ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الأعداد و الحساب/Z القسمة في

الملخص

من الأستاذ(ة) بوقطوف عبد الحميد

قابلية القسمة في Z

تعريف :

a و b عددان صحيحان و a غير معدوم

القول أن العدد a يقسم العدد b يعني وجود عدد صحيح حيث : $b=ka$

من التعريف :

- نقول كذلك : a قاسم للعدد b

- أو نقول كذلك : b مضاعف للعدد a

- نكتب $a/b$ و نقرأ a يقسم b

ملاحظة :

في $\mathbb{Z}$ للعددين a و a- نفس القواسم

خواص

a و b و c ثلاثة أعداد صحيحة غير معدومة

إذا كان a يقسم b و كان c يقسم فإن :

a يقسم c

a و b عددان صحيحان و a غير معدوم

إذا كان a يقسم b فإنه من أجل كل عدد صحيح m :

a يقسم mb

a و b عددان صحيحان و a غير معدوم

إذا كان a يقسم فإنه من أجل كل عدد صحيح غير معدوم m :

ma يقسم mb

a و b و c ثلاثة أعداد صحيحة و a غير معدوم

إذا كان a يقسم العددين b و c فإنه من أجل كل عددين صحيحين m و n : a يقسم mb+nc

القسمة الاقليدية في Z

مبرهنة :

a عدد صحيح و b عدد طبيعي غير معدوم

توجد ثنائية وحيدة $(q;r)$ من الاعداد الصحيحة حيث :

$a=bq+r$ و $0\leq r< b$

من المبرهنة :

- نسمى عملية البحث عن الثتائية $(q;r)$ بالقسمة الاقليدية للعدد a على العدد b

- يسمى q و r بهذا الترتيب حاصل باقي القسمة الإقليدية للعدد a على العدد b

- يمكن تمديد مفهوم القسمة الإفليدية لغدد صحيح a على عدد صحيح غير معدوم b فنحصل على :

$a=bq+r$ و $0\leq r<|b|$

القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين :

تعريف :

a و b عددان طبيعيان غير معدومين . $D_a$ و $D_b$ مجموعتا قواسم a و b على الترتيب

$D_a\cap D_b$ هي مجموعة القواسم المشتركة للعددين a و b

يسمى أكبر عنصر من المجموعة $D_a\cap D_b$ بالقلسم المشترك الأكبر للعددين a و b و نركز له بـ $PGCD(a;b)$

$PGCD(a;a)=a$

$PGCD(1;a)=1$

$PGCD(0;a)=a$ ( a غير معدوم )

مجموعة قواسم 0 هي $\mathbb{N}^\ast$

- مجموعة قواسم المشتركة لعددين طبيعيين غير معدومين هي مجموعة قواسم قاسمهما المشترك الأكبر

خواص القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين :

a و b عددان طبيعيان غير معدومين حيث $a\geq b$ و r باقي قسمة a على b

$PGCD(a,b)=PGCD(b;r)$

القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين غير معدومين a و b هو آخر باقي غير معدوم في سلسلة قسمات خوارزمية إقليدس

a و b عددان طبيعيان غير معدومين . k عدد طبيعي غير معدوم

$PGCD(ka;kb)=k\times PGCD (a;b)$

a و b عددان طبيعيان غير معدومين , d قاسم مشترك للعددين a و b

نضع :

$a=da'$ و $b=db'$

يكون d القاسم المشترك الأكبر للعددين a و b إذا و فقط إذا كان العددان الطبيعيان 'a و 'b أوليين فيما بينهما

تعريف :

a و b عددان طبيعيان غير معدومين

يكون العددان a و b أوليين فيما بينها إذا و فقط إذا كان قسمهما المشترك الأكبر يساوي 1

تمديد القاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين :

تعريف :

a و b عددان صحيحان غير معدومين

القاسم المشترك الاكبر للعددين a و b هو العدد الطبيعي الوحيد d حيث : $d=PGCD(|a|;|b|)$

خاصية :

a و b عددان صحيحان غير معدومين , k عدد صحيح غير معدوم

$PGCD(ka;kb)=|k|\times PGCD(a;b)$

ملاحظة :

a و b عددان صحيحان غير معدومين . إذا كان b يقسم a فإن :

$PGCD(a;b)=|b|$

الموافقات Z

تعريف :

n عدد طبيعي غير معدوم , القول أن عددين صحيحين a و b متوافقان بترديد n يعني أن a و b لهما نفس الباقي في القسمة على n .

و نرمز بـ : $a\equiv b[n]$ و نقرأ : a يولفق b بترديد n

ملاحظة :

- من أجل كل عدد صحيح x :

$x\equiv 0[1]$

مبرهنة :

a و b عددان صحيحان و n عدد طبيعي غير معدوم

a و b لهما نفس الباقي في القسمة الإقليدية على n و إذا وفقط إذا كان : $a-b$ مضاعف لـ n

نتيجة :

a و b عددان صحيحان و n عدد طبيعي غير معدوم

a و b متوافقان بترديد n إذا و فقط إذا كان $a-b$ مضاعف لـ n

خواص :

n عدد طبيعي غير معدوم يختلف عن 1 $(n\geq 2)$

كل عدد صحيح a يوافق باقي قسمته على n بتريد n

n عدد طبيعي غير معدوم . من اجل كل عدد صحيح a لدينا :

$a\equiv a[n]$

n عدد طبيعي غير معدوم . a و b عددان صحيحان , إذا كان $a\equiv b[n]$ فإن : $b\equiv a[n]$

n عدد طبيعي غير معدوم . a وb و c أعدادد صحيحة

إذا كان $a\equiv b[n]$ و $b\equiv c[n]$ فإن :

$a\equiv c[n]$

n عدد طبيعي غير معدوم . a و b و c و d أعداد صحيحة

إذا كان $a\equiv b[n]$ و $c\equiv d[n]$ فإن :

$a+c\equiv b+d[n]$

n عدد طبيعي غير معدوم . a و b و c و d أعداد صحيحة

إذا كان $a\equiv b[n]$ و $c\equiv d[n]$ فإن : $ac\equiv bd[n]$

n عدد طبيعي غير معدوم . a و b عددان صحيحان .

من أجل كا عدد صحيح k إذا كان $a\equiv b[n]$ فإن :

$ka\equiv kb[n]$

n و p عددان طبيعيان غير معدومين . a و b عددان صحيحان .

إذا كان $a\equiv b[n]$ فإن : $a^p\equiv b^p[n]$

التعداد

مبرهنة :

$x$ عدد طبيعي غير معدوم أكبر تماما من 1, كل عدد طبيعي a أكير من أو يساوي $x$ يكتب بطريقة وحيدة على الشكل :

$a=qx^n+r_{n-1}x^{n-1}+r_{n-2}x^{n-2}+......+r_2x^2+r_1x+r_0$

حيث :

$0<q<x$ و $0\leq r_a<x$ مع $a\in \left \{ 0;1;2;.....;n-1 \right \}$

التعداد ذو الاساس $x$ :

قاعدة :

$x$ عدد طبيعي غير معدوم أكبر تماما من 1

يعتمد التعداد ذو الاساس $x$ على الاصطلاحين التاليين :

1) إذا كان $a<x$ (a عدد طبيعي ) : a يمثل برمز وحيد يسمى وقما

2) إذا كان $a\geq x$ (a عدد طبيعي ) : من المبرهنة a ينشر بطريقة وحيدة وفق العدد

$a=qx^n+r_{n-1}x^{n-1}+r_{n-2}x^{n-2}+....+r_2x^2+r_1x+r_0$

حيث :

$0<q<x$ و $0\leq r_a<x$ مع $a\in \left \{ 1;2;.......;n-1 \right \}$

يمثل العدد a كمايلي :

$a=\overline{qr_{n-1}r_{n-2}.......r_1r_0}$

الكتابة : $a=\overline{qr_{n-1}r_{n-2}.......r_1r_0}$ هي كتابة العدد a في النظام ذي الاسلس x

ملاحظة :

- إذا كان $x=10$ نكتب $a=qr_{n-1}r_{n-2}.......r_1r_0$

الاعداد الأولية :

تعريف :

القول أن العدد الطبيعي n عدد أولي معناه أن n يقبل قاسمين بالضبط في $\mathbb{N}$ : 1 و n نفسه

ملاحظات :

0 غير أولي لأنه يقبل ما لا نهاية من القواسم

1 غير أواي لأنه قاسم واحد هو العدد 1

2 هو العدد الأولي الزمجي الوحيد

2, 3, 5, 7, 11, 13 ,17 ,19 ,23 هي الأعداد الأولية الأصغر من 25

خواص :

كل عدد طبيعي n أكبر تماما من 1 $(n\geq 2)$ يقبل على الأقل قاسما أوليا

كل عدد طبيعي غير أولي n أكبر تماما من 1 $(n\geq 2)$ يقبل قاسما أوليا a حيث : $a\leq \sqrt n$

مجموعة الأعداد الأولية غير منتهية

طريقة :

لمعرفة إذا كان عدد n أكبر تماما من 1 $(n\geq 2)$ أوليا أم لا , نحسب $\sqrt n$

-إذا كان $\sqrt n$ عددا طبيعيا أي n مربع تام فإن n غير أولي

-إذا كان $\sqrt n$ غير طبيعي , نقسم n على الأعداد الأولية الأصغر من $\sqrt n$ على الترتيب

- إذا وجدنا أحد البواقي معدوما نتوقف , و نقر أن n أولي

- إذا كانت كل البولقي غير معدومة , نقر أن n أولي .

