ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الحساب التكاملي/الحساب لتكاملي:حساب المساحات

الدرس

من الأستاذ(ة) وزارة التربية الوطنية

حساب حجوم بعض المجسمات البسيطة

الفضاء منسوب الى معلم متعامد $(O;I;J;K)$ محاوره $(zz'),(yy'),(xx')$

وحدة الحجوم $(uv)$ هي حجم متوازي االمستطيلات المنشأ على $(O;I;J;K)$

نعتبر في الفضاء مجسما محددا بمستويين موازيين للمستوي $(xOy)$ معادلتاهما : $z=a$ و $z=b$ $(a<b)$

خاصية :

لتكن $S(z)$ مساحة مقطع المجسم بمستو مواز للمستوي $(xOy)$ رااقمة $z$ حيث $a<z<b$ .

نقبل أن حجم المجسم بوحدة الحجوم هو العدد الحقيقي $V$ حيث : $V=\int _a^bS(z)dz$

أمثلة :

لدينا في الشكل المقابل كل من :

- حجم الكرة .

- حجم المخروط الدوراني .

- حجم الأسطوانة الدورانية .

حالة خاصة : حجم مجسم دوراني محوره $(xx')$

ليكن $(C)$ المنحني االممثل للدالة $f$ موجبة على مجال $[a;b]$ دوران المنحني $(C)$ حول المحور $(x'x)$ يولد مساحة دورانية محورها $(x'x)$ التي بدورها تحدد مجسما دورانيا محوره $(x'x)$ لتكن $M(x;f(x))$ نقطة من المنحني $(C)$ .

مقطع المجسم الناتج عندوران المنحني $(C)$ حول المحور $(x'x)$ بمستو مار من $M$ و عمودي على $(xx')$ هو قرص مساحته $\pi\times HM^2$ أي $\pi\times [f(x)]^2$

خاصية 2 :

حجم مجسم بالدوران حول المحور $(x'x)$ لمنحن $(C)$ ممثل لدالة $f$ مستمرة و موجبة على مجال $[a;b]$ هو العدد الحقيقي $V$ حيث : $V=\int _a^b\pi[f(x)]^2dx$

المسافة المقطوعة على مستقيم

نرمز بـ $x(t)$ الى المسافة المقطوعة من قبل نقطة متحركة عند اللحظة $t$ . تعرف السرعة اللحظية $v(t)$ لهذه النقطة المتحركة عند اللحظة $t$ بالعلاقة $v(t)=\frac{dx}{dt}=x'(t)$ أي $dx=v(t)dt$

خاصية :

المسافة المقطوعة من قبل نقطة متحركة بين اللحظتين $t_1$ و $t_2$ $(t_1<t_2)$ سرعتها اللحظية $v(t)$ هي : $x=\int _{t_1}^{t_2}v(t)dt$