ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الأعداد المركبة/الأعداد المركبة و الهندسة

الملخص

من الأستاذ(ة) جبايلي محمد

تمهيد

لاحقة الشعاع $\vec{OA}$ هي $Z_{a}$

لاحقة الشعاع $\vec{OB}$ هي $Z_{b}$

لاحقة الشعاع $\vec{AB}$ هي $Z_{b}-Z_{a}$

التفسير الهندسي للطويلة

1) $\mid Z_{b}-Z_{a} \mid =AB$

$\mid Z_{a} \mid =OA$

$\mid Z_{b} \mid =OB$

2) $\mid \frac{Z_{a}}{Z_{b}} \mid = \frac{OA}{OB}$

3) $\mid \frac{Z_{c}-Z_{a}}{Z_{b}-Z_{a}} \mid = \frac{AC}{AB}$

فيما يلي تفاصيل اكثر في هذا الفيديو:

العمدة وتفسيرها الهندسي

1. $arg (z_{A})=( \vec U , \vec OA )$ حيث $z_{A}\neq 0$

2. $arg (z_{B}-z_{A})=( \vec U , \vec AB )$ حيث $A \neq B$

3. $arg (\frac{z_{B}}{z_{A}})=(\vec OA , \vec OB)$ حيث $A \neq O$ و $B \neq O$

4. $arg (\frac{z_{C}-z_{A}}{z_{A}-z_{A}})=(\vec AB , \vec AC)$ حيث $A \neq B$ و $A \neq C$

وفيما يلي تفاصيبل اكثر في هذا الفيديو:

تداور النقط

1. إذا كان $\mid Z_{a} \mid = \mid Z_{b} \mid = \mid Z_{c} \mid =\mid Z_{d} \mid$ نستنتج أ، النقط A , B , C , D تنتمي إلى نفس الدائرة ذات المركز O ونصف القطر r.

2. إذا كان $\mid Z_{a}-Z_{\omega} \mid = \mid Z_{b}-Z_{\omega} \mid = \mid Z_{c}-Z_{\omega} \mid =\mid Z_{d} -Z_{\omega}\mid$ نستنتج أن النقط A , B , C , D تنتمي إلى نفس الدائرة ذات المركز * ونصف القطر r

فيما يلي تطبي مع الحل في هذه الفيديوهات:

الفيديو الاول:

الفيديو الثاني:

استقامية النقط

1) إذا كان $k \in\mathbb{R}$ ; $\mid \frac{Z_{c}-Z_{a}}{Z_{b}-Z_{a}} \mid =k$ حيث $A\neq B$

نستنتج أن النقط A , B , C على استقامية

2) إذا كان $k \in\mathbb{R}$ , $\mid \frac{Z_{b}}{Z_{a}} \mid=k$ حيث : $A\not\equiv O$

نستنتج أن النقط O , A , B على استقامية

توازي مستقيمين أو شعاعين

إذا كان $k \in \mathbb{R}^{*}$ ; $\mid \frac{Z_{d}-Z_{b}}{Z_{c}-Z_{a}} \mid =k$ حيث $B\neq D,A\neq C$

نستنتج أن $\vec{BD}\setminus \setminus \vec{AC}$ أو $(BD)\setminus \setminus(AC)$

التعليل : لأن العلاقة السابقة تكافئ $Z_{D}-Z_{B}=k(Z_{C}-Z_{A})$

وهي تعني أن $\vec{BD}\setminus \setminus \vec{AC}$

تعامد شعاعين أو مستقيمين

1) إذا كان $y \in\mathbb{R}_{*}$ ; $\mid \frac{Z_{D}-Z_{B}}{Z_{C}-Z_{A}} \mid =iy$ حيث : $B\not\equiv D , A\not\equiv C$

نستنتج أن $\vec{AC}\perp \vec{BD}$ او $(AC)\perp (BD)$

التعليل : لأن $arg(\mid \frac{Z_{d}-Z_{b}}{Z_{c}-Z_{a}} \mid )=arg(iy)$

وهذا يعني $(\vec{AC},\vec{BD})=\pm \frac{\pi}{2}+2k\pi$

2) أذا كان $y \in \mathbb{R}_{*}$ ; $\frac{Z_{B}}{Z_{A}}=iy$ حيث $A\neq O$ و $B \neq O$

نستنتج أن $\vec{OB}\perp \vec{OA}$ و $(OB)\perp (OA)$

التعليل : مثل التعليل السابق

وفيما يلي تفاصيل اكثر في هذا الفيديو:

المثلث المتساوي الساقين

إذا كان

$\frac{Z_{C}-Z_{A}}{Z_{B}-Z_{A}}=\pm i$ ; حيث $A\neq B$ و $A\neq C$

فإن المثلث ABC قائم في A ومتساوي الساقين.

