ملخص الدرس / الثآنية ثانوي/رياضيات/الجبر و التحليل/المتتاليات العددية

الدرس

المتتاليات العددية

$.1$ متتالية عددية :

تعريف :

متتالية عددية حقيقية $u$ هي دالة ترفق بكل عدد طبيعي $n$ ، أكبر من أو يساوي عدد طبيعي $n_{0}$ معطى ، العدد $u\left ( n \right )$ .

ترميز :

نرمز إلى صورة $n$ بالمتتالية $u$ ب $u_{n}$ بدلا من $u\left ( n \right )$ . هذا الترميز الجديد يسمى الترميز بدليل .

المتتالية $u$ يرمز لها $\left ( u_{n} \right )_{n\geq n_{0}}$ إذا كانت المتتالية $u$ معرفة من أجل $n$ أكبر من او يساوي $n_{0}$ .

المتتالية $u$ يرمز لها $\left ( u_{n} \right )_{n\geq n_{0}}$ إذا كانت المتتالية $u$ معرفة على $\mathbb{N}$ .

$u_{n}$ هو الحد الذي دليله $n$ و يسمى كذلك الحد العام للمتتالية $u$ .

$u_{n_{0}}$ هو الحد الاول للمتتالية $u$ إذا كانت معرفة من أجل $n$ أكبر من او يساوي $n_{0}$ .

$u_{0}$ هو الحد الاول للمتتالية $u$ إذا كانت معرفة على $\mathbb{N}$ .

$.2$ طرق توليد متتالية عددية (يقصد بتوليد متتالية معرفة حدودها ) :

توليد متتالية عددية بالحد العام :

* إذا كان الحد العام لمتتالية عددية معطى بدلالة $n$ فإنها معرفة تماما . و لحساب حد $u_{n_{0}}$ من الحدود يكفي تعويض $n$ بالقيمة $n_{0}$ .

توليد متتالية عددية بعلاقة تراجعية :

* لتكن دالة عددية $f$ معرفة على مجال $D$ و حيث أن من اجل $x\in D$ فإن $f\left (x \right )\in D$ . المتتالية $u$ المعرفة بحدها الاول $u_{n_{0}}$ و العلاقة $u_{n+1}=f\left ( u_{n} \right )$ تسمى متتالية

تراجعية . تسمح هذه العلاقة بحساب $u_{n+1}$ إذا علم $u_{n}$ من أجل كل $n\geq n_{0}$ الدالة العددية $f$ تسمى الدالة المرفقة بالمتتالية $u$ .

التمثيل البياني لمتتالية عددية

$.1$ متتالية معرفة بالحد العام :

* يمكن تمثيل حدود متتالية عددية معرفة بحدها العم على محور

مثال :

لتكن المتتالية $\left ( u_{n} \right )$ المعرفة على $\mathbb{N}$ كما يلي : $u_{n}=\left ( -2 \right )^{n}$ .

Chargement en cours, Veuillez patientez...

* يمكن تمثيل متتالية عددية معرفة بحدها العام ( ترفق هذه المتتالية بدالة $f$ ) .

مثال :

لتكن المتتالية $\left ( u_{n} \right )$ المعرفة على $\mathbb{N}$ كما يلي : $u_{n}=n^{2}-4n-1$ .

$\left ( u_{n} \right )$ معرفة كذلك $u_{n}=f\left ( n \right )$ حيث : $f:x \mapsto x^2 -4x-1$ نعرف $f$ على المجال $\left [ 0;+\infty \right [$ بما أن $n$ عدد طبيعي . في الرسم المقابل

النقط الممثلة احداثياها $\left ( n,f\left ( n \right ) \right )$ من أجل $n=0$ ، $n=1$ ، $n=2$ ، $n=3$ ، $n=4$ و $n=5$ في المستوي المنسوب إلى معلم $\left ( O;\vec{i};\vec{j} \right )$ .

