ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الأعداد المركبة/C العمليات الحسابية في

الملخص

مرافق عدد مركب

تعريف :

مرافق العدد المركب z=x+iy هو العدد المركب x-iy = $\bar{z}$

خواص المرافق

1- $\bar \bar {z}=z$ 2- $\bar{ \left | z_{1}+z_{2} \right |} =\bar z_{1}.\bar z_{2}$ 3- $\bar{ \left | z_{1}-z_{2} \right |} =\bar z_{1}-\bar z_{2}$

4- $\bar{ \left | z_{1}.z_{2} \right |} =\bar z_{1}.\bar z_{2}$ 5- $\bar { ( \frac{z_{1}}{z_{2}} )}=\frac{\bar z_{1}}{\bar z_{1}}$ ; $z_{2} \neq0$

6- $\bar k.\bar z=k.\bar z$ ; $k \in \mathbb{R}$ 7- $\begin{Bmatrix} \frac{\bar k}{z} \end{Bmatrix}=\frac{k}{\bar z} ; k \in \mathbb{R} , z\neq 0$

8- $\bar \left ( z^n \right ) =\left ( \bar z \right )^n$ ; $n \in\mathbb{Z}$

نتائج

1) إذا كان z=x+iy ، فلدينا النتائج التالية :

* $\bar{Z}=2x$ + z

* z- $\bar{z}$ =2iy

* $z.\bar{z}=x^{^{2}}+y^{^{2}}$

2) استخدام المرافق لاثبات أن Z حقيقي أو تخيلي صرف :

Z حقيقي يعني $\bar{z}=z$

Z تخيلي صرف يعني $\bar{z}=-z$

3) ملاحظة : في المستوي لمركب المنسوب إلى معلم متعامد ومتجانس ( $\underset{\mu }{\rightarrow} \underset{v}{\rightarrow}$ O ) صورتا العددين المركبين المترافقين متناظرتان بالنسبة الى محور الفواصل .

قابلية القسمة في Z

تعريف :

a و b عددان صحيحان و a غير معدوم , القول أن العدد b يعني وجود عدد صحيح k حيث : b=ka نقول كذلك a قاسم للعدد b أو نقول كذلك b مضاعف للعدد a

- نكتب a|b و نقرأ a يقسم b

- في $\mathbb{Z}$ للعددين a و a- نفس القواسم

خواص :

خاصية 1 :

a,b,c ثلاثة أعداد صحيحة غير معدومة

إذا كان a يقسم b و b يقسم c فإن a يقسم c

خاصية 2 :

a و b عددان صحيحان و a غير معدوم

إذا كان a يقسم b فإنه من أجل كل عدد صحيح m ;

a يقسم mb

خاصية 3 :

a و b عددان صحيحان و a غير معدوم

إذا كان a يقسم b فإنه من أجل كل عدد صحيح غير معدوم ma , m يقسم mb

خاصية 4:

a. b و c ثلاثة أعداد صحيحة و a غير معدوم

إذا كان a يقسم العددين b و c فإنه من أجل كل عددين صحيحين m و a , n يقسم mb +nc

القسمة الاقليدية في Z

مبرهنة :

a عدد صحيح و b عدد غير معدوم , توجد ثنائية وحيدة (q,r) من الاعداد الصحيحة حيث a=bq+r و $0\leq r< b$

- تسمى عملية البحث عن الثنائية (q,r) بالقسمة الاقليدية للعدد a على العدد b

- يسمى q و r بهذا الترتيب حاصل و باقي القسمة الاقليدية للعدد a على العدد b

- يمكن تمديد مفهوم القسمة الإقليدية لعدد صحيح a على عدد صحيح غير معدوم b و نحصل على :

a=bq+r و $0\leq r\leq |b|$

- القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين :

- مجموعة قواسم 0 هي $\mathbb{N}^\ast$

تعريف :

a و b عددان طبيعيان غير معدومين $D_a$ و $D_b$ مجموعتا قواسم a و b على الترتيب

$D_a \cap D_b$ هي مجموعة القواسم المشتركة للعددين a و b

يسمى أكبر عنصر من المجموعة $D_a \cap D_b$ بالقاسم المشترك الأكبر للعددين a و b

و نرمز له بـ $PGCD(a;b)$

- $PGCD(a;a)=a$

- $PGCD(1;a)=1$

- $PGCD(0;a)=a$ ( a غير معدوم )

- مجموعة القواسم المشتركة لعددين طبيعيين غير معدومين هي مجموعة قواسم قاسمهما المشترك الأكبر

- خواص القاسم المشترك الاكبر لعددين طبيعيين :

- خاصية 1 : a و b عددان طبيعيان غير معدومين حيث $a \geq b$ , باقي قسمة a على b

$PGCD(a;b)=PGCD(b;r)$

خاصية 2 : القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين غير طبيعيين a و b هو آخرباقي غير معدوم في سلسلة قسمات خوارزمية إقليدس

خاصية 3 : a و b عددان طبيعيان غيرمعدومين , k عدد طبيعي غير معدوم

$PGCD(ka;kb)=k\times PGCD (a;b)$

تعريف : a و b عددان طبيعيان غير معدومين

يكون العددان a و b أولييين فيما بينهما إذا و فقط إذا قاسمهما المشترك الأكبر يساوي 1

خاصية 4 :

a و b عددان طبيعيان غير معدومين , d قاسم مشترك للعددين a و b , نضع $a=da'$ و $b=db'$ يكون d القاسم المشترك الأكبر للعددين a و b إذا و فقط إذا و كان العددان الطبيعيان 'a و 'b أوليين فيما بينهما

- تمديد القاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين:

تعريف :

a و b عددان صحيحان غير معدومين

القاسم المشترك الأكبر للعددين a و b هو العدد الطبيعي الوحيد d حيث $d=PGCD=(|a|;|b|)$

خاصية : a و b عددان صحيحان غير معدومين , k عدد صحيح غير معدوم $PGCD(ka;kb)=\left | k \right |PGCD(a;b)$

- a و b عددان صحيحان غير معدومين

إذا كان b يقسم a فإن : $PGCD(a;b)=|b|$

الموافقات في Z

تعريف : n عدد طبيعي غير معدوم , القول أن عددين صحيحين a و b متوافقان يترديد n يعني أن a وb لهما نفس الباقي في القسمة على n و نرمز $a\equiv b[n]$ و نقرأ a يوافق b بترديد n

- من أجل كل عدد صحيح x ; $x\equiv 0[1]$

مبرهنة : a و b عددان صحيحان و n عدد طبيعي غير معدوم . a و b لهما نفس الباقي في القسمة الإقليدية على n إذا و فقط إذا كان a-b مضاعف لـ n

نتيجة : a و b عددان صحيحان و n عدد طبيعي غير معدوم . a و b متوافقان بترديد n إذا و فقط إذا كان a-b مضاعف لـ n

- خواص :

خاصية 1 : n عدد طبيعي غير معدوم يختلف عن 1 $(n\geq 2)$

كل عدد صحيح a يوافق باقي قسمته على n بترديد n

خاصية 2 : n عدد طبيعي غير معدوم , من أجل كل عدد صحيح a لدينا $a\equiv [n]$

خاصية 3 : n عدد طبيعي غير معدوم , a و b عددان صحيحان . إذا كان $a\equiv b[n]$ فإن $b\equiv a[n]$

خاصية 4 : n عدد طبيعي غير معدوم , a,b و c أعداد صحيحة و إذا كان ( $a\equiv b[n]$ و $b\equiv c[n]$ ) فإن $a\equiv c[n]$

خاصية 5 : n عدد طبيعي غير معدوم a ,b, c و d أعداد صحيحة :

إذا كان ( $a\equiv b[n]$ و $c\equiv d[n]$ ) فإن $a+c\equiv b+d[n]$

خاصية 6 : n عدد طبيعي غير معدوم a , b, c و d أعداد صحيحة :

