ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الإحصاء و الإحتمالات /الإحتمالات المتساوية على مجموعة منتهية

الإحتمالات

عندما يكون لديك مجموعتين مع   هي المجموعة الكلية  و  هي المجموعة الجزئية و تمثل الأعداد الزوجية و   هي مجموعة جزئية من   

أحسب الإحتمالات التالية :     و    و    و    و    

عدد عناصر عدد عناصر 

 

عدد عناصر عدد عناصر 

 

   يمثل الإحتمال العكسي لـ     

بطريقة أخرى يعني مجموعة    هي عكس الأعداد الزوجية و هي الأفراد الفردية   

عدد عناصر عدد عناصر

الآن نقوم بحساب المجموعتين     و   :

عدد عناصر عدد عناصر  

عدد عناصر عدد عناصر 

بطريقة أخرى لحساب  :  

 

قانون برنولي

تعريف : 

نسمي تجربة برنولي كل تجربة عشوائية ذات مخرجين متعاكسين    و   باحتمالين    و    على الترتيب قانون برنولي هو المتغير العشوائي حيث : 

*     إذا تحقق المخرج 

*     إذا تحقق المخرج 

قانةن احتمال    هو    

نسمي    وسيط   

خاصية : 

إذا كان المتغير العشوائي     يتبع قانون برنولي بوسيط    فإن الأمل الرياضياتي    و التباين    يعطيان بالعلاقتين التاليتين :     و   

برهان : 

1- مخطط برنولي و قانون ثنائي الحد : 

بتكرار تجربة برنولي    مرة (التجارب مستقلة ) نعرف مخطط برنولي 

تعريف : 

نقول أن متغير عشوائي    يتبع قانون ثننائي الحد بالوسطين    و     إذا كان     يأخذ كقيمة عدد مرات تحقق المخرج     عند تكرار تجربة برنولي    مرة . و تكتب أحيانا   

مبرهنة : 

ليكن     عددا طبيعيا غير معدوم و    عددا حقيقيا من المجال     , 

    متغير يتبع قانةن ثنائي الحد     من أجل كل عدد طبيعي      لدينا : 

برهان : من أجل فرع معين يحوي    مرة المخرج    أي    

مرة المخرج     يكون الاحتمال     (التجارب مستقلة ) 

عدد الفروع من هذا النوع   (أي التي تحتوي    مرة 

هو     ( اختيار     موضع لـ     من بين     موضعا ) 

و منه   

قوانين الاحتمالات المستمرة

الملخص قوانين الاحتمالات المستمرة

1 - الكثافة : 

تعريف 1: 

   دالة معرفة على المجال      , 

نقول أن    كثافة احتمال على    إذا تحقق مايلي : 

(1)  مستمرة على                       (2)  موجبة على                       (3)   

تعريف 2 : 

نقول أن     متغير عشوائي معرف على المجال     قانون احتماله     يقبل    كثافة تحقق مايلي 

من أجل كل عددين   و   من      لدينا    

خواص : 

من أجل كل    و   ينتميان الى المجال    

*

*

 

2- قانون التوزيعات المنتضمة : 

تعريف : 

   دالة نقول أن المتغير العشوائي    يتبع قانون التوزيع المنتظم على المجال  ,    إذا كانت دالة كثافة الاحتمال ثابتة على المجال    

ينتج من التعريف  :

      و منه      و بالتالي : 

أي أن من أجل كل     يتمي الى    يكون   

* من أجل كل     ينتمي الى   لدينا      :   

لأن      أي أن    و بالتالي 

*  الأمل الرياضياتي للمتغير    هو     

من التعريف , الأمل الرياضياتي لمتغير مستمر كثافته    هو     أي   

و بحساب بسيط نجد   

 

قياس تلاؤم سلسلة مشاهدة ونموذج احتمالي

الملخص قياس تلاؤم سلسلة مشاهدة ونموذج احتمالي

طرح الإشكال : نريد معرفة ما إذا كان حجر نرد ذي   أوجه متزنا . من أجل هذا نرمي هذا الحجر     مرة و نحسب تواترات ظهور الأرقام من     الى    . نرمز لهذه التواترات بالرموز       و إذا اقتربت هذه التوترات من   فإن الحجر متزن . 

نذكر أنه فيالسنة الثانية , أثبتنا بالمحاكاة تقارب التواترات و الاحتمالات و عليه سنحسب المسافة    حيث      كلما كانت    أصغر كان الحجر متزنا . 

لنقم بالمحاكاة  : 

1- في المجدول إكسال , أدخل في الخلايا من    الى     العبارة  

2- في الخلية    أكتب     ثم عمم باستعمال الزالق على الحيز   

3- في الخلية    أدخل     ثم بالزالقعمم على الحيز 

 

  الوجه    ع الظهور         التواتر 
                  
                   
                     
             
                 
                            

4- في الخلية    أكتب     إذا لم تستعمل     فما عليك سوى بالنقر على    في آن واحد 

- نحسب    : 

هل قيمة    المحصل عليها تجعلنا نجزم يالحكم على حجر النرد (هل هو متزن أم لا ؟ ) .و عليه ينبغي معرفة القيم الممكن للعدد    . عندئذ نأخذ حجر متزن و نكرر التجربة (رمي الحجر     مرة   )  عندة مرات . 

كررنا التجربة     مرة فحصلنا على قيم     ملخصة في مخطط بالعلبة (لاحظ الوثيقة المرفقة ) 

إذا كان     أكبر من العشري التاسع من السلسلة المرجعية الملخصة أعلاه , نقول أن الفرضية "الحجر متزن " مرفوضة بمجازفة بالخطأ مقدارها     لأن  (    من قيم     هي أكبر من العشري التاسع ) . في الحال العكسية نقول أن الفرضية "الحجر متزن " غير مرفوضة . 

في المثال السابق لدينا :      و عليه فالفرضية "الحجر متزن " غير مرفوضة .

ملاحظة : 

يمكن اختيار مجازفة بالخطأ مقدارها     و هنا نغير العتبة فنقارن      بالعشريني التاسع عشر 

القانون الأسي

الملخص القانون الأسي

تعريف : 

نقول أن المتغير العشوائي   يتبع الأساسي ذي الوسيط    إذا كانت دالة كثافة احتماله هي الدالة     المعرفة من أجل كل    من المجال      بالعبارة    

نتائج :

1)ليكن    عددا من المجال     لدينا 

البرهان : 

2) الأمل الرياضاتي للمتغير      هو    

البرهان : 

باستعمال المكاملة بالتجزئة : 

نضع           و بالتالي    

مثال : ليكن     متغير عشوائي يتبع قانةنا أسيا بوسيط   . عين     إذا علمت أن     

حل :

لدينا : 

و بالتالي   

نحل المعادلة        نجد