التعليل : لأن :

$\mid\frac{Z_{C}-Z_{A}}{Z_{B}-Z_{A}}\mid=\mid\pm i\mid$ و $arg(\frac{Z_{C}-Z_{A}}{Z_{B}-Z_{A}})=arg(\pm i)$

أي

$(\vec{AB},\vec{AC} )=\pm \frac{\pi}{2}+2k\pi\Rightarrow AC=AB\frac{AC}{AB}=1$

( حسب التفسير الهندسي للطويلة والعمدة )

*- إذا كان

$\mid Z_{B}-Z_{A}\mid=\mid Z_{C}-Z_{A}\mid$

فإن المثلث ABC متساوي الساقين

التعليل : لان AB=AC ( التفسير الهندسي للطويلة )

المثلث القائم

إذا كان

$\frac{Z_{C}-Z_{A}}{Z_{B}-Z_{A}}=iy;y\in\mathbb{R}^{*}-[\pm 1]$ و $A\neq B$ و $A\neq C$

فإن المثلث ABC قائم في A

التعليل :

$arg(\frac{Z_{C}-Z_{A}}{Z_{B}-Z_{A}})=arg(iy)$

أي

$(\vec{AB},\vec{AC})=\pm \frac{\pi}{2}+2k\pi$

وفيما يلي تاصيل اكثر في هذا الفيديو:

المثلث المتقايس الأضلاع

*- إذا كان

$\frac{Z_{C}-Z_{A}}{Z_{B}-Z_{A}}=e^{\pm i\frac{\pi}{3}}$ حيث : $A\neq B$ و $A\neq C$

فإن المثلث ABC متقايس الأضلاع

التعليل : لأن

$\mid \frac{Z_{C}-Z_{A}}{Z_{B}-Z_{A}}=1 \mid$ و $arg(\frac{Z_{C}-Z_{A}}{Z_{B}-Z_{A}})=\pm \frac{\pi}{3}+2k\pi$

أي

$(\vec{AB},\vec{AC} )=\pm \frac{\pi}{3}+2k\pi\Rightarrow AC=AB\frac{AC}{AB}=1$

(حسب التفسير الهندسي للطويلة والعمدة )

* - إذا كان

$\mid Z_{B}-Z_{A}\mid=\mid Z_{C}-Z_{A}\mid=\mid Z_{C}-Z_{B}\mid$

فغن المثلث ABC متقايس الأضلاع

التعليل : لأن AB=AC=BC ( التفسير الهندسي للطويلة )

وفيما يلي مزيد من التفاصيل في هذا الفيديو:

الفيديو الثاني:

الفيديو الثالث:

متوازي الأضلاع

لإثبات أن الرباعي ABCD متوازي أضلاع يكفي أن نثبت أن $\vec AB= \vec DC$

أي أن $Z_{B}-Z_{A}=Z_{D}-Z_{C}$

أو نثبت ان قطريه متناصفين أي :

$\frac{Z_{A}+Z_{C}}{2}=\frac{Z_{B}+Z_{D}}{2}$

المعين

لاثبات ان الرباعي ABCD معين يكفي ان نثبت انه متوازي اضلاع به ضلعان متعاقبان متقايسان اي أن : $\vec AB= \vec DC$ و AB=AD

بمعنى $Z_{B}-Z_{A}=Z_{C}-Z_{D}$ و $\mid Z_{B}-Z_{A}\mid=\mid Z_{D}-Z_{A}\mid$

او نثبت ان قطريه متناصفان ومتعامدان اي :

$\frac{Z_{A}+Z_{C}}{2}=\frac{Z_{B}+Z_{D}}{2}$ و $\vec AC\perp \vec BD$

وهذا التعامد يمكن اثباته باستعمال الجداء السلمي او الاعداد المركبة

المستطيل

لاثبات ان الرباعي ABCD مستطيل يكفي ان نثبت انه متوازي اضلاع به زاوية قائمة أي :

$Z_{B}-Z_{A}=Z_{C}-Z_{D}$ و $\vec AB\perp \vec AD$

التعامد نثبته باستخدام الجداء السلمي او الاعداد المركبة

يمكن ايضا لاثبات ان الرباعي ABCD مستطيل ان نبين ان قطريه متناصفان ومتقايسان أي :

$\mid Z_{C}-Z_{A}\mid=\mid Z_{D}-Z_{B}\mid$ و $\frac{Z_{A}+Z_{C}}{2}=\frac{Z_{B}+Z_{D}}{2}$

وفيما يلي تفاصيل اكثر في هذا الفيديو:

المربع

لاثبات ان الرباعي ABCD مربع يكفي ان نثبت انه معين به زاوية قائمة بمعنة اخر نبين ان :

$Z_{B}-Z_{A}=Z_{C}-Z_{D}$ و $\mid Z_{C}-Z_{A}\mid=\mid Z_{D}-Z_{َB} \mid$ و $\vec AB\perp \vec AD$

او نثبت ان قطريه متناصفان ومتقايسان ومتعامدان اي

$\frac{Z_{A}+Z_{C}}{2}=\frac{Z_{B}+Z_{D}}{2}$ و $\mid Z_{C}-Z_{A}\mid=\mid Z_{D}-Z_{َB} \mid$ و $\vec AB\perp \vec AD$

او نثبت ان كل اضلاعه متقايسة وبه زاوية قائمة .. الخ

وفيما يلي تفاصيل اكثر في هذا الفيديو:

المرجح ومجموعات النقط

المستوي منسوب إلى معلم متعامد ومتجانس

ترمز $Z_{A} , Z_{B} , Z_{C} , Z_{H} , Z_{G}$ إلى لواحق النقط A , B , C , H , G على الترتيب .

