ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الدوال العددية/النهايات و المقارنة -العمليات على النهايات

شفعية دالة

الدالة الزوجية :

 دالة معرفة على  ،   زوجية يكافئ من أجل كل عدد حقيقي 

 : 

إذا كانت  زوجية فيكفي دراستها على نصف مجموعة تعريفها و الجزء الثاني من بيان الدالة يرسم بالتناظر بالنسبة لمحور التراتيب .

الدالة الفردية :

 دالة معرفة على  ،   فردية  يكافئ من أجل كل عدد حقيقي 

إذا كانت  فردية فيكفي دراستها على نصف مجموعة تعريفها و الجزء الثاني من بيان الدالة يرسم بالتناظر بالنسبة لمبدأ المعلم  .

النهايات

1 - حالات عدم التعيين هي : 

  الأصل  الفروع 
1


2







3



4 /

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 - النهايات عند    و   : 

- نهاية دالة كثير حدود تؤةل الى حساب نهاية أكبر حد درجة .

مثال : 

الدالة   دالة كثير حدود فهي معرفة على :     نحسب مثلا   

- نهاية دالة ناطقة تؤول الى حساب نهاية أكبر حد درجة في البسط على اكبر حد  درجة في المقام 

مثال : 

الدالة   دالة ناطقة 

الدالة    معرفة على المجال    

نحسب مثلا   : 

 

ملاحظة : 

أثناء حساب النهايات يمكن الوقوع في حالة الوقوع في حالة عدم التعيين و لا توجد قاعدة عامة لإزالة حالة عدم التعيين فهناك عدة طرق مثل :

- الضرب في المرافق و القسمة عليه 

- استخراج العامل المشترك 

- استعمال الحصر 

- استعمال المقارنة 

- استعمال العدد المشتق 

- استعمال النهايات الشهيرة 

النهاية الحدية

النهاية الحدية العظمى :

إذا انعدمت  عند  و حولت إشارتها من الموجب إلى السالب فإن بيان  

يقبل عند  قيمة حدية عظمى عند 

     

                                  

    

                                             

    

                              

                                        

 

النهاية الحدية الصغرى :

إذا انعدمت  عند  و حولت إشارتها من السالب إلى الموجب فإن بيان  

يقبل عند  قيمة حدية صغرى عند 

     

                                  

    

                                              

    

 

                                          

                              

للمزيثد من التفاصيل اليك الفيديوهات التالية : 

الفيديو الأول : 

الفيديو الثاني : 

 

الخطوط المقاربة و الفروع اللانهائية

أولا :

لما    يوجد مستقيم مقارب يوازي  معادلته  

ثانيا :  

لما    فإنه يوجد مستقيم مقارب يوازي  معادلته 

ثالثا : 

لما    المنحنى  يقبل فرع لا نهائي أو احتمال و جود مستقيم مقارب مائل معادلته من الشكل   حيث :

    1- لما      المنحنى  يقبل فرع قطع مكافئ اتجاه  .

    2- لما    المنحنى  يقبل فرع قطع مكافئ اتجاه  .

    3- لما  حيث  ( عدد ثابت حقيقي غير معدوم ) معناه :

         و منه :  المنحنى  يقبل فرع قطع مكافئ  اتجاه المستقيم  

         و  المستقيم الذي معادلته  مستقيم مقارب مائل .

للمزيد من التفاصيل اليك الفيديوهات التالية : 

الفيديو الاول : 

 

الفيديو الثاني : 

 

الفيديو الثالث : 

V0Uمشتقة دالة مركبة

إذا قبلت الدالة  الاشتقاق على المجال  من  و قبلت الدالة  فإن الدالة  تقبل الاشتقاق على  و لدينا من اجل كل  من  :

نهاية دالة مركبة

مبرهنة : 

 تمثل أعداد حقيقية أو   أو  و  دوال عددية حيث : 

 إذا كانت 

و إذا كانت :  فإن :

النهايات بالمقاربة

مبرهنة 1 : 

 دوال عددية معرفة على المجال من الشكل  ،  عدد حقيقي إذا كانت   و 

و إذا كان من أجل  كبير بالقدر الكافي : 

فإن :

مبرهنة 2 : 

دالتان  معرفتان على المجال من الشكل   إذا كانت :  

و إذا كان من أجل  كبير بالقدر الكافي :

فإن : 

مبرهنة 3 : 

دالتان معرفتان على المجال من الشكل  ،  عدد حقيقي إذا كانت   

و إذا كان من أجل  كبير بالقدر الكافي :

فإن :

ملاحظة :

يمكن استعمال المبرهنات  إذا كانت النهايات عند  أو عند عدد حقيقي .

