ملخص الدرس / الأولى ثانوي/رياضيات/الجبر و التحليل / عموميات على الدوال

الدرس

مفهوم الدالة

تعريف :

$D$ جزء من $\mathbb{R}$ . نعرف دالة $f$ على $D$ عندما وفق بكل عدد حقيقي $x$ من $D$ عددا حقيقيا وحيدا ، نرمز إليه بالرمز $f\left ( x \right )$ .

تعابير و اصطلاحات :

* نرمز عادة إلى الدوال بالرموز $...h,g,f$

* $D$ جزء من $\mathbb{R}$ و $f$ دالة معرفة على $D$ :

- $D$ هي مجموعة تعريف الدالة .

- إذا كان $x$ عنصرا من $D$ ، نسمي العدد الحقيقي $f\left ( x \right )$ صورة $x$ بالدالة $f$ .

- إذا كان العدد الحقيقي $y$ صورة العدد الحقيقي $x$ بالدالة $f$ ، نقول إن $x$ سابقة للعدد $y$ بالدالة $f$ .

- للتعبير عن الدالة $f$ ، نكتب : $f:D\rightarrow \mathbb{R}$

$x \mapsto y=f\left ( x \right )$

في هذه الكتابة ، $x$ يمثل المتغير و $y$ مرتبط بالمتغير $x$ .

ملاحظة :

لا يمكن أن يكون لعدد حقيقي من مجموعة التعريف عدة صور ، لكن يمكن أن يكون للصورة عدة سوابق .

التمثيل البياني لدالة

تعريف :

المستوي منسوب إلى معلم $\left ( O;I,J \right )$ . $f$ دالة معرفة على جزء $D$ من $\mathbb{R}$ .

التمثيل البياني ( أو المنحنى الممثل ) للدالة في المعلم $\left ( O;I,J \right )$ هو مجموعة النقط $M\left ( x;y \right )$ حيث : $x\in D$ و $y= f\left ( x \right )$

إذا رمزنا إلى منحنى الدالة $f$ بالرمز $\left (C_{f} \right )$ ، نقول إن $y=f\left ( x \right )$ هي معادلة $\left (C_{f} \right )$ في المعلم $\left ( O;I,J \right )$ .

تغيرات دالة معرفة على مجال

تعريف :

$f$ دالة معرفة على مجال $I$ من $\mathbb{R}$ .

* $f$ متزايدة تماما على $I$ يعني :

من أجل كل $x_{1}$ و $x_{2}$ من $I$ ، إذا كان $x_{1}<x_{2}$ فإن $f\left ( x_{1} \right )<f\left ( x_{2} \right )$

* $f$ متناقصة تماما على $I$ يعني :

من أجل كل $x_{1}$ و $x_{2}$ من $I$ ، إذا كان $x_{1}<x_{2}$ فإن $f\left ( x_{1} \right )>f\left ( x_{2} \right )$

* $f$ ثابتة على $I$ يعني :

من أجل كل $x_{1}$ و $x_{2}$ من $I$ ، $f\left ( x_{1} \right )=f\left ( x_{2} \right )$

Chargement en cours, Veuillez patientez...

$f\left ( x_{_{1}} \right )$ و $f\left ( x_{2} \right )$ في نفس ترتيب $x_{1}$ و $x_{2}$ .

الدالة تحفظ الترتيب .

Chargement en cours, Veuillez patientez...

$f\left ( x_{_{1}} \right )$ و $f\left ( x_{2} \right )$ ليسا في نفس ترتيب $x_{1}$ و $x_{2}$ .

الدالة تعكس الترتيب .

ملاحظة :

نعرف كذلك اتجاه تغير دالة كالآتي :

* $f$ متزايدة على $I$ يعني : من أجل كل $x_{1}$ و $x_{2}$ من $I$ ، إذا كان $x_{1}<x_{2}$ فإن $f\left ( x_{1} \right )\leq f\left ( x_{2} \right )$ .

* $f$ متناقصة على $I$ يعني : من أجل كل $x_{1}$ و $x_{2}$ من $I$ ، إذا كان $x_{1}<x_{2}$ فإن $f\left ( x_{1} \right )\geq f\left ( x_{2} \right )$ .

القيم الحدية لدالة

تعريف :

$f$ دالة معرفة على مجال $I$ من $\mathbb{R}$ .

* القيمة الحدية العظمى للدالة $f$ على $I$ ، إن وجدت ، هي أكبر صورة $f\left ( x \right )$ تبلغها $f$ من أجل عدد $a$ من $I$ .

من أجل كل $x$ من $I$ ، $f\left (x \right )\leq f\left ( a \right )$

* القيمة الحدية الصغرى للدالة $f$ على $I$ ، إن وجدت ، هي أصغر صورة $f\left ( x \right )$ تبلغها $f$ من أجل عدد $b$ من $I$ .

من أجل كل $x$ من $I$ ، $f\left (x \right )\geq f\left ( b \right )$

Chargement en cours, Veuillez patientez...

ملاحظة :

يمكن أن تبلغ دالة قيمتها الحدية العظمى أو الصغرى على مجال عند أكثر من عنصر واحد من المجال .

و القيمة الحدية تكون دائما عددا حقيقيا ( بمعنى أن $+\infty$ أو $-\infty$ لا يمكن أن يكونا قيمة حدية ) .

شفعية دالة

تعريف :

$D$ جزء من $\mathbb{R}$ ن $f$ دالة معرفة على $D$ .

* نقول إن $f$ دالة زوجية إذا كان $D$ متناظرا بالنسبة إلى $0$ و كان لكل $x$ من $D$ ، $f\left ( -x \right )=f\left ( x \right )$ .

* نقول إن $f$ دالة فرديةإذا كان $D$ متناظرا بالنسبة إلى $0$ و كان لكل $x$ من $D$ ، $f\left ( -x \right )=-f\left ( x \right )$ .

Chargement en cours, Veuillez patientez...

بيان دالة زوجية في المستوي المنسوب إلى مغلم متعامد يكون متناظرا بالنسبة إلى محور التراتيب .

Chargement en cours, Veuillez patientez...

بيان دالة فردية في المستوي المنسوب إلى معلم يكون متناظرا بالنسبة إلى مبدا المعلم .

ملاحظة :

للبرهان على أن $f$ ليست دالة زوجية ( أو دالة فردية ) ، يكفي إيجاد عنصر $a$ من مجموعة تعريفها حيث $f\left ( -a \right )\neq f\left ( a \right )$ (أو $f\left ( -a \right )\neq - f\left ( a \right )$ )

و يعتبر التمثيل البياني للدالة وسيلة للتحقق من شفعية الدالة .

حل معادلات ومتراجحات بيانيا

$f$ و $g$ دالتان معرفتان على مجموعة $D$ ، $\left (C_{f} \right )$ و $\left ( C_{g} \right )$ منحنياهما في معلم للمستوي .

Chargement en cours, Veuillez patientez...

الدالة التآلفية

تعريف :

نسمي دالة تآلفية كل دالة $f$ معرفة على $\mathbb{R}$ بالشكل $f(x)=ax+b$ حيث $a$ و $b$ عددان حقيقيان مفروضان .

الخاصية المميزة للدوال التآلفية :

مبرهنة :

تكون الدالة $f$ تآلفية ، إذا و فقط إذا كانت النسبة $\frac{f\left ( x \right )-f\left ( {x}' \right )}{x-{x}'}$ ثابتة ، من أجل كل عددين حقيقيين مختلفين $x$ و ${x}'$ .