إذا كان ( $a\equiv b [n]$ و $c\equiv d[n]$ ) فإن $ac\equiv bd[n]$

خاصية 7 : n عدد طبيعي غير معدوم . a و b عددان صحيحان

من أجل كل عدد صحيح إذا كان $a\equiv b[n]$ فإن $k\equiv kb [n]$

خاصية 8 : n و p عددان طبيعيان غير معدومين . a و b عددان صحيحان . إذا كان $a\equiv b[n]$ فإن $a^p\equiv b^p[n]$

- التعداد :

مبرهنة : x عدد طبيعي غير معدوم أكبر تماما من 1 . كل عدد طبيعي a أكبر من أن يساوي x يكتب بطريقة وحيدة على الشكل $a=qx^n+r_{n-1}x^{n-1}+r_{n-2}x^{n-2}+.........+r_2x^2+r_1x+r_0$ حيث

$0<q<x$ و $0 \leq r_a<x$ مع $a\in \left \{ 0;1;<2;........;n-1 \right \}$

التعداد ذو الأساس x

قاعدة : x عدد طبيعي غير معدوم أكبر تماما من 1 , يعتمد التعداد ذو الأساس x على الاصلاحيين التاليين :

1) إذا كان $a<x$ ( a عدد طبيعي ) a يمثل برمز وحيد يسمى رقما

2) إذا كان $x$ $a^3$ ( a عدد طبيعي ) من المبرهنة a ينشر بطريقة وحيدة وفق العدد x :

$a=qx^n+r_{n-1}x^{n-1}+r_{n-2}x^{n-2}+.....+r_2x^2+r_1x+r_0$ حيث :

$0<q<x$ و $0\leq r_a\leq x$ مع $a\in \left \{ 0;1;2;.......;n-1 \right \}$

يمثل العدد a كمايلي : $a=\overline{qr_{n-1}r_{n-2}....r_1r_0}$

الكتابة $a=\overline{qr_{n-1}r_{n-2}......r_1r_0}$ هي كتابة العدد a في النظام ذي الاساس x إذا كان x=10 نكتب : $a=qr_{n-1}r_{n-2}......r_1r_0$

- الاعداد الاولية :

تعريف : القول أن العدد الطبيعي n عدد أولي معناه أن n يقبل قاسمين بالضبط في $\mathbb{N}$ : 1 و n نفسه

- 0 غير أولي لأنه يقبل ما لا نهاية من القواسم

- 1غير أولي لأنه يقبل قاسم واحد هو 1

- 2 هو العدد الأولي الزوجي الوحيد

- 2 ,3 , 5 , 7 , 11 ,13 , 17 , 19 , 23 هي الاعداد الاولية الاصغر من 25

- خواص :

خاصية 1 : كل عدد طبيعي n أكبر تماما من 1 $(n\geq 2)$ يقبل على الاقل قاسما أوليا

خاصية 2 : كل عدد طبيعي n عير أولي أكبر تماما من 1 $(n\geq 2)$ يقبل قاسما أوليا a حيث $a\leq \sqrt n$

خاصية 3 : مجموعو الاعداد الاولية غير منتهية

طريقة : لمعرفة إذا كان طبيعي n أكبر تماما من 1 $(n\geqslant 2)$ أوليا أم لا , نحسب $\sqrt n$

- إذاكان $\sqrt n$ عددا طبيعيا أي n مربع تام فإن غير أولي

إذا كان $\sqrt n$ غير طبيعي نقسم n على الاعداد الاولية الأصغر من $\sqrt n$ على الترتيب

-إذا وجدنا أحد البةاقي معدوما نتوقف و نقر أن n غير أولي

- إذا كانت كل البواقي غير معدومة نقر أن n أولي

- تحليل عدد طبيعي الى جداء عوامل أولية :

مبرهنة : كل عدد طبيعي غير أولي n حيث $n\geq 2$ يمكن تحليله الى جداء عوامل أولية

- نقبل بدون برهان أن كل عدد طبيعي n يقبل تحليلا وحيدا الى جداء عوامل أولية

خاصية : a و b عددان طبيعيان كلاهما أكبر تماما من 1

يكون العدد b قاسما للعدد a إذا و فقط كان كل عامل أولي في تحليل b موجودا في تحليل a و بأس إما مساو و إما أصغر من أسه في تحليل a

