ملخص الدرس / الأولى ثانوي/رياضيات/الهندسة/الهندسة التحليلية

** مفهوم الشعاع :

تعريف :

 نقطتان من المستوي . نقول أن الثنائية  تعين شعاعا نرمز له بالرمز  أو 

*إذا كانت النقطة  منطبقة على  فإن الشعاع  يصبح معدوما و نكتب 

* يسمى طول قطعة المستقيم  طويلة الشعاع  ، و نكتب : 

* إذا كان  شعاعا غير معدوم فإن منحنى الشعاع   هو منحنى المستقيم 

* إذا كان لشعاعين  نفس المنحنى ، و بوضع  و   فإنه :

       - يكون للشعاعين   نفس الاتجاه إذا كانت النقطة   تنتمي إلى نصف المستقيم 

       - يكون للشعاعين   اتجاهان متعاكسان إذا كانت النقطة  تنتمكي إلى قطعة المستقيم   .

ملاحظة :

ليس للشعاع  المعدوم منحنى .

** تساوي شعاعين : 

تعريف : 

نقول عن شعاعين أنهما متساويان إذا كان لهما نفس المنحنى ، و نفس الاتجاه ، و نفس الطويلة .

نتيجة : 

من أجل كل أربع نقط  من المستوي لدينا :  معناه    و   لهما نفس المنتصف .

** مجموع شعاعين : 

تعريف : 

مجموع شعاعين  و هو الشعاع الذي نرمز له بالرمز و المعرف كما يأتي : 

بفرض  نقطة كيفية ، نعلم نقطة   بحيث   ثم نقطة   بحيث    عندئذ يكون  

نتائج : 

* من أجل كل ثلاث نقط   من المستوي فإن :   ( تسمى هذه العلاقة علاقة شال )

* إذا مثلنا شعاعين   و من نفس المبدأ   ، ( مثلا  و  ) فإن مجموعهما   يساوي   حيث   متوازي أضلاع .

* إذا كان   متوازي أضلاع فإن : .

** الشعاعان المتعاكسان :

من أجل كل نقطتين  من المستوي فإن : 

تعريف : 

نقول عن الشعاعين  و  أنهما متعاكسان . نكتب :  .

تعريف : 

لحساب فرق الشعاعين   و بهذا الترتيب ، نضيف إلى الشعاع  معاكس الشعاع  .

نكتب :  .

تعريف : 

شعاع غير معدوم و عدد غير معدوم .

جداء الشعاع بالعدد هو الشعاع الذي نرمز له بالرمز و المعرف كما يأتي :

* و   لهما نفس المنحنى و نفس الاتجاه إذا كان  .

* و   لهما نفس المنحنى و اتجاهان متعاكسان إذا كان   .

* طويلة الشعاع  تساوي جداء طويلة  بالعدد  أي  .

 ملاحظة : عندما   أو  نصطلح على وضع  .

خواص :

تقبل الخواص التالية :   و شعاعان و  عددان .

* 

* 

*  يكافئ :   أو

* 

* 

** الارتباط الخطي لشعاعين :

تعريف :

نقول عن شعاعين   و  أنهما مرتبطان خطيا إذا كان أحدهما يساوي جداء الآخر بعدد حقيقي .

أي إذا وجد عدد حقيقي  حيث  .

ملاحظة : الشعاع المعدوم مرتبط خطيا مع أي شعاع . بافعل من أجل كل شعاع  لدينا :  .

نتيجة مباشرة :

يكون الشعاعان غير المعدومين مرتبطين خطيا إذا و فقط إذا كان لهما نفس المنحنى .

** التوازي و الاستقامية :

مبرهنة :

يكون المستقيمان  و  متوازيين إذا و فقط إذا كان الشعاعان  و  مرتبطين خطيا .

مبرهنة :

تكون النقط  في استقامية إذا و فقط إذا كان الشعاعان  و  مرتبطين خطيا .

**إحداثيات نقطة ، إحداثيات شعاع :

مبرهنة :

ليكن  معلما للمستوي .

 من أجل كل نقطة  من المستوي ، توجد ثنائية وحيدة من الأعداد الحقيقية  بحيث  .

 من أجل كل شعاع  ، توجد ثنائية وحيدة من الأعداد الحقيقية  بحيث  .

نتائج : 

تساوي شعاعين  يكافئ  و  .

 مجموع شعاعين : إحداثيا المجموع  هما  .

 إحداثيا الشعاع  هما  .

** حساب إحداثيي شعاع و إحداثيي منتصف قطعة مستقيم :

مبرهنة :

لتكن  في معلم 

* إحداثيات الشعاع   هما

* إحداثيات  منتصف  هما  .

** شرط الارتباط الخطي لشعاعين :

مبرهنة :

ليكن  في معلم  

يكون الشعاعان  و مرتبطين خطيا إذا و فقط إذا كان 

** المسافة بين نقطتين : 

مبرهنة :

لتكن  في معلم متعامد و متجانس  

المسافة بين النقطتين  و  تساوي 

في كل مما يأتي نعتبر المستوي مزودا بمعلم  .

** شعاع توجيه مستقيم  :

تعريف :

يسمى كل شعاع له منحنى مستقيم ، شعاع توجيه لهذا المستقيم .

تعريف :

معامل توجيه مستقيم هو الاحداثي الثاني لشعاع توجيه لهذا المستقيم الذي احداثيه الاول يساوي واحدا .

** معادلة مستقيم يوازي محور التراتيب :

مبرهنة :

كل مستقيم يوازي محور التراتيب  له معادلة من الشكل  و  عدد حقيقي .

 مجموعة النقط  بحيث   و  عدد حقيقي هي مستقيم يوازي  محور التراتيب .

** معادلة مستقيم لا يوازي محور التراتيب :

مبرهنة :

كل مستقيم لا يوازي محور التراتيب  له معادلة من الشكل  .

مبرهنة :

 عددان حقيقيان . مجموعة النقط  حيث  هي المستقيم  لا يوازي محور التراتيب.

** حساب معامل توجيه مستقيم :

مبرهنة :

من أجل كل نقطتين  في معلم  حيث  ، معامل توجيه المستقيم  يساوي  .

** شرط توازي مستقيمين :

مبرهنة :

يكون المستقيمان  و  اللذان معادلتاهما  ،  على الترتيب ، متوازيين إذا و فقط إذا كان لهما نفس معامل التوجيه . 

نعتبر فيما يلي   و 

تعريف :

نسمي جملة معادلتين خطيتين لمجهولين كل جملة :

حيث  أعداد معلومة .

و نعني بحل جملة معادلتين خطيتين لمجهولين إيجاد الثنائيات  التي تحقق المعادلتين في آن واحد .

** التفسير البياني لحل جملة معادلتين خطيتين لمجهولين :

جملة المعادلتين 

إما لها حل واحد ن و إما لا حل لها ، و إما لا نهاية لها من الحلول ، و ذلك حسب الوضع النسبي للمستقيمين  و  .

** عدد حلول جملة معادلتين خطيتين لمجهولين :

مبرهنة : 

لتكن جملة المعادلتين  : 

* إذا كان  فإن الجملة  تقبل حلا وحيدا .

* إذا كان  فالجملة  إما لا حل لها ، و إما لا نهاية لها من الحلول .

تفسير المبرهنة : 

* إذا كان  : 

  و  متقاطعان في  الجملة لها حل وحيد  .

* إذا كان  :

       لا توجد نقطة مشتركة بين  و  و الجملة ليس لها حل .

        و الجملة لها لا نهاية من الحلول .