ملخص الدرس / الأولى ثانوي/رياضيات/الجبر و التحليل /المعادلات و المتراجحات

الدرس

من الأستاذ(ة) وزارة التربية الوطنية

عموميات

تعريف

$E(x)$ و $F(x)$ عبارتان جبريتان للمتغير الحقيقي $x$

الكتابه $E(x)=F(x)$ تسمى معادله ذات مجهول $x$

أمثله

$x$ عدد حقيقي $3x^{2}-2x+1=0$ هي معادله ذات مجهول $x$

$y$ عدد حقيقي $3y-1=0$ هي معادله ذات مجهول $y$

$z$ عدد حقيقي $\frac{z+3}{2z+1}=0$ هي معادله ذات مجهول $z$

ملاحظات

يرمز للمجهول في المعادله بالرمز $....t ; z ;y;x$

حل المعادله $E(x)=0$ في مجموعه الأعداد الحقيقيه يعود إلى تعيين مجموعه الأعداد الحقيقيه $x$ التي تحقق المساواه $E(x)=0$

عاده يرمز لمجموعه الحلول بالرمز $S$

تعريف

نسمي المتراجحه ذات المجهول $x$ كل متباينه من الشكل $E(x)\leq0$ حيث $x$ عدد حقيقي

ملاحظات

1) $x$ عدد حقيقي , كل من الكتابات $E(x)> 0 ;E(x)0\geq ;E(x)< 0$ هي متراجحه ذات مجهول $x$

2) حل متراجحه من الشكل $E(x)\leq 0$ يعود إلى تعيين مجموعه الأعداد الحقيقيه التي تحقق المتباينه $E(x)\leq 0$

أمثله

$x$ عدد حقيقي , $3x^{2}-2x+1\geq 0$ هي متراجحه ذات مجهول $x$

$y$ عدد حقيقي $3y-1<0$ هي متراجحه ذات مجهول $y$

$z$ عدد حقيقي $\frac{z+3}{2z+1}\geq =0$ هي متراجحه ذات مجهول $z$

معادلات من الدرجه الاولى بمجهول 1

ا-تعريف

نسمي معادله من الدرجه الاولى بمجهول 1, كل معادله تكتب من الشكل $ax+b=0$ حيث $b;a$ عددان حقيقيان و $a\neq 0$ و هو $x$ المجهول

أمثله

كل من المعادلات $\frac{-1}{2}x+7=0 ; x\sqrt{2}=5 ; 3x-1=0$ هي معادلات من الدرجه الأولى ذات مجهول $x$

ملاحظه

حل معادله من الشكل $ax+b=0$ في مجموعه الأعداد الحقيقيه يعود إلى تعيين مجموعه قيم العدد $x$ التي تحقق هذه المعادله

ب- حل المعادله $ax+b=0$ ; $a\neq 0$ في مجموعه الأعداد الحقيقيه

$x$ عدد حقيقي

لدينا $ax+b=0$ يعني $ax=-b$

بما أن $a\neq 0$ و $ax=-b$ فإن $x=\frac{-b}{a}$

ينتج أن للمعادله $ax+b=0$ ; $a\neq 0$ حل واحد في المجموعه $\Re$ وهو $\frac{-b}{a}$

نتيجه

المعادله $ax+b=0$ ; $a\neq 0$ تقبل حل وحيدا في المجموعه $\Re$ وهو $\frac{-b}{a}$

أمثله

المعادله $3x-1=0$ تقبل حل وحيد في المجموعه $\Re$ وهو $\frac{1}{3}$

المعادله $x\sqrt{2}=5$ تقبل حل وحيد في المجموعه $\Re$ وهو $\frac{5}{\sqrt{2}}$

المعادله $\frac{-1}{2}x+7=0$ تقبل حلا وحيدا في المجموعه $\Re$ وهو $14$

متراجحات من الدرجه الاولى بمجهول 1

أ- تعريف

نسمي متراجحه من الدرجه الاولى وبمجهول 1 كل متباينه من الشكل $ax+b\leq 0$ حيث $b;a$ عددان حقيقيان و $a \neq 0$

ملاحظه

المتراجحات من الشكل $ax+b\geq 0$ أو $ax+b< 0$ أو $ax+b> 0$ حيث $b;a$ عددان حقيقيان و $a\neq 0$ هي أيضا متراجحات من الدرجه الاولى

أمثله

كل من المتراجحات $-4x<\sqrt{2} ; 0.2x+1.5> 0 ;\sqrt{2}x-1\geq 0 ;3x+1< 0 ;2x-5\leq 0$ هي متراجحات من الدرجه الأولى ذات المجهول $x$

ملاحظه

حل متراجحه من الشكل $ax+b\leq 0$ ; $a\neq 0$ في مجموعه $\mathbb{R}$ يعني إيجاد مجموعه الأعداد الحقيقيه $x$ التي تحقق هذه المتراجحه

ب- حل المتراجحه $ax+b\leq 0$ ; $a\neq 0$ في مجموعه الأعداد الحقيقيه

$x$ عدد حقيقي , $S$ هي مجموعه حلول المتراجحه $ax+b\leq 0$

لدينا $ax+b\leq 0$ يعني $ax\leq -b$ نعلم أن $a\neq 0$ إذن $a> 0$ أو $a< 0$

لذلك ندرس حالتين

الحاله 1 $a> 0$

لدينا $ax\leq -b$ و $a> 0$

وبقسمه طرفي المتراجحه $ax\leq -b$ على العدد $a$ موجب تماما (أو بضرب طرفي المتراجحه $ax\leq -b$ في العدد الموجب تماما $\frac{1}{a}$ ) نجد $x\leq \frac{b}{a}$

$x\leq \frac{-b}{a}$ يعني $x\in ]-\infty ;\frac{-b}{a}]$

نستنتج أن إذا $a> 0$ فإن $S= ]-\infty ;\frac{-b}{a}]$

الحاله 2 $a< 0$

لدينا $ax \leq -b$ و $a< 0$ وبقسمه طرفي المتراجحه $ax< -b$ على العدد السالب تماما $a$ (أو بضرب طرفي المتراجحه $ax< -b$ في عدد سالب تماما $\frac{1}{a}$ ) نجد $x\geq \frac{-b}{a}$