ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الدوال العددية/الدالة الأسية نظريات و تعاريف

تعريف

توجد دالة وحیدة قابلة للاشتقاق على    و تحقق :      و         

تسمى هذه الدالة بالدالة الأسية ذات الأساس    و نرمز لها بالرمز    

حيث     عدد حقيقي ثابت قيمته التقريبية   

للمزيد من التفاصيل اليك الفيديوهات التالية : 

الفيديو الأول : 

 

الفيديو الثاني : 

 

الخواص الجبرية

من أجل كل عددين حقيقيين   و من أجل عدد صحيح نسبي  لدينا :

العدد  و الترميز  ، العدد   هو صورة العدد  بالدالة الأسية أي 

حيث حسابيا 

إصطلاحا : 

من أجل كل عدد حقيقي  : 

نقرأ  : "أسية "

للمزيد من التفاصيل اليك الفيديوهات التالية : 

الفيديو الاول :

 

الفيديو الثاني :

 

الفيديو الثالث : 

 

قواعد الحساب

قواعد الحساب :

من أجل كل عددين حقيقيين  و من أجل كل عدد صحيح نسبي  لدينا :

                         

                       

                                        

x:exp(kx)الدوال الأسية

حلول المعادلة :

مبرهنة 1 : 

ليكون  عددا حقيقيا ، توجد دالة وحيدة  قابلة للاشتقاق على  بحيث :  و  

 هي دالة  دوال تحول المجموع إلى جداء .

مبرهنة 2 : 

الدوال غير المعدومة  و القابلة للاشتقاق على  بحيث : من أجل كل عددين حقيقيين  

هي دوال   حيث   عدد حقيقي .

للمزيد من التفاصيل اليك الفيديوهات التالية : 

الفيديو الأول : 

 

الفيديو الثاني : 

 

خواص و نتائج

من أجل كل عددين حقيقين   و     و    عدد صحيح كيفي 

 *              *               *   

                      *                     * 

  من أجل كل عدد حقيقي     تعميم      معناه (سالب     )  

 

*      معناه        *      معناه        *     معناه   

 

*       يكافئ       حيث      عدد حقيقي موجب تماما 

النهايات الشهيرة

الحالة العامة  الحالة الخاصة 
و أيضا 

 

للمزيد من التفاصيل اليك الفيديوهات التالية : 

الفيديو الأول : 

 

قانون الإنشقاق

إذا كانت     قابلة للإشتقاق على مجال     فإن     

* ملاحظة : تبقى قواعد الإشتقاق المعروفة سابقا صحيحة حسب شكل الدالة المعطاة 

دراسة إشارة بعض العبارات الأسية

 * أولا :    [  ( دالة )]   هما الإشارة من إشارة الدالة 

* ثانيا : في كل ممايلي , ترمز       إلى أعداد حقيقية    

* ثالثا : طريقة لدراسة إشارة عبارة من الشكل     حيث     

- إذا كان    و   موجبان فإن

- إذا كان    و    سالبان فإن    

- إذا كان     و     مختلفين في الإشارة أي  

فإن للمعادلة حل      يمكن إيجاد بكل  بساطة     ( نتمرن على ذلك التمارين ) و الإشارة بالكيفية التالية : 

 

                                        
   عكس إشارة                                    حسب إشارة 

* رابعا : طريقة لدراسة إشارة من الشكل      حيث   

لدراسة إشارة العبارة      على   نقوم بمايلي : 

الخطوة الأولى : نضع    , فتصبح العبارة من الشكل     

الخطوة الثانية : نعين قيم     التي تعدمها , إن قبلت طبعا 

الخطوة الثالثة : نستنتج قيم     و في الأخير نشكل جدولا ندرس فيه إشارة العبارة مستخدمين الاقواعد الىمعروفة لإشارة كثيرات الحدود من الدرجة الثانية  

* ملاحظة : للعبارة      تحليل من الشكل        حيث       حلي المعادلة 

 

خواص جبرية

خواص :

من أجل كل عددين حقيقين      و من أجل كل عدد صحيح نسبي     لدينا :    

 

وفيما يلي تطبيق لتفاصيل اكثر في هذه الفيديوهات:

الفيديو الاول:

 

 

الفيديو الثاني:

 

 

الفيديو الثالث:

 

 

الفيديو الرابع:

 

العدد e و الترميز e

* العدد    هو صورة العدد   بالدالة الأسية أي      تعطينا الحاسبة    

* من أجل كل عدد ىصحيح نسبي     

 لدينا إذن : من أجل كل عدد صحيح نسبي  

اصطلاحا نرمز من أجل كل عدد حقيقي      الى    بـ   

                                               من أجل كل عدد حقيقي    ,   

 نقرأ   :  "  أسية   "

ملاحظة : الترميز السابق متلائم مع خواص القوى في الحالة التي يكون فيها الأس عددا صحيحا باستعمال الاصطلاح السابق تكتب خواص الدالة الأسية كمايلي :

قواعد الحساب :

من أجل كل عددين حقيقيين    و من أجل كل عدد صحيح نسبي     لدينا : 

                                                                    

 

حلول المعادلة f'=kf

مبرهنة : 

ليكن    عددا حقيقيا .

توجد دالة وحيدة    قابلة للاشتقاق على     بحيث      و     هي الدالة 

البرهان : 

الوجود : لتكن     الدالة المعرفة على    بـــ   

الدالة     قابلة للاشتقاق على    و لدينا من أجل كل    من     ,    كما أن     

و بالتالي الدالة      تحقق    و      .

الوحدانية : نفرض وجود دالة ثانية     قابلة للاشتقاق على        بحيث        و   

  نعتبر الدالة     المعرفة على    بــ      

الدالة     قابلة للاشتقاق على    و لدينا من أجل كل   من   

     إذن     ثابتة على   مع         

و منه من أجل كل   من     ,    إذن من أجل كل      من      ,   

دوال تحول المجموع الى جداء

مبرهنة : 

الدوال غير المعدومة     و القابلة للاشتقاق على    بحيث   : 

من أجل كل عددين حقيقيين    و    , 

هي الدوال     حيث     عدد حقيقي 

البرهان :

- لتكن    دالة غير معدومة و قابلة للاشتقاق على     بحيث :    من أجل كل      من     ,  

بـأخذ      و    نحصل على     أي      أي     أو    

إذا كان       فإن من أجل كل    من    ,    مما يعني أن 

  معدومة و هذا مرفوض و بالتالي     .

من أجل كل     ثابت لدينا  من أجل كل      من   ,   باشتقاق الطرفين بالنسبة الى     

نحصل على :   من أجل كل     من       من أجل       لدينا :     

 

بوضع      يكون لدينا من أجل كل     من     ,   إذن      و  

و منه حسب المبرهنة السابقة لدينا من أجل كل       من   ,       .

عكسيا :

لتكن     الدالة المعرفة على    بـــ     باستعمال الخواص الجبرية للدالة الأسية نحصل على : 

من أجل كل عددين  حقيقيين    و             ,      

 

 

درس شامل

فيما يلي درس شامل حول الدالة الاسية في هذا الفيديو:

 

تطبيقات

للمزيد من التفاصيل اليك الفيديوهات التاللية : 

الفيديو الأول 

 

 

 مثال تطبيقي حول حل المساواة والمتراجحات لدالة اسية في هذا الفيديو: