ملخص الدرس / الأولى ثانوي/رياضيات/الجبر و التحليل / الأعداد و الحساب

الدرس

من الأستاذ(ة) وزارة التربية الوطنية

المجموعات الاساسية للاعداد

مجموعة الأعداد الحقيقية :

مجموعة الاعداد الحقيقية $\mathbb{R}$ ، هي مجموعة فواصل نقط مستقيم مزود بمعلم $\left ( O;I \right )$ .

العدد الحقيقي $0$ هو فاصلة المبدأ $O$ و العدد الحقيقي $1$ هو فاصلة النقطة $I$ .

Chargement en cours, Veuillez patientez...

ملاحظة :

الأعداد الحقيقية الموجبة هي فواصل نقاط نصف المستقيم $\left [ OI \right )$ . الأعداد الحقيقية السالبة ، ما عدا $0$ ، هي فواصل نقاط المستقيم $(OI)$ التي لا تنتمي إلى $\left [ OI \right )$ .

نرمز إلى مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة بالرمز $\mathbb{R}^{+}$ و إلى مجموعة الأعداد الحقيقية السالبة بالرمز $\mathbb{R}^{-}$ .

$0$ عنصر من $\mathbb{R}^{+}$ و من $\mathbb{R}^{-}$ .

نعني بالرمز $\mathbb{R}^{\ast }$ مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا الصفر .

Chargement en cours, Veuillez patientez...

مجموعة الاعداد الطبيعية :

$...;3;2;1;0$ أعداد طبيعية . نرمز إلى مجموعة الأعداد الطبيعية بالرمز $\mathbb {N}$ .

مجموعة الاعداد الصحيحة النسبية :

$...,3,2,1,0,-1,-2,-3,...$ أعداد صحيحة نسبية ( سالبة ، معدومة أو موجهة ) .

نرمز إلى مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية بالرمز $\mathbb{Z}$ .

مجموعة الأعداد الناطقة :

* العدد الناطق هو العدد الذي يمكن كتابته على الشكل $\frac{p}{q}$ حيث $p$ عدد صحيح نسبي و $q$ عدد صحيح نسبي غير معدوم .

نرمز إلى مجموعة الأعداد الناطقة بالرمز $\mathbb{Q}$ .

* العدد العشري هو العدد الذي يمكن كتابته على الشكل $\frac{p}{10^{n}}$ حيث $p$ عدد صحيح نسبي و $n$ عدد طبيعي .

نرمز إلى مجموعة الاعداد العشرية بالرمز $\mathbb{D}$ .

ملاحظة :

العدد الأصم هو كل عدد حقيقي غير ناطق .

خاصية :

يتميز كل عدد ناطق بكتابة عشرية تتضمن دورا .

خاصية :

كل عدد ناطق يقبل كتابة وحيدة على شكل كسر غير قابل للاختزال $\frac{p}{q}$ ، حيث $p$ و $q$ عددان صحيحان نسبيان و $q\neq 0$ .

مقارنة مجموعات الأعداد :

خاصية :

تحقق المجموعات العددية الاحتواءات الآتية : $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{D}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$

للمزيد من التفاصيل اليك الفيديوهات التالية :

الفيديو الأول :

القوى الصحيحة

تعريف :

* $a$ عدد حقيقي كيفي و $n$ عدد طبيعي غير معدوم . نسمي القوة ذات الرتبة $n$ للعدد الحقيقي $a$ ، العدد $a^{n}$ حيث : $a^{n}=a\times a\times ....\times a$ ( $n$ عاملا )

* من أجل كل عدد حقيقي $a$ غير معدوم و $n$ عدد طبيعي غير معدوم . $a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$ .

اصطلاحا : من أجل كل عدد حقيقي $a$ غير معدوم ، $a^{n}=1$

خواص :

$a$ و $b$ عددان حقيقيان غير معدومين ، $m$ و $n$ عددان صحيحان نسبيان .

$a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$ ; $\left ( a^{m} \right )^{n}=a^{mn}$ ; $\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$ ; $\left ( a\times b \right )^{m}=a^{m}\times b^{m}$ ; $\left ( \frac{a}{b} \right )^{m}=\frac{a^{m}}{b^{m}}$

حالات خاصة :

* من أجل كل عدد حقيقي $a$ غير معدوم و كل عدد طبيعي $n$ غير معدوم : $a^{n}\times a^{-n}=a^{0}=1$ .

* من أجل كل عدد طبيعي $n$ :

- إذا كان $n$ زوجيا ، فإن $\left ( -1 \right )^{n}=1$

- إذا كان $n$ فرديا ، فإن $\left ( -1 \right )^{n}=-1$

الجذور التربيعية

تعريف :

$a$ عدد حقيقي موجب .

نسمي الذر التربيعي للعدد الحقيقي $a$ العدد الحقيقي الموجب الذي مربعه يساوي $a$ و نرمز إليه $\sqrt{a}$ .

خواص :

* من أجل $a$ موجب : $\sqrt{a}\geq 0$ و $\left ( \sqrt{a} \right )^{2}=a$ .

* من أجل $a$ و $b$ موجبان : $\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$

* من أجل $a\geq 0$ و $b> 0$ : $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ .

القيمة المضبوطة ، القيم المقربة

* مدور عدد حقيقي :

تعريف :

$A$ عدد حقيقي مكتوب في شكله العشري ، و ليكن $a$ رقمه العشري ذا الرتبة $p+1$ .

نسمي مدور $A$ إلى $10^{-p}$ العدد الذي نحصل عليه كما يلي :

- إذا كان $d\geq 5$ ، نأخذ العدد بأرقامه العشرية إلى الرقم العشري الذي رتبته $p$ . و نضيف $1$ إلى هذا الرقم .

- إذا كان $d< 5$ ، نأخذ العدد بارقامه العشرية إلى الرقم العشري الذي رتبته $p$ .

* تقدير نتيجة :

الكتابة العلمية :

تعريف :

كتابة عدد عشري على الشكل العلمي ، تعني التعبير عنه على الشكل $a\times 10^{n}$ ( أو $-a\times 10^{n}$ ) حيث $a$ عدد عشري يحقق $1\leq a< 10$ و $n$ عدد صحيح نسبي .

ملاحظة :

يمكن تعيين الكتابة العلمية لعدد عشري في العديد من الحاسبات باستعمال اللمسة $\left [ EE \right ]$

رتبة مقدار عدد :

لإيجلد رتبة مقدار عدد :

- نكتب العدد على الشكل العلمي .

- ندور العدد العشري في كتايته العلمية إلى العدد الصحيح الأقرب منه و نحتفظ بقوة $10$ .

الأعداد و الحاسبة

* تمثيل الاعداد في الحاسبة :

عند استعمال الحاسبة ، نتعامل مع العدد بثلاثة أشكال هي :

- القيمة المضبوطة .

- القيمة الظاهرة .

- القيمة المخزنة .

تنظيم حساب باليد أو بالحاسبة :

عند اجراء حساب ما ، نتبع عادة الخطوات التالية احتراما لأولويات العمليات حيث ننجز على التوالي :

- الحسابات داخل الأقواس .

- الحسابات المتعلقة بالقوى و الجذور التربيعية .

- عمليات الضرب و القسمة حسب ترتيب كتابتها .

- عمليات الجمع و الطرح حسب ترتيب كتابتها .

الاعداد الأولية

تعريف :

نسمي عددا أوليا كل عدد طبيعي يقبل ، بالضبط قاسمين مختلفين هما : $1$ و العدد نفسه .

مبرهنة :

كل عدد طبيعي غير أولي و أكبر من $1$ يكتب على شكل جداء أعداد أولية .

تعريف

العدد الطبيعي $p$ أولي إذا و قفط إذا قبل قاسمين مختلفين فقط ,هما $1$ ونفسه

أمثله

كل من الأعداد $2 ; 3 ; 5 ;7$ هو عدد أولي

العدد $6$ ليس أوليا لأنه يقبل أكثر من قاسمين (قواسم $6$ هي $1 ; 2 ;3 ;6$ )

العدد $1$ ليس أوليا لأنه يقبل قاسما واحدا فقط (وهو1)

العدد $0$ ليس أوليا لأنه يقبل أكثر من قاسمين

قائمه الأعداد الأوليه الأصغر من $100$

$97 ; 89 ; 83 ; 79 ; 73 ; 71 ;67 ; 61 ; 59 ; 53 ; 47 ;43 ; 41 ; 37 ;31 ; 29 ; 23 ; 19 ; 17; 13 ; 11 ; 7 ; 5 ; 3 ; 2$

تحليل عدد طبيعي إلى جداء عوامل أوليه

تعريف تحليل عدد طبيعي إلى جداء عوامل أوليه هو كتابته على شكل جداء أعداد أوليه

مثال $21 = 3 \times 7$

ملاحظات

$30 = 5\times 6$ الكتابه $6\times 5$ هي تحليل للعدد $30$ لكل العوامل ليست كلها أوليه