طريقة : لإيجاد عدد قواسم طبيعي a نحلل a الى جداء عوامل أولية . الى كل أس في التحليل نضيف 1 ثم نحسب جداء الأعداد المحصل عليها

المضاعف المشترك الأصغر لعددين

تعريف : a و b عددان طبيعيان غيرمعدومين , $M_a$ مجموعة مضاعفات a , $M_b$ مجموعة مضاعفات b

$M_a\cap M_b$ هي مجموعة المضاعفات المشتركة للعددين a و b

يسمى أصغر عنصر غير معدوم من المجموعة $M_a\cap M_b$ المضاعف المشترك الأصغر للعددين a و b

و نرمز له $PPCM(a;b)$

المضاف الوحيد لـ 0 هو 0

- $PPCM(a;a)=a$

- $PPCM(1;a)=a$

- مجموعة المضاعفات المشتركة لعددين طبيعيين غير معدومين هي مجموعة المضاعفات المضاعف المشترك الأصغر لهما

- تمديد المضاعف المشترك الاصغر لعددين صحيحين

تعريف : a و b صحيحان غير معدومين

المضاعف المشترك الاصغر للعددين a و b هو أصغر عدد طبيعي m غير معدوم حيث $m=PPCM(|a|;|b|)$

- خاصية للمضاعف المشترك الأصغر لعددين طبيعيين :

خاصية : a و b عددان طبيعيان غير معدومين , k عدد صحيح غير معدوم

$PPCM(ka;kb)=|k|PPCM(a;b)$

- حساب القاسم المشرك الأكبر باستعمال التحليل الى جداء عوامل أولية :

خاصية : القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين a و b كلاهما أكبر تماما من 1 هو جداء العوامل الأولية المشتركة في تحليلي العددين a و b بحيث يؤخذ كل عامل من هذه العوامل مرة واحدة بأصغر أس

- حساب المضاعف المشترك الأأصغر باستعمال التحليلي الى جداء عوامل أولية

خاصية : المضاعف المشترك الأصغر لعددين طبيعيين a و b كلاهما أكبر تماما من 1 هو جداء العوامل الأولية المشتركة وغير المشتركة في تحليلي العددين a و b بحيث يؤخذ كل عامل من هذه العوامل مرة واحدة ة بأكبر أس

- العلاقة بين المضاعف المشترك الأصغر و القاسم المشترك الأكبر :

خاصية : جداء عددين طبيعيين a و b كلاهما أكبر تماما من 1 مساو لجداء قاسمهما المشترك الأكبر و مضاعفهما المشترك الأصغر , بعبارة أخرى $PGCD(a;b)\times PPCM(a;b)=a\times b$

- مبرهنة :

مبرهنة : يكون عددان صحيحان a و b أوليين فيما بينهما إذا بينهما إذا و فقط إذا وجد عددانصحيحان u و v حيث : au+bv=1

خواص :

خاصية 1 : إذا كان d القاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين a و b فإنه يوجد عددان صحيحان u و v حيث : au+bv=d

خاصية 2: إذا كان a عددا أوليا فإن a أولي مع كل الأعداج التي لا يقسمها

خاصية 3 : إذا كان a عددا أوليا مع عددين صحيحين b و c فإن a أولي مع جدائهما $b\times c$

مبرهنة غوص :

مبرهنة : a,b و c ثلاثة أعداد صحيحة غير معدومة

إذا كان a يقسم الجداء bc و كان a أوليا مع b , فإن a يقسم c

- خواص :

خاصية 1 : a و b عددان طبيعيان غير معدومين و p عدد أولي

إذا كان p يقسم الجداء ab فإن يقسم p أو p يقسم b

خاصية 2 : b, a و c أعداد طبيعية غير معدومة

إذا كان a مضاعفا للعددين b و c و كان b و c أوليين فيما بينهما فإن a مضاعف للجداء bc