ة للمزيد من الشرح اليك الفيديوهات التالية : 

الفيديو الأول : 

 

الفيديو الثاني : 

 

الفيديو الثالث : 

 

الفيديو الرابع : 

 

 

النهاية بالمقارنة

مبرهنة 1 :

    و   دوال و    عدد حقيقي إذا كانت     و      و إذا كان من أجل    كبير بالقدر الكافي       فإن   

مثال :

نعتبر الدالة     المعرفة على    بـ     نعلم أنه من أجل كل     من   .     و منه فإن من أجل كل    من   

   و بما أن     فإن  

مبرهنة 2 : 

   دالتان إذا كانت      و إذا كان من أجل     كبير بالقدر الكافي      فإن   

مبرهنة 3 : 

   دالتان إذا كانت     و إذا كان من أجل    كبير بالقدر الكافي     فإن 

 

ملاحظة: تمدد هذه المبرهنات الى حالتي النهاية عند     و عند عدد حقيقي .

مثال : نعتبر الدالة     المعرفة على    بـ    نعلم أنه من أجل كل    من        و منه فإن من أجل كل     من   

  بما أن    فإن    

بما أن      فإن 

 

 

نهايات الدوال المرجعية

 
0 0
  0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
/ / 0

نهاية الدوال المثلثية المرجعية

 1- الضرب في المرافق و القسمة عليه : 

نستعمل المرافق في حالة تساوي معاملات    داخل الجذر و خارجه 

مثال : 

  الدالة المعرفة على    كمايلي  : 

 

نحسب 

بالتعويض نجد حالة عدم التعيين من الشكل    لاحظ تساوي معاملات   داخل الجذر و خارجه 

فلنضرب في النرافق و نقسم عليه 

 

 

لأن : 

2- استخراج العامل المشترك : 

نستخرج العامل المشترك في حالة عدم تساوي معاملات   داخل الجذر و خارجه 

مثال : 

   الدالة المعرفة على    كمايلي : 

 

نحسب   : 

يالتعويض مجد حالة عدم اتعيين من الشكل     

لاحظ عدم تساوي معاملات  x  داخل الجذر و خارجه 

فلنستخرج العامل المشترك 

 

 

لأن :    و  

 3- استعمال العدد المشتق و القسمة عليه : 

لاستعمال هذه الطريقة يجب ان تكون النهاية من الشكل : 

 

و هذه النهاية تساوي 

 

و يسمى    العدد المشتق 

و نكتب : 

 

مثال :

لتكن   h الدالة المعرفة على المجال    

كمايلي : 

 

نحسب   

بالتعويض نجد حالة عدم التعيين من الشكل    

 

حيث : 

1

4- استعمال الحصر : 

نستعمل طريقة الحصر (غالبا ) لحساب النهايات على الدوال المثلثية عند    فنقوم بحصر الدالة بين دالتين لهما نفس النهاية ة بالتالي فإن نهايتها من نهاية الدالتين .

 

مثال : 

   الدالة المعرفة على     كما يلي : 

 

نحسب :   و    

نتبع الخطوات التالية : 

نعلم أن : 

نضيف    لكل طرف من أطراف المتباينة فنحصل على : 

 

قبل قسمة كل أطراف المتباينة على    يجب دراسة إشارة    على المجال   

 

                       -1                                     
1+x                   -             0              +

- إذا كان    فإن : 

و بالتالي المتباينة تغير إشارتها قسمة كل طرف على 

فينتج : 

 

و نكتب 

 

و منه : 

 

فتكون : 

 

نجد : 

 

و منه : 

 

إذا كان    فإن    

و بالتالي المتباينة لا تغير إشارتها عند قسمة كل طرف على : 1+x

فينتج : 