تحليل عدد طبيعي إلى جداء عوامل أولية :

مبرهنة :

كل عدد طبيعي غير أولي n حيث $n\geq 2$ يمكن نحليله إلى جداء عوامل أولية .

ملاحظة :

- نقبل بدون برهان أن كل عدد طبيعي n يقبل تحليلا وحيدا الى جداء عوامل أولية .

خاصية :

a و b عددان طبيعيان كلاهما أكبر تماما من 1

يكون العدد b قاسما للعدد a إذا و فقط إذا كان كل عامل أولي في تحليل b موجودا في تحليل a و بأس إما مساو و إما أصغر من أسه في تحليل a

طريقة :

لإيجاد عدد قواسم عدد طبيعي a نحلل a الى جداء عوامل أولية

الى كل أس في التحليل نضيف 1 ثم نحسب جداء الأعداد المحصل عليها

المضاعف المشترك الأصغر لعددين :

تعريف :

a و b عددان طبيعيان غير معدومين $M_a$ و $M_b$ مجموعتا مضاعفات a و b على الترتيب

$M_a\cap M_b$ هي مجموعة المضاعفات المشتركة للعددين a و b

يسمى أصغر عنصر غير معدوم من المجموعة $M_a\cap M_b$ المضاعف النمشترك الاصغر للعددين a و b

و نرمز له بـ $PGCD(a;b)$

المضاعف الوحيد لـ 0 هو 0

$PPCM(a;a)=a$

$PPCM(1;a)=a$

-مجموعة المضاعفات المشتركة لعددين طبيعيين غير معدومين هي مجموعة مضاعفاتت المضاعف المشترك الأصغر لهما

تمديد المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين :

تعريف :

a و b عددان صحيحان غير معدومين

المضاعف المشترك الاصغر للعددين a و b مو أصغر عدد طبيعي m غير معدوم حيث: $m=PPCM(|a|;|b|)$

خاصية للمضاعف المشترك الأصغر لعددين طبيعيين :

خاصية :

a و b عددان طبيعيان غير معدومين . k عدد صحيح غير معدوم

$PPCM(ka;kb)=|k|\times PPCM(a;b)$

حساب القاسم المشترك الأكبر باستعمال التحليل الى جداء عوامل أولية :

خاصية :

القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين a و b كلاهما أكبر تماما من 1 هو :

جداء العوامل الأولية المشتركة في تحليلي العددين a و b بحيث يؤخذ كل عامل من هذه العوامل مرة واحدة و بأصغر أس

حساب المضاعف المشترك الأصغر باستعمال التحليل الى جداء عوامل أولية :

خاصية :

المضاعف المشترك الأصغر لعددين طبيعيين a و b كللاهما أكبر تماما من 1 هو :

جداء العوامل الأولية المشتركة في تحليل العددين a و b بحيث يؤخد كل عامل من هذه العوامل مرة واحدة و بأكبر أس .

العلاقة بين المضاعف المشترك الأصغر و القاسم الأكبر :

خاصية :

جداء عددين طبييين a و b كلاهما أكبر تماما من 1 مساو لجداء قاسمهما المشترك الأكبر و مضاعفهما المشترك الأصغر .

$PGCD(a;b)\times PPCM(a;b)=a\times b$

مبرهنة بيزو :

مبرهنة :

يكون عددان صحيحان a و b أوليين فيما بينهما إذا و فقط إذا وجد عددان صحيحان u و v حيث : $au+bv=1$

خواص :

إذا كان d القاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين a و b فإنه يوجد عددان صحيحان u و v حيث : $au +bv =1$

إذا كان a عددا أوليا فإن a أولي مع كل الأعداد التي لا يقسمها

إذا كان a عدد أوليا مع عددين صحيحين b وc فإن a أولي مع جدائهما $b\times c$

مبرهنة غوص :

مبرهنة :

a و b و c ثلاثة أعداد صحيحة غير معدومة

إذا كان a يقسم الجداء bc و كان a أوليا مع b فإن : a يقسم c

خواص :

a و b عددان طبيعيان غير معدومين و p عدد أولي

إذا كان p يقسم الجداء ab فإن : p يقسم a أو p يقسم b

a و b و c ثلاثة أعداد صحيحة غير معدومة

إذا كان a مضاعفا للعددين b و c و كان b و c أوليين فيما بينهما فإن : a مضاعف للجداء bc