ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الهندسة في الفضاء/التمثيل الوسيطي لمستقيم و مستوي

الملخص

التمثيل الوسيطي لمستقيم

1- يشمل و يوازي المستقيم :

المستقيم $(\Delta )$ الذي يشمل النقطة $A(x_A;y_A;z_A)$ و يوازي الشعاع $\vec u\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{bmatrix}$

لتكن $M(x;y;z)\in (\Delta )$ يعني $\overrightarrow{AM}=\vec u$ أي : $\overrightarrow{AM}=t.\vec u$ (حيث : $t$ من $\mathbb{R}$ )

و منه $(\Delta )$ له تمثيل وسيطي من الشكل $(t\in \mathbb{R})$ $(\Delta ): \begin{cases} x=\alpha t+x_A \\ y=\beta t +y_A \\ z=\gamma t+z_A \end{cases}$ [ $u$ هو شعاع توجيه المستقيم $(\Delta )$ ] $(AB)$

2- يشمل نقطتين :

المستقيم $(AB)$ الذي يشمل النقطتين $A(x_A,y_A,z_A)$ و $B(x_B,y_B,z_B)$

لتكن $M(x,y,z)in (AB)$ يعني $\overrightarrow{AM} || \overrightarrow{AB}$ أي : $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}$ ( حيث : $t$ من $\mathbb{R}$ )

و منه $(AB)$ له تمثيل وسيطي من الشكل $\begin{cases} x=(x_B-x_A)t+x_A \\ y=(y_B-y_A)t+y_A \\ z=(z_B-z_A)t+z_A \end{cases}$ [ $\overrightarrow{AB}$ هو شعاع توجيه للمستقيم ]

مستقيمات خاصة

1- حامل محور الفواصل $(O;\vec i)$ يعرف بالجملة : $\begin{cases} y=0 \\ z=0 \end{cases}$

2- حامل محور التراتيب $(O;\vec j)$ يعرف بالجملة : $\begin{cases} x=0 \\ z=0 \end{cases}$

3- حامل محور الرواقم $(O;\vec k)$ يعرف بالجملة : $\begin{cases} x=0 \\ y=0 \end{cases}$

المسقط العمودي لنقطة على مستقيم

لتكن النقطة $H(x,y,z)$ هي المسقط العمودي للنقطة $A$ على المستقيم $(\Delta )$

الذي تمثيله الوسيطي $(\Delta):\begin{cases} x=\alpha t+x_0 \\ y=\beta t+y_0 \\ z=\gamma t+z_0 \end{cases};( t\in \mathbb{R})$ لتعيين إحداثيات النقطة $H$

- نبحث عن قيمة الوسيط $t$ و ذلك عن طريق :

$\overrightarrow{AH }\perp \vec v\Rightarrow \overrightarrow{AH}.\vec u=0\Rightarrow \begin{bmatrix} x-x_A\\ y-y_A\\ z-z_A \end{bmatrix}\bullet \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{bmatrix}=0\Rightarrow \\\\ \begin{bmatrix} \alpha t +x_0-x_A\\ \beta +y_0-y_A\\ \gamma t+z_0-z_A \end{bmatrix}\bullet \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{bmatrix} =0$

- نعوض عن $t$ في إحداثيات التمثيل الوسيطي للمستقيم $(\Delta )$ فنججد إحداثيات المسقط العمودي $H$

بعد نقطة عن مستقيم

لحساب بعد نقطة $A$ عن المستقيم $(\Delta)$ نعين مسقطها العمودي $H$ على المستقيم و يكون بعد النقطة عن المستقيم $(\Delta )$ هو الطول $AH$ أي :

$d(A;\Delta )=AH=\left \| \overrightarrow{AH} \right \|=\sqrt{(x_H-x_A)^2+(y_H-y_A)^2+(z_H-z_A)^2}$

تعامد مستقيمين في الفضاء

يتعامد مستقيمان في الفضاء إذا تعامد شعاعا توجيههما بمعنى :

- إذا كان : $(\Delta )$ و $(\Delta ')$ مستقيمين شعاعي توجيههما على الترتيب : $u_{(\Delta )}\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{bmatrix}$ و $u_{(\Delta' )}\begin{bmatrix} \alpha' \\ \beta' \\ \gamma' \end{bmatrix}$

فلدينا :

$(\Delta )\perp (\Delta ')\Rightarrow \overrightarrow{U}_{(\daelta)}\bullet \overrightarrow{U}_{(\Delta ')}=0\Rightarrow \alpha \times \alpha '+\beta\times \beta '+\gamma \times \gamma '=0$

الوضعية النسبية لمستفقيمين في الفضاء

ليكن $(\Delta )$ و $(\Delta ')$ مستقيمين شعاعي توجيههما على الترتيب : $\vec u_{(\Delta )}$ و $\vec u_{(\Delta ')}$

- إذا كان $\vec u_{(\Delta ')} || \vec u_{(\Delta )}$ ( مرتبطان خطيا ) فإن : المستقيمان $(\Delta )$ و $(\Delta ')$ متوازيان ( متوازيان تماما أو متطابقان )

توضبح : نعين النقطة $A$ من المستقيم $(\Delta )$ (أو من $(\Delta ')$ )

أ / إذا كانت $A$ لاتنتمي الى المستقيم $(\Delta ')$ فإن $(\Delta )$ و $(\Delta ')$ منطبقان

ب / إذا كانت $A$ لا تنتمي الى الىمستقيم $(\delta ')$ فإن $(\Delta )$ و $(\Delta ')$ متوازيا تماما ( منفصلان )

- إذا كان $\vec u_{(\Delta' )}\not || \vec u_{(\Delta )}$ ( غير مرتبطان خطيا ) فإن : الىمستقيمان $(\Delta )$ و $(\Delta ')$ غير متوازيان ( متقاطعان في نقطة أو من مستويين مختلفين : " ليسا من نفس المستوي ")

بعد النقطة عن المستوي

ليكن $\left ( P \right )$ المستوي الدي معادلته : $ax+by+cz+d=0$

$A\left ( x_{0},y_{0} ,z_{0}\right )$ نقطة من الفضاء

$AH=\frac{dx_{0}+by_{0}+cz_{0}+d}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

المستقيمات في الفضاء

الفضاء منسوب إلى معلم متعامد و متجانس ، $\left ( \Delta \right )$ مستقيم من الفضاء يشمل النقطة $A\left ( x_{a},y_{a} ,z_{a}\right )$ و $\vec{v}\left ( a,b,c \right )$

شعاع توجيه $\left ( \Delta \right )$

$m\left ( x,y,z \right )$ نقطة من $\left ( \Delta \right )$ إذا و فقط إذا و جد عدد حقيقي $t$ حيث $\overrightarrow{AM}=t\vec{u}$ هذا يعني :

$t\in IR \begin{cases} x=x_{a}+at \\ y=y_{a}+bt \\ z=z_{a}+ct \end{cases}$

نسمي الجملة تمثيلا وسطيا للمستقيم $\left ( \Delta \right )$