- $x^{2}-x+4< 0$

يؤول حل متراجحة من الشكل $ax^{2}+bx+c\geq 0$ ، $ax^{2}+bx+c> 0$ ; $ax^{2}+bx+c\leq 0$ أو $ax^{2}+bx+c< 0$ الى دراسة اشارة ثلاثي

الحدود $ax^{2}+bx+c$

الحل :

أ- لدينا $\Delta =64$ ومنه حلول المعادلة $2x^{2}+4x-6= 0$ هما : $-3$ و $1$

$x$	$-\infty$ $1$ $-3$ $+\infty$
$2x^{2}+4x-6$	$+$ $0$ $-$ $0$ $+$

مجموعة الحلول هي اذن : $S=\left [ -3;1 \right ]$

ب- لدينا $\Delta =0$ ومنه للمعادلة $-x^{2}+10x-25= 0$ حلا مضاعفا هو $5$ ، مجموعة الحلول هي اذن : $S=\left \{ 5 \right \}$

$x$	$-\infty$ $5$ $+\infty$
$-x^{2}+10x-25$	$-$ $0$ $-$

ج- لدينا $\Delta =-15$ ومنه ليس للمعادلة $x^{2}-x+4= 0$ حلولا لأن $\Delta < 0$ مجموعة الحلول هي اذن : $S=\o$

$x$	$-\infty$ $+\infty$
$x^{2}-x+4$	$+$

مجموع و جداء حلي معادلة من الدرجة الثانية

1- حساب أحد الحلين بمعرفة الآخر :

اذا علم أحد الجذرين يمكن حساب الجذر الآخر و ذلك باستعمال المجموع $S$ أو الجداء $P$

2- تعيين عددين علم مجموعهما و جداؤهما :

مبرهنة : يكون مجموع عددين هو $S$ و جداؤهما هو $P$ اذا و فقط اذا كانا حلين للمعادلة ذات المجهول $x$ : $x^{2}-Sx+P=0$

3- تعيين اشارة حلي معادلة من الدرجة الثانية :

مبرهنة : نعتبر المعادلة : $(1)....ax^{2}+bx+c=0$ مع $(a\neq 0)$

1. اذا كان $\frac{a}{c}< 0$ فان المعادلة (1) تقبل حلين اشارتاهما مختلفتان .

2. اذا كان $\frac{a}{c}> 0$ و $\Delta > 0$ و $-\frac{b}{a}> 0$ فان المعادلة (1) تقبل حلين موجبين تماما .

3. اذا كان $\frac{a}{c}> 0$ و $\Delta > 0$ و $-\frac{b}{a}< 0$ فان المعادلة (1) تقبل حلين سالبين تماما .

المتراجحات و المعادلات مضاعفة التربيع

1- المعادلات مضاعفة التربيع :

تعريف :

نسمي معادلة مضاعفة التربيع ذات المجهول $x$ ، كل معادلة يمكن كتابتها على الشكل : $ax^{4}+bx^{2}+c=0$ حيث : $b;a$ و $c$ أعداد حقيقية ثابتة مع $a\neq 0$

بين أن حل المعادلة $ax^{4}+bx^{2}+c=0$ يؤول الى حل الجملة : $\left\{\begin{matrix} X=x^{2} & \\ aX^{2}+bX+c=0 & \end{matrix}\right.$

يسمى المجهول $X$ مجهولا مساعدا .

بعد حل المعادلة $aX^{2}+bX+c=0$ نستنتج حلول المعادلة $ax^{4}+bx^{2}+c=0$

2- المتراجحات مضاعفة التربيع :

تعريف :

نسمي متراجحة مضاعفة التربيع ذات المجهول $x$ ، كل متراجحة يمكن كتابتها على أحد الشكلين التاليين : $ax^{4}+bx^{2}+c\geq 0$ , $ax^{4}+bx^{2}+c> 0$

حيث $b;a$ و $c$ أعداد حقيقية ثابتة مع $a\neq 0$

يؤول حل متراجحة مضاعفة التربيع الى دراسة اشارة $ax^{4}+bx^{2}+c$