في تحليل عدد إلى جداء عوامل أوليه يمكن أن تمون بعض هذه العوامل متساويه في هذه الحاله نبسط الكتابه باستعمال القوى

مثال $72 = 3\times 3\times 2\times 2\times 2$ نكتب $72 =3^{2}\times 2^{^{3}}$

كل عدد طبيعي غير أولي يقبل تحليلا واحدا إلى جداء عوامل أوليه

مجموعه الأعداد

أ-الأعداد الصحيحه الطبيعيه

الاعداد $...3 ; 2 ;1;0$ تسمى أعدادا صحيحه طبيعيه

نرمز إلى مجموعه الاعداد الصحيحه بالحرف $\mathbb{N}$ ونكتب $\mathbb{N}= {0 ;1;2;3;4......}$

أمثله

$2$ عدد طبيعي صحيح . نكتب $2 \in \mathbb{N}$ ونقرأ $2$ ينتمي إلى $\mathbb{N}$

2- ليس عدد صحيحا طبيعيا , نكتب $-2\notin \mathbb{N}$ ونقرأ $2$ لا ينتمي إلى $\mathbb{N}$

ملاحظات

العدد الطبيعي نعني به العدد الصحيح الطبيعي

$0$ هو أصغر عدد طبيعي

هي مجموعه غير منتهيه

ب-الأعداد الصحيحه نسبيه

الأعداد $.......-3;-2;-1;0;1;2;3...........$ تسمى أعداد صحيحه نسبيه

نرمز إلى مجموعه الأعداد النسبيه الصحيحه بالحرف $\mathbb{Z}$

ونكتب $\mathbb{Z}= {...-3;-2;-1;0;1;2;3........}$

أمثله ,

$2\in \mathbb{Z} ;-2\in \mathbb{Z} ;\frac{2}{3}\notin 7 ;5,3\notin \mathbb{Z}$

ملاحظه

كل عدد طبيعي هو عدد صحيح نسبي , نكتب $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}$

ونقرأ $\mathbb{N}$ محتواه في $\mathbb{Z}$ أو $\mathbb{N}$ جزء من $\mathbb{Z}$

ج - الأعداد الناطقه

تعريف

نسمي عدد ناطقا كل عدد يكتب على الشكل $\frac{a}{b}$ حيث $a$ و $b$ عددان صحيحان نسبيان و $b$ غير معدوم

نرمز إلى مجموعه الأعداد الناطقه بالحرف $\mathbb{Q}$

أمثله

كل من الأعداد هو عدد ناطق $\frac{3}{7} ;\frac{-9}{4} ;\frac{-5}{-4} ; 16 ;-13 ;9,2$

$\sqrt{2}$ ليس عدد ناطق

ملاحظات

كل عدد صحيح نسبي هو عدد ناطق , نكتب $\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$

كل عدد غير ناطق هو عدد أصم

الأعداد العشريه

تعريف

نسمي عددا عشريا كل عدد ناطق يكتب على شكل $\small \frac{a}{10^{n}}$ حيث $a$ عدد صحيح نسبي و $n$ عدد طبيعي

نرمز لمجموعه الأعداد العشريه بالحرف $D$

امثله

$\tiny \frac{135}{10} عدد عشري$ عدد عشري

$\tiny \frac{-3}{4} عدد عشري لأن$ عدد عشري لأن $\tiny \frac{-75}{100} = \frac{-3}{4}$

7 عدد عشري لأن $\tiny 7 = \frac{7}{1} = \frac{7}{10^{0}}$

$\tiny \frac{11}{3}$ ليس عددا عشريا لأنه لا يمكن كتابته على شكل $\tiny \frac{a}{10^{n}}$

ملاحظات

يمكن كتابه كل عدد عشري على شكل عدد بالفاصله يتكون من جزء صحيح وجزء عشري منته

أمثله

$\tiny \frac{135}{10} = 13,5$

$\tiny \frac{-3}{4} = \frac{-75}{100} = -0,75$

$\tiny \frac{71}{24} = 2,9583$ إذن العدد $\tiny \frac{71}{24}$ ليس عددا عشريا لأن جزءه العشري غير منته

(أنظر طريقه أخرى للتعرف على عدد عشري في الطرائق )

كل عدد عشري هو عدد ناطق نكتب $\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$