مجموعة النقط $M\left ( n,f\left ( n \right ) \right )$ هي التمثيل البياني للمتتالية $\left ( u_{n} \right )$ .

Chargement en cours, Veuillez patientez...

$.2$ متتالية معرفة بعلاقة تراجعية :

لتكن المتتالية $\left ( u_{n} \right )$ المعرفة بحدها الأول $u_{0}$ و العلاقة التراجعية $u_{n+1}=f\left ( u_{n} \right )$ حيث $f$ دالة معرفة على $\mathbb{R}$ .

مجموعة النقط $M\left ( n,f\left ( n \right ) \right )$ هي التمثيل البياني في المستوي المنسوب إلى معلم للمتتالية .

اتجاه تغير متتالية عددية

$.1$ متتالية متزايدة :

تكون متتالية $\left ( u_{n} \right )_{n\geq n_{0}}$ متزايدة ( متزايدة تماما على الترتيب ) إبتداءا من الرتبة $n_{0}$ إذا و فقط إذا كان $u_{n+1}\geq u_{n}$ ( $u_{n+1}\geq u_{n}$ على الترتيب ) من أجل كل عدد طبيعي

$n$ أكبر من أو يساوي $n_{0}$ .

$.2$ متتالية متناقصة :

تكون متتالية $\left ( u_{n} \right )_{n\geq n_{0}}$ متناقصة ( متناقصة تماما على الترتيب ) إبتداءا من الرتبة $n_{0}$ إذا و فقط إذا كان $u_{n+1}\leq u_{n}$ ( $u_{n+1}< u_{n}$ على الترتيب ) من أجل كل عدد طبيعي

$n$ أكبر من أو يساوي $n_{0}$ .

$.3$ متتالية ثابتة :

تكون متتالية $\left ( u_{n} \right )_{n\geq n_{0}}$ ثابتة إبتداءا من الرتبة $n_{0}$ إذا و فقط إذا كان $u_{n+1}= u_{n}$ من أجل كل عدد طبيعي $n$ أكبر من أو يساوي $n_{0}$ .

المتتالية الحسابية

$.1$ تعريف متتالية حسابية :

تعريف :

نقول أن المتتالية $\left ( u_{n} \right )$ متتالية حسابية حدها الاول $u_{0}$ إذا و فقط إذا وجد عدد حقيقي $r$ بحيث ان من أجل كل عدد طبيعي $n$ : $u_{n+1}=u_{n}+r$ .

يسمى $r$ أساس المتتالية $\left ( u_{n} \right )$ .

ملاحظة :

إذا كان $r=0$ فإن المتتالية $\left ( u_{n} \right )$ ثابتة و كل حدودها تساوي الحد الأول $u_{0}$ .

$.2$ الحد العام لمتتالية حسابية :

مبرهنة :

( تقبل يدون برهان ) $\left ( u_{n} \right )$ متتالية حسابية حدها الاول $u_{0}$ أساسها $r$ .

الحد العام للمتتالية الحسابية $\left ( u_{n} \right )$ هو $u_{n}=u_{0}+nr$ من أجل كل عدد طبيعي $n$ .

ملاحظات :

* إذا كان $u_{1}$ الحد الأول فإن عبارة الحد العام هي : $u_{n}=u_{1}+\left ( n-1 \right )r$ .

* بصفة عامة إذا كان $u_{p}$ الحد الأول ( $p$ عدد طبيعي أصغر من $n$ ) فإن عبارة الحد العام هي : $u_{n}=u_{p}+\left ( n-p \right )r$ .

* تعيين الحد العام يعود إلى كتابة $u_{n}$ بدلالة $n$ .

$.3$ مجموع حدود متتابعة من متتالية حسابية :

مبرهنة :

( تقبل يدون برهان ) $\left ( u_{n} \right )$ متتالية حسابية حدها الاول $u_{0}$ أساسها $r$ .ليكن المجموع : $S=u_{0}+u_{1}+.....+u_{n-1}+u_{n}$

من أجل كل عدد طبيعي $n$ : $S=\left ( n+1 \right )\left ( \frac{u_{0}+u_{n}}{2} \right )$

$S$ يساوي عدد الحدود مضروب في نصف مجموع الحد الأول و الحد الأخير .

المتتاليات الهندسية

$.1$ تعريف متتالية هندسية :

تعريف :

نقول أن المتتالية $\left ( u_{n} \right )$ متتالية هندسية حدها الاول $u_{0}$ إذا و فقط إذا وجد عدد حقيقي $q$ حيث أن من أجل كل عدد طبيعي $n$ : $u_{n+1}=u_{n}\times q$ .

يسمى $q$ أساس المتتالية $\left ( u_{n} \right )$ .

ملاحظة :

* إذا كان $q=1$ فإن المتتالية ثابتة جميع حدودها تساوي $u_{0}$ .

*إذا كان $q=0$ فإن حدود المتتالية معدومة ابتداءا من الحد الثاني .

$.2$ الحد العام لمتتالية هندسية :

مبرهنة :

(تقبل دون برهان ) $\left ( u_{n} \right )$ متتالية هندسية حدها الاول $u_{0}$ أساسها $q$ .

عبارة الحد العام للمتتالية الهندسية $\left ( u_{n} \right )$ : $u_{n}=u_{0}\times q^{n}$ من أجل كل عدد طبيعي $n$ .

ملاحظات :

* إذا كان الحد الأول $u_{1}$ عبارة الحد العام $u_{n}=u_{1}\times q^{n-1}$ .

* بصفة عامة إذا كان $u_{p}$ ( $p$ عدد طبيعي أصغر من $n$ ) الحد الأول فإن عبارة الحد العام $u_{n}=u_{p}\times q^{n-p}$ .

* تعيين الحد العام يعود إلى كتابة $u_{n}$ بدلالة $n$ .

$.3$ مجموع حدود متتابعة من متتالية هندسية :

مبرهنة :

$\left ( u_{n} \right )$ متتالية هندسية حدها الاول $u_{0}$ أساسها $q$ . ليكن المجموع : $S=u_{0}+u_{1}+.....+u_{n-1}+u_{n}$ .

* إذا كان $q=1$ فإن $S=\left ( n+1 \right )u_{0}$ من أجل كل عدد طبيعي $n$ .

* إذا كان $q\neq 1$ فإن $S=u_{0}\left ( \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \right )=u_{0}\left (\frac{q^{n+1}-1}{q-1} \right )$ من أجل كل عدد طبيعي $n$ .

$S$ يساوي الحد الأول مضروب في النسبة $\left ( \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \right )$ . حيث $n+1$ هو عدد الحدود .

نهاية متتالية عددية

$.1$ متتالية عددية متقاربة :

تعريف :

$\left ( u_{n} \right )$ متتالية عددية و $l$ عدد حقيقي .

نقول أن المتتالية $\left ( u_{n} \right )$ تقبل $l$ كنهاية إذا و فقط إذا كان كل مجال مفتوح يشمل $l$ فهو يشمل أيضا كل حدود المتتالية $\left ( u_{n} \right )$ ابتداءا من رتبة معينة . و نكتب :

$\lim_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=l$ أو $\lim u_{n}=l$ ( حيث أن النهاية لا تحسب إلا عند $+\infty$ ) في هذه الحالة نقول أن المتتالية $\left ( u_{n} \right )$ متقاربة .

ملاحظات :

* إذا كانت $\left ( u_{n} \right )$ متتالية متقاربة فإن نهايتها وحيدة .

* إذا كانت $\left ( u_{n} \right )$ متتالية غير متقاربة فهي متباعدة ( نهايتها غير منتهية أو غير موجودة ) .

$.2$ نهاية متتالية عددية مرفقة بدالة :

مبرهنة :

لتكن المتتالية $\left ( u_{n} \right )$ المعرفة كما يلي $u_{n}=f\left ( n \right )$ . حيث $f$ دالة معرفة على مجال من الشكل $\left [ \alpha ;+\infty \right [$ حيث $\alpha$ عدد حقيقي .

إذا كانت $\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left ( x \right )=l$ فإن $\lim_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=l$ .

$.3$ نهاية غير منتهية لمتتالية عددية :

تعاريف :

$\left ( u_{n} \right )$ متتالية عددية .

* المتتالية $\left ( u_{n} \right )$ تقبل $+\infty$ كنهاية إذا و فقط إذا كان كل مجال مفتوح $\left ] \alpha ;+\infty \right [$ $\left ( \alpha \in \mathbb{R} \right )$ يشمل كل حدود المتتالية $\left ( u_{n} \right )$ ابتداءا من رتبة معينة .

و نرمز : $\lim_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=+\infty$ .

* المتتالية $\left ( u_{n} \right )$ تقبل $-\infty$ كنهاية إذا و فقط إذا كان كل مجال مفتوح $\left ] -\infty;\alpha \right [$ $\left ( \alpha \in \mathbb{R} \right )$ يشمل كل حدود المتتالية $\left ( u_{n} \right )$ ابتداءا من رتبة معينة .

و نرمز : $\lim_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=-\infty$ .

مبرهنة :

* إذا كانت $\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left ( x \right )=+\infty$ فإن $\lim_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=+\infty$ .

* إذا كانت $\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left ( x \right )=-\infty$ فإن $\lim_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=-\infty$ .

ملاحظة :

النتائج و النظريات حول نهايات الدوال تبقى صحيحة في المتتاليات .

نهاية متتالية عددية باستعمال الحصر

مبرهنة $1$ :

$\left (u_{n} \right )$ ، $\left ( v_{n} \right )$ و $\left ( w_{n} \right )$ ثلاث متتاليات عددية و $l$ عدد حقيقي .

إذا كانت $\lim_{n\rightarrow +\infty }v_{n}=l$ و $\lim_{n\rightarrow +\infty }w_{n}=l$ و إذا كان ابتداءا من عدد طبيعي $n_{0}$ ، $v_{n}\leq u_{n}\leq w_{n}$ فإن $\lim_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=l$ .

مبرهنة $2$ :

$\left (u_{n} \right )$ و $\left ( v_{n} \right )$ متتاليتان عدديتان . إذا كان ابتداءا من عدد طبيعي $n_{0}$ ، $u_{n}\geq v_{n}$ و $\lim_{n\rightarrow +\infty }v_{n}=+\infty$ فإن $\lim_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=+\infty$ .

مبرهنة $3$ :

$\left (u_{n} \right )$ و $\left ( v_{n} \right )$ متتاليتان عدديتان . إذا كان ابتداءا من عدد طبيعي $n_{0}$ ، $u_{n}\leq v_{n}$ و $\lim_{n\rightarrow +\infty }v_{n}=-\infty$ فإن $\lim_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=-\infty$ .

نهاية متتالية هندسية

مبرهنة :

$\left ( u_{n} \right )$ متتالية هندسية حدها الاول $u_{0}$ أساسها $q$ .

* إذا كان $q>1$ و $u_{0}>0$ فإن $\lim_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=+\infty$ و المتتالية $\left ( u_{n} \right )$ متباعدة .

* إذا كان $q>1$ و $u_{0}<0$ فإن $\lim_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=-\infty$ و المتتالية $\left ( u_{n} \right )$ متباعدة .

* إذا كان $-1<q<1$ فإن $\lim_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=0$ و المتتالية $\left ( u_{n} \right )$ متقاربة .

* إذا كان $q\leq -1$ فإن المتتالية $\left ( u_{n} \right )$ متباعدة ( النهاية غير موجودة ) .