ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الدوال العددية/الدوال التناظرية

الدرس

نهايات الدوال التناظرية

نعتبر الدالة $f$ على $\left ] -\infty ;-\frac{d}{c} \right [\cup \left ] -\frac{d}{c};+\infty \right [$ بـ : $f(x)=\frac{ax+b}{cx +d}$ مع $c\neq 0$ و $ad-bc\neq 0$

و ليكن $(C_f)$ تمثيلها البياني في معلم .

ملاحظة : تسمى الدالة $f$ دالة تناظرية .

1- المستقيم المقارب الموازي لمحور الفواصل :

نتيجة 1 :

$\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\frac{a}{c}~~~~~~, \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\frac{a}{c}$

تعريف : القول عن مستقيم ذو المعادلة $y=y_0$ و الموازي لمحور الفواصل أنه مستقيم مقارب للمنحني $(C_f)$ عند $+\infty$ ( عند $-\infty$ ) يعني أن

$(\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=y_0)\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=y_0$

نتيجة 2 : المنحني $(C_f )$ يقبل لما يؤول $x$ الى $+\infty$ و لما يؤول $x$ الى $-\infty$ مستقيما مقاربا موازيا لمحور الفواصل معادلته $y=\frac{a}{c}$ .

مثال : نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $]-\infty;-2[\cup ]-2;+\infty[$ بـ $f(x)=\frac{3x+1}{2x+4}$

لدينا $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\frac{3}{2}$ و $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\frac{3}{2}$

نستنتج أن المستقيم ذو المعادلة $y=\frac{3}{2}$ مستقيم مقارب للمنحني الممثل للدالة $f$ عند $-\infty$ و $+\infty$

2- المستقيم المقارب الموازي لمحور التراتيب :

نتيجة 1 :

$\lim_{x\overset{<}{\rightarrow}a}\frac{1}{x-a}=-\infty ;\lim_{x\overset{>}{\rightarrow}a}\frac{1}{x-a}=+\infty; \lim_{x\overset{<}{\rightarrow}0}\frac{1}{x}=-\infty ;\lim_{x\overset{>}{\rightarrow}0}\frac{1}{x}=+\infty$

تعريف : القول عن ذو المعادلة $x=x_0$ و الموازي لمحور التراتيب أنه مستقيم مقارب للمنحني $(C_f )$ يعني أن

$\lim_{x\overset{>}{\rightarrow}x_0}f(x)=+\infty$ أو $\lim_{x\overset{>}{\rightarrow}x_0}f(x)=-\infty$

أو $\lim_{x\overset{<}{\rightarrow}x_0}f(x)=+\infty$ أو $\lim_{x\overset{<}{\rightarrow}x_0}f(x)=-\infty$

نتيجة 2 : المنحنى $(C_f )$ الممثل للدالة $f$ يقبل مستقيما مقاربا موازيا لمحور التراتيب معادلته $x=-\frac{d}{c}$

مثال : نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $]-\infty;-3[\cup ]-3;+\infty[$ بـ $f(x)=\frac{1}{x+3}$

لدينا : $\lim_{x\overset{<}{\rightarrow}-3}\frac{1}{x+3}=-\infty; ~~~~\lim_{x\overset{>}{\rightarrow}-3}\frac{1}{x+3}=+\infty$

نستنتج أنالمستقيم ذو المعادلة $x=-3$ مستقيم مقارب للمنحني الممثل للدالة $f$ .

دراسة دالة تناظرية

1- دراسة مثال :

نعتبير الدالة $f$ المعرفة على $]-\infty;-2[\cup ]-2;+\infty[$ بـ : $f(x)=\frac{2x+1}{x+2}$

و ليكن $(C_f )$ تمثيلها البياني في معلم $(O;\vec i;\vec j)$ .

- النهايات :

* $\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\frac{2}{1}=2$ و $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\frac{2}{1}=2$

* يمكن أن نكتب $f(x)$ على الشكل : $f(x)=(2x+1)\left ( \frac{1} {x+2}\right )$ . لندرس إشارة $x+2$ :

$x$	$-\infty$ $-2$ $+\infty$
$x+2$ إشارة	$-$ $0$ $+$

لدينا : $\lim_{x\rightarrow -2}(2x+1)=-3$ و $\lim_{x\overset{<}{\rightarrow}-2}\left ( \frac{1}{x+2} \right )=-\infty$ و منه $\lim_{x\overset{<}{\rightarrow}-2}f(x)=+\infty$

لدينا $\lim_{x\rightarrow -2}(2x+1)=-3$ و $\lim_{x\overset{>}{\rightarrow}-2}\left ( \frac{1}{x+2} \right )=+\infty$ و منه $\lim_{x\overset{<}{\rightarrow}-2}f(x)=-\infty$

- المستقيمات المقاربة : يقبل المنحني $(C_f)$ مستقيما مقاربا موازيا لمحور الفواصل معادلته $y=2$ و مستقيما مقاربا موازيا لمحور الفواصل معادلته $x=-2$ .

- المشتقة : من أجل كل $x$ من $]-\infty;-2[\cup ]-2;+\infty[$ , $f'(x)=\frac{2(x+2)-1(2x+1)}{(x+2)^2}=\frac{3}{(x+2)^2}$

- إشارة المشتقة : من أجل كل $x$ من $f'(x)>0~~, ]-\infty;-2[\cup ]-2;+\infty[$

نستنتج أن الدالة $f$ متزايدة تماما على كل من المجالين $]-\infty;-2[$ و $]-2;+\infty[$

- جدول التغيرات :

$x$	$-\infty$ $-2$ $+\infty$
$f'(x)$	$+$ $\|\|$ $+$
$f(x)$	$2$ $\nearrow$ $+\infty$ $\|\|$ $-\infty$ $\nearrow$ $2$

- التمثيل البياني : لاحظ الشكل المرفق

2- الملاحظات :

يسمى التمثيل البياني للدالة $f$ المعرفة على $\left ] -\infty;-\frac{d}{c} \right ]\cup \left [ -\frac{d}{c} ;+\infty \right [$ بـ : $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ مع $c\neq 0$

و $ad-bc \neq 0$ قطعا زائدا معادلتا مستقيميه المقاربين $y=\frac{a}{c}$ و $x=-\frac{d}{c}$