كل عدد صحيح نسبي هو عدد عشري , نكتب $\mathbb{Z}\subset \mathbb{D}$

الأعداد الحقيقيه

تعريف

نسمي عددا حقيقيا كل عدد ناطق أو أصم

نرمز إلى مجموعه الأعداد الحقيقيه بالحرف $\mathbb{R}$

أمثله

كل من الأعداد $7 ;\sqrt{5} ; -4 ; 7 ; \frac{22}{7} ;\pi ; -3,5$ هو عدد حقيقي

ملاحظات

تمثل مجموعه الأعداد الحقيقيه بمستقيم مدرج (مزود بمعلم ) يسمى المستقيم العددي أو المستقيم الحقيقي

كل نقطه من المستقيم الحقيقي تمثل عددا حقيقيا وحيدا يسمى فاصله هذه النقطه

كل عدد ناطق هو عدد حقيقي , نكتب $\mathbb{Q}\subset \Re$

مما سبق نستنتج أن $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{D}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$

تمثيل مجموعه الأعداد

الحساب على القوى

تعريف

$a$ عدد حقيقي و $n$ عدد طبيعي أكبر من $1$ , القوه من المرتبه $n$ للعدد $a$ , ونرمز لها $a^{n}$ , هي العدد الحقيقي المعرف كما يلي

$a^{n}=a\times a\times a\times a\times a.....\times a$ $n$ عاملا

$a^{1}=a$

إذاكان $a$ غير معدوم فإن $a^{0}=1$ و $a^{-n} =\frac{1}{a^{n}}$

أمثله

$4^{3}=4\times 4\times 4=64$

$(-4)^{3}=(-4)\times (-4)\times (-4)=-64$

$(\frac{1}{3})^{2}= \frac{1}{3}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{9}$

$5^{-2}=\frac{1}{5^{2}}=\frac{1}{25}$

خواص

إذا كان $a$ و $b$ عددان حقيقيان غير معدومان و $m$ و $n$ عددان نسبيان صحيحان فإن

* $a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$ $(a^{m})^{n}=a^{n\times m}$

$\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$ $(a\times b)^{n}= a^{n}\times a^{n}$

$(\frac{1}{a})^{n}= \frac{1}{a^{n}}$ $(\frac{a}{b})^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}$

أمثله

$3^{6}\times 3^{-4}=3^{6-4}=3^{2}$ $(10^{4})^{3}=10^{4\times 3}=10^{12}$

$\frac{5^{4}}{5^{2}}= 5^{4-2}= 5^{2}$ $(7\times 9)^{5}=7^{5}\times 9^{5}$

$(\frac{1}{10})^{3}=\frac{1}{10^{3}}$ $(\frac{11}{10})^{3}=\frac{11^{3}}{10^{3}}$

الكتابه العلميه للعدد العشري

تعريف

الكتابه العلميه لعدد عشري غير معدوم هي الكتابه من الشكل $a\times 10^{n}$ ( أو من الشكل $-a\times 10^{n}$ ) حيث $a$ عدد عشري و $1< a\leqslant 10$ و $n$ عدد صحيح نسبي

أمثله

النشر والتحليل

$a$ و $b$ و $c$ أعداد حقيقيه حسب خواص الجمع والضرب في , لدينا

عندما ننتقل من جداء $a(b+c)$ إلى مجموع $ab +ac$ نقول اننا نشرنا الجداء $a(b+c)$

عندما ننتقل من المجموع $ab+ac$ الى جداء $a(b+c)$ نقول اننا حللنا المجموع $ab +ac$

أمثله

$2x(x+4)=2x^{2}+8x$ المجموع $2x^{2}+8x$ هو نشر للجداء $2x(x+4)$

$x^{2}-3x=x(x-3)$ الجداء $x(x-3)$ هو تحليل للمجموع $x^{2}-3x$

المتطابقات الشهيره

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

أمثله

$(2x+3)^{2}= (2x)^{2}+(2x)\times (2)\times (3)+3^{2}= 4x^{2}+12x+9$

$(x-4)^{2}=x^{2}-2(x)(4)+16= x^{2}-8x+16$

$(3x+5)(3x-5)=(3x)^{2}-5^{2}=9x^{2}-25$

الحساب على الجذور التربيعيه

تعريف

$a$ عدد حقيقي موجب

الجذر التربيعي للعدد $a$ , ويرمز له $\sqrt{a}$ , هو العدد الحقيقي الموجب الذي مربعه a

نكتب $(\sqrt{a})^{2}=a$

أمثله

$\sqrt{81}=9$ لأن $9^{2}=81$

$\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$ لأن $(\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}$

$\sqrt{0}=0$ لأن $0^{2}=0$

ملاحظه

كل عدد حقيقي سالب تماما ليس له جذر تربيعي فالكتابه $\sqrt{x-1}$ لها معنى عندما يكون $x-1$ موجبا أي عندما يكون أكبرأو يساوي $1$

حذار

$(-3)^{2}=9$ لكن $\sqrt{9}\neq -3$

خواص

$a ,b$ عددان حقيقيان موجبان

$\sqrt{a^{2}}=a$

$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$

$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (حيث $b$ غير معدوم)

أمثله

$\sqrt{75}=\sqrt{25\times 3}=\sqrt{25}\times\sqrt{3}=5\sqrt{3}$

$\sqrt{\frac{49}{16}}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}}=\frac{7}{4}$

ملاحظه

$\sqrt{a+b}\neq \sqrt{a}+\sqrt{b}$ (حيثa وb عددان حقيقيان غير معدومان)

القيم المقربه

مفهوم القيمه المقربه

عند إجراء عمليه القسمه للعدد 13 على 7 ثم 29 على 13 نحصل على النتائج التاليه

$\frac{29}{13}$	$\frac{13}{7}$	العدد
2.230769231	1,857142857	حاصل القسمه بالحاسبه
2.23076923076	1,85714285714	حاصل القسمه باليد

نسمي كلا من العددين الحقيقيين 1,857142857 و 1,85714285714 قيمه مقربه للعدد الحقيقي $\frac{13}{7}$

ونسمي كلا من العددين الحقيقيين 2.230769231 و 2.23076923076 قيمه مقربه للعدد الحقيقي $\frac{29}{13}$

ملاحظات

إن قسمه العدد 13 على 7 ليست تامه ( أي لا تنتهي)

إذا تابعنا هذه القسمه نحصل على قيم مقربه للعدد $\frac{13}{7}$ وكذلك بالنسبه الى العدد $\frac{29}{13}$

العدد العشري 1.857 هو قيمه مقربه أخرى للعدد $\frac{13}{7}$

يمكن الحصول على قيم مقربه أخرى للعدد $\frac{13}{7}$ بأخذ عدد معين من الارقام بعد الفاصله

أمثله

العدد 3.142857143 هي قيمه مقربه للعدد $\frac{22}{7}$ المحصل عليها بالحاسبه , عند إنجاز قسمه 22 على 7 باليد نحصل على .... 3.1428571428مع الملاحظه أن هذه القسمه ليست تامه

العدد 3.141592654هي قيمه مقربه للعدد $\pi$ المحصل عليها بالحاسبه ونحصل على 3.14159265359 باستعمال نوع آخر من الحاسبات

نشير إلى أن العدد 3.14هي القيمه المقربه الأكثر تداولا للعدد $\pi$

مفهوم مدور عدد

1.7586794	$\pi =3.141592..$	$\frac{48}{11}=4,363663$	العدد
2	3	4	المدور إلى الوحده
1.76	3.14	4 .36	المدور إلى $10^{-2}$
1.759	3.142	4.364	المدور الى $10^{-3}$

مدور العدد $\pi$ إلى الوحده هو 3 لأن الرقم الذي يمثل الاعشار هو 1وهو أصعر من 5

مدور العدد1.7586794 إلى الوحده هو 2 لأن الرقم الذي يمثل الأعشار هو 7 وهو أكبر من 5

مدور $\frac{48}{11}$ إلى $10^{-2}$ هو 1.76 لأن الرقم الذي يمثل الجزء من الآلاف هو 3 وهو أصغر تماما من 5

مدور العدد $\pi$ إلى $10^{-3}$ هو 3.142 لأن الرقم الذي يمثل الجزء من عشره آلاف هو5

رتبه مقدار عدد عشري مكتوب على الشكل العلمي

رتبه مقدار عدد عشري مكتوب على الشكل العلمي $a\times 10^{n}$ (أو $-a\times 10^{n}$ ) هو العدد $k\times 10^{n}$ (او $-k\times 10^{n}$ ) حيث عدد $k$ هو المدور الى الوحده للعدد $a$

أمثله

-27567831	0.03567	8326710	العدد
$-2,7567831\times 10^{7}$	$3.567\times 10^{-2}$	$8,32671\times 10^{6}$	الكتابه العلميه
$-3\times 10^{7}$	$4\times 10^{-2}$	$8\times 10^{6}$	رتبه مقدار