ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/المتتاليات/المتتاليات

الملخص

من الأستاذ(ة) بوقطوف عبد الحميد

تعريف متتالية

تعريف : متتالية $u$ هي دالة ترفق بكل عدد طبيعي $n$ , أكبر من أو يساوي عدد طبيعي $n_0$ معطى , العدد $u(n)$ .

ترميز :

* نرمز الى صورة العدد الطبيعي $u$ بالمتتالية $u$ بـ $u_n$ بدلا من $u(n)$

*نرمز الى المتتالية $u$ بـ $(u_n)_{n\geq n_0}$ إذا كانت معرفة من أجل كل عدد طبيعي $n$ أكبر أو يساوي $n_0$

*نرمز الى المتتالية $u$ بـ $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ أو $(u_n)$ إذا كانت معرفة على $\mathbb{N}$

*يسمى $u_n$ الحد العام للمتتالية $u$ و يسمى $u_n_0$ حدها الأول

* إذا كانت المتتالية $u$ معرفة على $\mathbb{N}$ نرمز الى حدها الأول بالرمز $u_0$

ملاحظة : لابد من التمييز بين متتالية $(u_n)$ و بين حدها $u_0$ الذي هو عدد حقيقي.

طرق توليد متتالية

توليد متتالية بالحد العام :

تعريف : يمكن تعريف متتالية $(u_n)_{n\geq n_0}$ بوضع من أجل كل عدد طبيعي $n$ مع $n\geq n_0$ , $u_n=f(n)$ حيث $f$ دالة معرف على $[n_0,+\infty[$

مثال :

نعتبر المتتالية $(u_n)$ المعرفة من أجل كل عدد طبيعي $n$ بـ $u_n=2n+1$

لدينا $u_n=f(n)$ حيث $f$ هي الدالة المعرفة على $[0;+\infty[$ بـ $f(x)=2x+1$

العلاقة $u_n=2n+1$ تسمح من حساب قيمة كل الحدود و من أجل ذلك يكفي تعويض $n$ على التوالي بـ $......,2,1,0$

لدينا $u_2=2\times 2+1=15~~~,u_1=2\times 1+1=3 ~~~,u_0=2\times 0+1=1$ و هكذا ......

توليد متتالية بعلاقة تراجعية :

تعريف : يمكن تعريف متتالية بالتراجع و ذلك بإعطاء :

1) قيمة الحد العام

2) علاقة تراجعية تربط بين حدين متتابعين منالمتتالية .

مثال :

نعتبر المتتالية $(u_n)$ المعرفة بـ $u_0=2$ و من أجل كل عدد طبيعي $u_{n+1}=u_n-2,n$

تسمح العلاقة $u_{n+1}=3u_n-2$ بحساب قيمة الحد $u_{n+1}$ إذا علمت قيمة الحد الذي يسبقه $u_n$ .

معرفة قيم $u_0$ تسمح حساب قيمة $u_1$ و هكذا فإن $u_1=3\times u_0-2=3\times 2-2=4$

معرفة قيمة $u_1$ تسمح من حساب قيمة $u_2$ و هكذا فإن $u_2=3\times u_1=3\times 4-2=10$ و هكذا .....

المتتاليات من الشكل

من الشكل : $u_{n+1}=au_n=a_u+b$ ( $a\neq 0$ و $b\neq 0$ )

$(u_n )$ متتالية معرفة على $\mathbb{N}^*$ بحدها الأول $u_1$ و بالعلاقة $u_{n+1}=au_n+b$ حيث $a\neq 0$ و $b\neq 0$

1- الحالة الأولى $a=1$ :

مثال : نعتبر المتتالية $(u_n)$ المعرفة على $\mathbb{N}^*$ بحدها الأول $u_1=2$ و من أجل كل $n$ من $u_{n+1}=u_n-3;\mathbb{N}^*$

- من الواضح أن المتتالية $(u_n)$ حسابية أساسها $r=-3$ و حدها الأول $n=1$ $u_1=2$

- من أجل كل $n$ من $u_n=u_1+(n-1)r, \mathbb{N}^*$ و منه $_n=5-3n$

- من اجل كل $n$ من $S_n=u_1+u_2+.....+u_n=\frac{n}{2}(u_1+u_n)$ و منه $S_n=\frac{n(7-3n)}{2}$

- من أجل كل $n$ من $u_{n+1}-u_n=-3;\mathbb{N}^*$ و منه المتتالية $(u_n)$ متناقصة .

2- الحالة الثانية $a\neq 1$ و $u_0=\frac{b}{1-a}$ :

مثال : نعتبر المتتالية $(u_n)$ المعرفة على $\mathbb{N}^*$ بحدها الأول $u_1=-3$ و من أجل كل $n$ من $u_{n+1}=2u_n+3;\mathbb{N}^*$

- حساب الحدودالأولى يعطينا : $u_2=-3$ و $u_3=-3$ نخمن أن المتتالية $(u_n)$ ثابتة .

- لنبين بالتراجع أنه من أجل كل $n$ من $u_n=-3;\mathbb{N}^*$

* الخاصية صحيح من أجل $n=1$ لأن $u_1=-3$

* نفرض أن الخاصية صحيحة من أجل عدد طبيعي $n$ حيث $u_n\geq 1$ أي أن $u_n=-3$ و نبرهن صحتها من أجل $n+1$

لدينا $u_{n+1}=2u_n+3=2(-3)+3$ و منه $u_{n+1}=-3$ إذن الخاصية صحيحة من أجل $n+1$

نستنتج حسب مبدأ البرهان بالتراجع , أن الخاصية صحيحة من أجل كل $n$ من $\mathbb{N}^*$ إذن المتتالية $(u_n)$ ثابتة .

- من أجل كل عدد طبيعي غير معدوم $n$ , $S_n=u_1=u_2+.....+u_n =nu_1$ و منه $S_n=-3n$

3- الحالة الثالث $a\neq 1$ و $u_0\neq \frac{b}{1-a}$ :

لحساب الحد العام $u_n$ و المجموع $S_n=u_1+u_2+....+u_n$ نستعين بالمتتاليات ذات الحد العام $v_n=u_n-\frac{b}{1-a}$

مثال :

نعتبر المتتالية $(u_n)$ المعرفة على $\mathbb{N}^*$ بحدها الأول $u_1=1$ و من أجل كل $n$ من $u_{n+1}=2u_n+3,\mathbb{N}^*$ لتكن المتتالية $(v_n)$ المعرفة على $\mathbb{N}^*$ بحدها العام $v_n=u_n+3$

- من أجل كل $n$ من $\mathbb{N}^*$ , $v_{n+1}=u_{n+1}+3=2u_n +3+3=2u_n +6=2(u_n +3)=2v_n$

لدينا من أجل كل $n$ من $\mathbb{N}^*$ , $v_{n+1}=2v_n$ . نستنتج أن المتتالية $(v_n)$ هندسية أساسها $q=2$ و حدها الأول $v_1=4$

- من أجل كل $n$ من $\mathbb{N}^*$ , $v_n=v_1\times q^{n-1}=4\times 2^{n-1}$ و $u_n=v_n -3=4\times ^{2-1}-3$

- من أجل كل $n$ من $S'_n=v_1+v_2+.....+v_n=v-1=v_1\times \frac{1-q^{n}}{1-q}=-4(1-2^n)$ لدينا $u_n=v_n-3$

و منه

$S_n=(v_1-3)+(v_2-3)+.....+(v_n-3)=(v_1+v_2+.....+v_n)-(3+3+...+3)=S'_n-3n$

نستنتج هكذا أن $S_n=-4(1-2^n)-3n$

- من أجل كل $n$ من $\mathbb{N}^*$ , $u_{n+1}-u_n=v_{n+1}-v_n$ و منه للمتتاليتين $(u_n)$ و $(v_n)$ نفس اتجاه التغير

المتتاليات العدديه

المتتاليه المحدوده من الأعلى المتتاليه المحدوده من الأسفل

$u_{n}$ متتاليه عدديه معرفه من أجل كل عدد طبيعي $n$ من المجال $I$

نقول أن المتتاليه $(u_{n})$ محدوده من الأعلى بالعدد $M$ إذا كان

$u_{n}\leq M$

نقول أن المتتاليه $(u_{n})$ محدوده من الأسفل بالعدد $m$ إذا كان

$u_{n}\geq m$

نقول أن المتتاليه $(u_{n})$ محدوده إذا كانت محدوده من الأعلى ومحدوده من الأسفل

رتابه متتاليه عدديه

$(u_{n})$ متتاليه عدديه معرفه من أجل كل عدد طبيعي $n$ من المجال $I$

نقول أن المتتاليه $(u_{n})$ متناقصه على المجال $I$ إذا كان

$u_{n+1}\leq u_{n}$

نقول ان المتتاليه $(u_{n})$ متزايده على المجال $I$ إذا كان

$u_{n+1}\geq u_{n}$

نقول أن المتتاليه $(u_{n})$ ثابته على المجال $I$ إذا كان

$u_{n+1}=u_{n}$

ملاحظه

$(u_{n})$ متتاليه عدديه معرفه من أجل كل عدد طبيعي $n$ من المجال $I$ وحدها الأول $u_{p}$

إذا كانت $(u_{n})$ متناقصه من أجل كل عدد طبيعي $n$ من المجال $I$ فإن

$u_{n}\leq u_{p}$

إذا كانت $(u_{n})$ متزايده من أجل كل عدد طبيعي $n$ من المجال $I$ فإن

$u_{n}\geq u_{p}$

نهايه متتاليه

أ- نهايه المتتاليه $(n^{\alpha })$ حيث $\alpha \in \mathbb{Q}*$

$\alpha < 0$	$\alpha > 0$
$\lim_{n \rightarrow -\infty }n^{\alpha }=0$	$\lim_{n \rightarrow +\infty }n^{\alpha }=+\infty$

ب- نهايه المتتاليه $(q^{n})$ حيث $n\in \mathbb{R}$

$q\leq -1$	$-1> q> 1$	$q=1$	$q> 1$
ليس لها نهايه	$\lim_{n \rightarrow +\infty }q^{n}=0$	$\lim_{n \rightarrow +\infty }q^{n}=1$	$\lim_{n \rightarrow +\infty }q^{n}=+\infty$

تقارب متتاليه

كل متتاليه متزايده ومحدوده من الأعلى هي متتاليه متقاربه

كل متتاليه متناقصه ومحدوده من الأسفل هي متتاليه متقاربه

خواص

الخاصيه 1

إذا كان $v_{n}\leq u_{n}\leq w_{n}$ و $\lim_{n \rightarrow +\infty }v_{n}=l$ و $\lim_{n \rightarrow +\infty }w_{n}=l$ فإن $\lim_{n \rightarrow +\infty }u_{n}=l$