و منه : 

فتكون : 

نجد : 

و منه 

5- استعمال المقارنة :

نستعمل طريقة المقارنة (غالبا) لحساب النهايات على الدوال المثلثية عند   حيث أن هذه الدوال لا تقبل نهاية عند

و ننطق من حصر الدالة المثلثية بين   و  

الحالة الأولى :

 

مثال : 

   الدالة المعرفةعلى    كمايلي :

 

نحسب   

نعلم أن 

 

ونكتب : 

 

و منه : 

 

 فتكون : 

 

بما أن : 

 

فإن : 

 

الحالة الثالثة :

 

مثال : 

 الدالة المعرفة على   كمايلي : 

 

نحسب : 

نعلم أن : 

 

و لدينا جدول إشارة    على   كمايلي : 

 

x                               0                                
x                   -                   0               +

ومنه : 

 

يما أن : 

 

فإن : 

5- إزالة حاة عدم التعيين من الشكل: 

 1- إذا كانت الدالة هي حاصلة قسمة كثير حدود علة كثير حدود مقوم بتحليلي كلا من البسط و المقام باستعمال القسمة الاقليدية او المطابقة او أي طريقة أخرى ثم نختزل العامل المشترك في البسط و المقام ونحسب النهاية 

مثال : 

   الدالة المعرفة على المجال : 

 

كمايلي : 

 

نحسب    : 

بالتغويض نجد حالة عدم التعيين من الشكل 

نقوم بتحليلي البسط و المقام باستعمال القسمة الاقليدية : 

 

و منه : 

 

و منه : 

فنكتب :

 

 

2- إذا كانت الدالة تحتوي على الجذر نقوم بالضرب في المرافق ونقسم عليه .

مثال : 

  الدالة المعرفة على المجال : 

 

كمايلي :

 

نحسب : 

بالتعويض نجد حالة عدم تعيين منالشكل 

نقوم بالضرب في المرافق و القسمة عليه : 

العمليات على النهايات

  و    دالتان  .     يمثل عدد حقيقي أو      أو    نقبل دون المبرهنات التالية :

- نهاية مجموع دالتين : 

                                                 
                                               
                                    ح ع ت          

- نهاية جداء دالتين : 

                                                          
                                                        
                                                  ح ع ت    ح ع ت 

- نهاية حاصل قسمتين : 

                                        
                                       
                                ح ع ت     ح ع ت    ح ع ت     ح ع ت     ح ع ت 

ملاحظة: 

تسمى الحالات التي لاتسمح فيها النظريات السابقة من استنتاج النهاية بحالات "عدم التعيين " (ح ع ت ) 

 

فيما يلي طريق ازالة حالة عدم التعيين  في هذه الفيديوهات:

الفديو الاول: باستعمال المشتق

 

 

الفيديو الثاني: باستعمال المرافق

 

 

 

الفيديو الثالث: باستخراج العامل المشترك الاكبر

نهاية دالة كثير حدود أو دالة ناطقة عند + ∞ أو - ∞

قواعد إجرائية : 

- النهاية عند    و عند    لدالة كثير حدود هي نهاية حدها على الأعلى عند     

- النهاية عند     و  عند     لدالة ناطقة هي نهاية حاصل قسمة الحدين اللأعلى درجة عند    

مثال :

لتكن الدالة الناطقة المعرفة على     بــ     

لدينا حالة عدم التعيين بالنسبة لنهاية    عند    إلا أنه بتطبيق القاعدة      نتحصل على    

نهاية دالة مركبة

مبرهنة : 

    و  تمثل أعداد حقيقية أو    أو    .      و    دوال حيث    .

إذا كانت      و إذا كانت       فإن     

مثال :

نعتبر الدالة     المعرفة على المجال    بـ   و نريد حساب   

  نلاحظ أن     هي مركب الدالتين    و    بهذا الترتيب حيث     و           

بما أن      و       فإن   

وفيما يلي تفاصيل اكثر في هذا الفيديو:

 الفيديو الاول:

 

الفيديو الثاني:

تطبيق

فيما يلي تطبيق لطرق حساب النهايات في هذا الفيديو: