ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الدوال العددية/المعادلة التفاضلية

تعاريف

 معادلة تفاضلية هي معادلة  : 

1- المجهول فيها دالة غالبا ما نرمز اليها بالرمز     أو حرف آخر . 

2- تظهر فيها بعض المشتقات     (المشتقة الأولى    أو مشتقات من رتبة أكبر   ....   ) 

3- نسمي حلا لمعادلة تفاضلية     في مجال     كل دالة     تحقق  في   . 

مثال : الدالة     هي حل في     للمعادلة التفاضلية   

 

المعادلات التفاضلية من الشكل y'=f(x)

مبرهنة :

إذا كانت    دالة مستمرة على مجال    وكانت     دالة أصلية لها على     فإن حلول المعادلة التفاضلية     هي الدوال     حيث      مع    عدد حقيقي ثابت .

البرهان :

من الواضح أن الدوال     التي تحقق      هي الدوال الأصلية للدالة    على    و منه إذا كانت    دالة أصلية لـ     على    فإن الذوال الأصلية لـ    على  هي الدوال      حيث    عدد حقيقي .

مثال : حلول المعادلة التفاضلية       في     هي الدوال      حيث      مع    ثابت حقيقي .

 

المعادلات التفاضلية من الشكل y''=f(x)

مبرهنة : 

إذا كانت    دالة مستمرة على مجال    و إذا كانت    دالة أصلية لها على    و كانت      دالة أصلية للدالة    على    فإن حلول المعادلة التفاضلية     هي الدوال     حيث :    مع    و    حقيقيان ثابتان . 

البرهان : 

نعلم أن     و منه     تعني     أي    حيث : 

 دالة أصلية للدالة     على    و    عدد حقيقي ثابت ,لدينا من جهة ثانية : 

        تعني       حيث     دالة أصلية للدالة     على   و    عددان حقيقيان ثابتان .

(الدالة    قابلة للاشتقاق على     فهي إذن مستمرة على هذا المجال و بالتالي فهي تقبل دوال أصلية على   

مثال : حلول المعادلة التفاضلية      في    هي الدوال     حيث :      ثابتان .

 

المعادلات التفاضلية من الشكل y''=-w²y

مبرهنة (دون برهان ) :

إذا كان     عددا حقييقيا غير معدوم فإن حلول المعادلة التفاضلية       هي الدوال     حيث :        مع  و     عددان حقيقيان ثابتان . 

ملاحظة : 

يمكننا أن نتأكد من أن الدوال     حيث  :      مع    و     عددان حقيقيان ثابتان , حلول للمعادلة التفاضلية      و ذلك باشتقاق الدالة      مرتين . 

مثال : حلول المعادلة التفاضلية   في    الدوال     حيث :     مع     و   عددان حقيقيان ثابتان .