ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الدوال العددية/الدالة اللوغارتمية النيبيرية تعاريف و خواص

الملخص

تعريف

نسمي الدالة اللوغاريتمية النيبيرية الدالة التي نرمز إليها بالرمز و التي ترفق بكل عدد حقيقي $x$ من $\left ]0;+\infty \right [$ العدد الحقيقي $\ln x$ .

نتائج أولية :

- من أجل $x$ من $\left ]0;+\infty \right [$ و من أجل كل $y$ من $\mathbb{R}$ ، $x=e^{y}$ يعني $y=\ln x$ .

- من أجل $x$ من $\left ]0;+\infty \right [$ ، $e^{\ln x}=x$ .

- من أجل $x$ من $\mathbb{R}$ ، $\ln \left ( e^{x} \right )=x$

- بما أن $e^{0}=1$ فإن $\ln 1=0$ و بما أن $e^{1}=e$ فإن $\ln e=1$ .

للمزيد من التفاصيل اليك الفيديوهات التالية :

الفيديو الأول :

مجموعة التعريف

$U\left ( x \right )$ دالة كيفية و $n\in \mathbb{N}^{\ast }$ :

$D_{f}=\left \{ x/x\in \mathbb{R} :U\neq 0 \right \}\leftarrow \ln \left | U \right |$

$D_{f}=\left \{ x/x\in \mathbb{R} :U\neq 0 \right \}\leftarrow \ln \left ( U \right )^{2n}$

$D_{f}=\left \{ x/x\in \mathbb{R} :U> 0 \right \}\leftarrow \ln \left ( U \right )^{2n+1}$

الخواص الجبرية

من أجل عددين حقيقيين $a$ و $b$ من $\left ]0;+\infty \right [$ :

$\ln \left ( a.b \right )=\ln a+\ln b$

$\ln \left ( \frac{a}{b} \right )=\ln a-\ln b$

$\ln \left ( \frac{1}{a} \right )=-\ln a$

من أجل كل عدد حقيقي $a$ و من أجل عدد حصيص نسبي $n$ .

$\ln (a^n)=n \ln a$

$\ln (\sqrt[n]{a})=\frac{1}{n} \ln a$

للمزيد من التفاصيل اليك الفيديوهات التالية :

الفيديو الأول :

الفيديو الثاني :

قواعد الحساب

1- العلاقة بين $\ln$ و $e$ مثل العلاقة بين $\sqrt$ و" التربيع "معناه

2- $\ln e ^{\blacktriangle }=e^{\ln \blacktriangle }=\blacktriangle$ تكافئ $\blacktriangle >0$

3- $\ln \blacktriangle =a$ تكافئ $\blacktriangle =e^a$

4- من أجل العددان الحثقيقيان $a$ و $b$ الموجبن تماما و العدد الطبيعي $n$ يكون

* $\ln (a.b)=\ln a +\ln b$ * $\ln \frac{a}{b}=\ln a-\ln b$

5- إذا كان $a.b>0$ و $\frac{a}{b}>0$ فإن

* $\ln (a.b)=\ln |a|+\ln |b|$ * $\ln \frac{a}{b}=\ln |a|-\ln|b|$

6- $\ln \frac{1}{a}=-\ln a$ و بصفة عامة $\ln \frac{1}{\blacktriangle }=-\ln \blacktriangle$

7- تعيين $\ln x^n$ : إذا كانت $n$ فردية فإن $\ln x^n=n\ln x$

و إذا كانت $n$ زوجية فإن $\ln x^n=n\ln |x|$

و بصفة عامة $\ln\blacktriangle ^n$ : إذا كانت $n$ فردية فإن $\ln \blacktriangle ^n=n\ln \blacktriangle$

و إذا كانت $n$ زوجية فإن $\ln \blacktriangle ^n=n\ln |\blacktriangle |$

8- $\ln x^{\frac{\alpha }{\beta}}=\frac{\alpha }{\beta }\ln x$ و $\ln \sqrt[n]{x}=\frac{1}{n}\ln x$

ما يجب معرفته و فهمه لحل المعادلات و المتراجحات

* $\ln u=\ln v$ يكافئ $u=v$

* $\ln |u|=\ln |v|$ يكافئ $|u|=|v|$

* $\ln u\leq \ln v$ يكافئ $u\leq v$

* $\ln u\geq 0$ يكافئ $u\geq 1$

* $\ln u \leq 0$ يكافئ $0\leq u\leq 1$

للمزيد من التفاصيل اليك الفيديوهات التالية :

الفيديو الأول :

دراسة إشارة بعض العبارات

في كل ممايلي ترمز $\beta , \alpha , c,b,a$ الى أعداد حقيقية

1- دراسة إشارة العبارة $a.\ln (\alpha x+\beta)+b$ حيث $a.\alpha \neq 0$

لراسة إشارة العبارة $a.\ln (\alpha x+\beta )+b$ على مجموعة تعريفها نبحث عن القيمة التي تعدمها و لتكن $x_0$ ثم نحدد إشارتها كما في الجدول التالي :

$x$	الحل
$a.\ln (\alpha x+\beta )+b$	$a.\alpha$ نفس إشارة $a.\alpha$ $0$ عكس إشارة

2- دراسة إشارة العبارة $a(\ln x)^2+b\ln x+c$ حيث $a.b.c\neq 0$ :

لدراسة إشارة العبارة $a(\ln x)^2+b\ln x+c$ على $\mathbb{R}_+^*$ نقوم بمايلي :

نضع $\ln x=X$ فتصبح العبارة $a.X^2+b.X+c$ ونعين قيم $X$ التي تعدمها (إن وجدت ) ثم نستنتج قيم $x$ و في الأخير نشكل جدولا فيه إشارة العبارة مستخدمين القواعد المعروفة لإشارة كثيرات الحدود من الدرجة الثانية

3- دراسة إشارة العبارة $\ln u(x)$ حيث $u(x)>0$ :

إشارة $\ln u(x)$ من إشارة $u(x)-1$ داخل مجموعة التعريف

قوانين الإشتقاق

* إذا كان لدينا $f(x)=\ln x$ فإن $f'(x)=\frac{1}{x}$ و بصفة عامة $f(x)=\ln \blacktriangle$ فإن $f'(x)=\frac{\blacktriangle '}{\blacktriangle }$

* إذا كان لدينا $f(x)=\ln |x|$ فإن $f'(x)=\frac{1}{x}$ و بصفة عامة $f(x)=\ln \blacktriangle$ فإن $f'(x)=\frac{\blacktriangle '}{\blacktriangle }$

* إذا كان لدينا $f(x)=\ln g^n(x)$ فإن $f'(x)=n.\frac{g'(x)}{g(x)}$

* إذا كان لدينا $f(x)=\ln [g(x).h(x)]$ فإن $f'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}+\frac{h'(x)}{h(x)}$

* إذا كان لدينا $f(x)=\ln \frac{g(x)}{h(x)}$ فإن $f'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}-\frac{h'(x)}{h(x)}$

دالة اللوغاريتم النيبيري

تعريف :

دالة اللوغاريتم النيبيري هي الدالة الاصلية للدالة : $x \mapsto \frac{1}{x}$ على المجال $]0;+\infty[$ و التي تنعدم في 1 و يرمز لها بالرمز : $\ln$

خواص :

$\ln 1=0$

$\ln e=1$ (e أساس اللوغاريتم النيبيري )

- من أجل كل x من المجال $]0;+\infty[$ و من أجل كل y من المجال $]0;+\infty[$ لدينا:

$\ln xy=\ln x+\ln y$

$(r\in \mathbb{Q})\ln x^r=r\ln x$

$\ln \frac{x}{y}=\ln x-\ln y$

$\ln x=\ln y$ معناة $x=y$

$\ln x>\ln y$ معناه $x>y$

- من أجل كل x من المجال $]0;+\infty[$ و من أجل كل y من $\mathbb{R}$ لدينا :

$\ln x=y$ معناه : $x=e^y$

- من أجل كل $x$ من $\mathbb{R}^\ast$ لدينا :

- إذا كان n عددا طبيعيا زوجيا فإن : $\ln x^n=n\ln |x|$

مجموعة التعريف :

- الدالة $x \mapsto \ln x$ معرفة إذا كان $x>0$

- الدالة $x \mapsto \ln [u(x)]$ معرفة إذا كان $u(x)>0$

النهايات :

$\left\{\begin{matrix} \lim _{x\rightarrow +\infty}=\infty \\ \\ \lim_{x\overset{>}{\rightarrow}0}\ln x=-\infty \\ \\ \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\ln x}{x^n}=0\\ \\ \lim_{x\overset{>}{\rightarrow}0}x^n\ln x=0\\ \\ \lim_{x\rightarrow 1}\frac{\ln x}{x-1}=1\\\\ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln (x+1)}{x} =1\end{matrix}\right.$

الاستمرارية :

- الدالة $x \mapsto \ln x$ مستمرة على المجال $]0;+\infty[$

- إذا كانت u دالة مستمرة و متزايدة تماما على مجال $I$ فإن الدالة $x \mapsto \ln [u(x)]$ مستمرة على المجال $I$

الاشتقاقية :

- الدالة $x \mapsto \ln x$ قابلة للاشتقاق على المجال $]0;+\infty[$

- من أجل كل x من المجال $]0;+\infty[$ لدينا :

$(\ln x)'=\frac{1}{x}$

- إذا كانت u دالة متزايدة تماما و قابلة للاشتقاق على مجال $I$ فإن الدالة $x \mapsto \ln [(x)]$ قابلة للاشتقاق على المجال $I$

- من أجل كل x من المجال $I$ لدينا :

$(\ln [u(x)])'=\frac{u'(x)}{u(x)}$

التمثيل البياني : (لاحظ الشكل 1)