لاحقة مرجح ثلاث نقط :

إذا كان $\alpha , \beta , \gamma$ أعدادا حقيقية حيث $\alpha + \beta +\gamma \neq 0$ وكانت النقطة H مرجح الجملة $\begin{Bmatrix} (A,\alpha); (B,\beta),(C,\gamma) \end{Bmatrix}$ فغن لاحقة المرجح H تحسب كما يلي :

لاحقة مركز ثقل ثلاث نقط :

إذا كانت Gمركز ثقل النقط C ،B ، Aفإنّ لاحقة مركز الثقل ،G تحسب كما يلي : $Z_{G}=\frac{Z_{A}+Z_{B}+Z_{C}}{3}$

وفيما يلي تفاصيل اكثر في هذه الفيديوهات:

الفيديو الاول:

الفيديو الثاني:

الفيديو الثالث:

كيفيّة تحويل العبارة الشعاعيّة أو العدديّة

غالبا،ً قبل تعيين مجموعة النّقط،، نقوم، أوّلا، بتحويل العبارة الشعاعيّة (أو العدديّة)، كما نوضّحه فيما يلي :

* اذا كان $\alpha + \beta +\gamma \neq 0$ فإن العبارة الشعاعية تحول كالاتي :

$\alpha \vec MA +\beta \vec MB +\gamma \vec MC = (\alpha + \beta + \gamma )MH$

حيث H مرجح الجملة $\begin{Bmatrix} (A,\alpha); (B,\beta),(C,\gamma) \end{Bmatrix}$

*إذا كان $\alpha + \beta +\gamma = 0$ فإن : $\alpha \vec MA +\beta \vec MB +\gamma \vec MC$ تُحوَل باستخدام علاقة"شال"، و ذلك بإدخال إحدى النقط المعلومة، حيث نحصل على شعاع ثابت (مستقلّ عن M

*إذا كان $\alpha + \beta +\gamma \neq 0$ فإنّ العبارة العدديّة تُحوّل كالآتي

$\alpha MA^{2}+\beta MB^{2}+\gamma MC^{2}=(\alpha+\beta+\gamma)MH^{ 2}+\alpha HA^{2}+\beta HB^{2}+\gamma HC^{2}$

حيث H مرجح الجملة المثقلة : $\begin{Bmatrix} (A,\alpha); (B,\beta),(C,\gamma) \end{Bmatrix}$

*إذا كان $\alpha + \beta +\gamma = 0$ فإن : $\alpha MA^{2}+\beta MB^{2}+\gamma MC^{2}$

تحوَل باستخدام علاقة" شال"، و ذلك بإدخال إحدى النقط المعلومة، لكن من الأفضل التعامل مع العبارة دون تحويل مستخدمين الصّيَغ التحليليّة.

ملاحظة:اقتصرنا على المرجح، و مجموعات النقط المتعلّقة بثلاث نقط،، لأنّها هي التي تُطرح،غالبا ،و واضح أنّ الحالات الأخرى تُعالَج بنفس الكيفيّة

كيفية تعيين مجموعات النقط

بعد تحويل العبارة الشّعاعيّة أو العدديّة، تُعيَن مجموعة النقط،غالبا،ً باستخدام إحدى النّتائج التّالية:
نتيجة H :1 نقطة من المستوي، وَ k عدد حقيقي موجب تماما
مجموعة النقط M من المستوي التي تحقق ،HM=k هي : الدّائرة ذات المركز H وَ نصف القطر . k

نتيجة A :2 وَ B نقطتان متمايزتان من المستوي. lجموعة النقط Mمن المستوي التي تحقق MA= MB هي:
محور القطعة.[AB]

نتيجة A :3 وَ Bنقطتان متمايزتان من المستوي.
مجموعة النقط M من المستوي التي تحقق $\vec MA.\vec MB = 0$ هي: الدائرة ذات القطر AB

نتيجة H :4 نقطة من المستوي، وَ $\vec U$ شعاع ثابت غير معدوم مجموعة النقط M من المستوي التي تحقق $\vec MH.\vec U$ هي:
المستقيم الذي يشمل النقطة ،H وَ يعامد الشعاع $\vec U$

وفيما يي تفاصيل اكثر في هذه الفيديوهات:

الفيديو الاول:

الفغيديو الثاني:

الفيديو الثالث:

الفيديو الرابع: