ملخص الدرس / الأولى متوسط/رياضيات/الأنشطة العددية/القسمة الإقليدية و القسمة العشرية

القسمة الإقليدية

الملخص القسمة الإقليدية

القسمة الإقليدية لعدد طبيعي (يسمّى المقسوم) على عدد طبيعي غير معدوم (يسمّى المقسوم عليه)، تعني إيجاد عددين طبيعيين، يسميان الحاصل و الباقي و يحققان:

الباقي+الحاصل*المقسوم عليه=المقسوم

المقسوم عليه>الباقي.

مثال1:

لدى صائغ مجوهرات 253 لؤلؤة، يريد استعمالها لصنع عقود، يتضمن كل عقد 17 لؤلؤة.

فعليه أن يبحث:

كم يتضمن العدد 253 من مرّة 17 

15+14*17=253

يمكن للصائغ صنع 14 عقدا، و يتبقى معه 15 لؤلؤة.

ملاحظة:

إيجاد حاصل القسمة الإقليدية للعدد 253 على 17، يعني البحث عن العدد الطبيعي الذي نضربه في 17 لنقترب قدر الإمكان من 2583 بقيم أقل، و التباعد عن 253 يمثل باقي القسمة.

مثال2:

 المساواة 15*4=60 تعني باقي قسمة العدد 60 على 4 هو 0.

في هذه الحالة نقول إنّ:

60 مضاعف للعدد 4 أو 60 يقبل القسمة على 4 أو 4 قاسم ل 60.  

قواعد قابلية القسمة

يقبل عدد طبيعي القسمة:

  • على 2، إذا كان رقم آحاده 8،6،4،2،0. ( في هذه الحالة فقط ، نقول إنّ هذا العدد زوجي).
  • على 5، إذا كان رقم آحاده 5،0.
  • على 3، إذا كان مجموع  أرقامه يقبل القسمة على 3.

أمثلة:

  • الأعداد 2014،34،20 تقبل القسمة على 2.
  • العددان 2325،20 يقبلان القسمة على 5.
  • العدد 2019 يقبل القسمة على 3.

لأنّ 12=9+1+0+2 و 12 يقبل القسمة على 3.

قابلية القسمة على 4

النص:

أ) هل يمكن توزيع 100 حبّة حلوى بالتساوي على 4 أكياس؟ 200 حبّة حلوى؟ 500 حبة حلوى؟

ب) نفس السؤال السّابق من أجل: 116 حبّة حلوى، 103 حبّة حلوى، 224 حبّة حلوى (يمكنك استغلال نتيجة السوال السابق).

 

حل: 

أ) 4*25=100، يمكن أن يحتوي كل كيس على 25 حبّة حلوى.                                           0+4*24=100

   4*50=200، يمكن أن يحتوي كل كيس على 50 حبّة حلوى.                                           0+4*50=200

   4*125=500، يمكن أن يحتوي كل كيس على 125 حبّة حلوى.                                        0+4*125=500 فالأعداد 100،200،500 تقبل القسمة على 4.

 

 ب) يمكن أن نكتب 16+100=116

حسب نتيجة السؤال السابق، تم توزيع 100 حبّة حلوى بالتساوي على 4 أكيلس، يمكن أيضا مواصلة 16 حبة حلوى بالتساوي على 4 أكياس، و ذلك بإضافة 4 حبّات حلوى في كل كيس.

نستنتج أنه يمكن توزيع 116 حبّة حلوى بالتساوي على 4 أكياس.

 

- يمكن أن نكتب 3+100=103

رغم أنّه يمكن توزيع 100 حبّة حلوى بالتساوي على 4 أكياس، إلا أنه                                       3+4*25=103 فالعدد 103 لا يقبل القسمة على4.

يمكن توزيع 3 حبّات حلوى بالتساوي على 4 أكياس.

نستنتج أنّه لا يمكن توزيع 103 حبّة حلوى بالتساوي على 4 أكياس.

 

- يمكن أن نكتب 24+200=224

حسب نتيجة السؤال السابق ، تم توزيع 200  حبّة حلوى بالتساوي على 4 أكياس                           4*56=4*6+4*50=224 فالعدد 224 يقبل القسمة على 4.

يمكن أيضا مواصلة توزيع 24 حبّة حلوى بالتساوي على 4 أكياس، و ذلك بإضافة 

6 حبّات حلوى في كل كيس.

 

طريقة:

لمعرفة قابلية قسمة عدد طبيعي على 4، نختبر قابلية قسمية العدد المشكّل من رقمي آحاده و عشراته على4

  • إذا كان العدد المشكّل من هذين الرقمين يقبل القسمة على 4، فإنّ العدد يقبل القسمة على 4 .
  • إذا كان العدد المشكّل من هذين الرقمين لا يقبل القسمة على 4، فإنّ العدد لا يقبل القسمة على 4.

أمثلة:

  • العدد 16 يقبل القسمة على 4، فالعدد 2016 يقبل القسمة على 4.
  • العدد 18 لا يقبل القسمة على 4، فالعدد 2018 لا يقبل القسمة على4.

دوري الآن: 

اختبر قابلية قسمة كل عدد من الأعداد الآتية على 4: 108، 2020، 527،4356748 .

القسمة العشرية

إجراء القسمة العشرية لعدد على آخر غير معدوم، تعني إيجاد القيمة المظبوطة أو المقرّبة لحاصل القسمة.

نميز حالتين:

 

الحاصل قيمة مضبوطة

الملخص الحاصل قيمة مضبوطة

في هذه الحالة نحصل على باق معدوم،و حاصل القسمة عدد عشري قيمته مظبوطة.

مثال : 

لنبحث عن طول ضلع مربع، محيطه 23m .

  • طول ضلع المربع هو حاصل القسمة العشرية للعدد 23 على 4.
  • نبدأ بإجراء القسمة الإقليدية للعدد 23 على 4، ثمّ نواصل العمل بتحويل الباقي إلى عدد الأجزاء من عشرة: 3 وحدات هي 30 جزءا من عشرة، ثمّ نقسم 30 على 4 فنحصل على 7 أجزاء من عشرة (نضع الفاصلة قبل الرقم 7 مباشرة). 
  • نواصل بتحويل الباقي إلى عدد الأجزاء من مائة.
  • جزءان من عشرة عبارة عن 20 جزءا من المائة.
  • نقسم 20 على 4 فنحصل على 5 أجزاء من مائة و الباقي صفر أي: 5.75=23/4.

طول ضلع المربع هو 5.75cm.

الحاصل قيمة مقربة

الملخص الحاصل قيمة مقربة

في هذه الحالة:

  • البواقي تبدأ في التكرار انطلاقا من مرحلة معينة، و القسمة لا تنتهي.
  • الحاصل ليس عددا عشريا، لا يمكن إعطاء قيمة مضبوطة له، لكن يمكن إعطاء قيمة مقرّبة له.

مثال:

يزن 11 صندوقا متماثلا 658Kg، لنبحث عن وزن الصندوق الواحد.

القسمة غير منتهية

في الجزء العشري لحاصل القسمة، بعد الرقم 8 يظهر الرقم 1، ثمّ من جديد يظهر الرقم 8 يليه الرقم 1، و هكذا...

يمكن أن نكتب: يزن الصندوق الواحد بالتقريب 59.8kg.

 59.8kg هي قيمة مقربّة إلى الجزء من المائة بالنقصان لوزن الصندوق الواحد.

قسمة عدد عشري على عدد طبيعي

الملخص قسمة عدد عشري على عدد طبيعي

النص:

طول خط منكسر مكوّن من ثلاث قطع مستقيمة متقايسة، 76.41cm  (الأبعاد على الشكل ليست حقيقية)

احسب طول القطعة المستقيمة الواحدة.

حل:

لإيجاد طول القطعة المستقيمة الواحدة، نجري القسمة العشرية للعدد 76.41 على3، نتبع المراحل الآتية:

 

1- نبدأ بتحديد الرقم الأول لحاصل القسمة،كم من مرة يوجد العدد 3 في العدد 7؟ مرتان.

2- تبقى معنا عشرة واحدة، يمكن مبادلتها ب 10 وحدات بإضافة 6 وحدات إلى 10 وحدات (إنزال6)نتحصل على 16 وحدة، كم من مرّة يوجد العدد 3 في العدد 16؟ 5 مرّات.

3- بقيت معنا وحدة واحدة، يمكن مبادلتها ب 10 أجزاء من عشرة بإضافة 4 أجزاء من عشرة إلى 10 أجزاء من عشرة (إنزال 4)، نتحصل على 14 جزء من عشرة، كم مرّة يوجد العدد 3 في العدد 4؟ 4 مرّات (نضع الفاصلة مباشرة بعد الرقم5 ثم نضع الرقم 4 بعدها مباشرة)، نتحصل على 14 جزء من عشرة ، كم من مرّة يوجد العدد 3 في العدد 14؟ 4 مرّات (نضع الفاصلة مباشرة بعد الرقم 5 ثم نضع الرقم 4 بعدها مباشرة).

4- يبقى معنا جزءان من عشرة، يمكن مبادلتهما ب 20 جزء من مائة بإضافة الجزء من المائة إلى 20 جزء من مائة (إنزال 1)، نتحصل على 21 جزء من مائة، كم مرة يوجد العدد 3 في العدد 21؟ 7 مرّات بالضبط (الباقي معدوم).

طول القطعة المستقيمة الواحدة هو 25.47cm.

طريقة:

تقنية إجراء القسمة العشرية للعدد 76.41 على 3، هي نفسها تقنية إجراء القسمة العشرية للعدد 7641 على 3، مع مراعاة وضع الفاصلة مباشرة بعد إنزال رقم الأجزاء من عشرة (الرقم 4 في المثال السابق).

دوري الآن:

انجز عموديا القسمة العشرية لكل من: 36.47 على7                       52.56 على 12                        7.65 على 9