ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الدوال العددية/الدوال كثيرات الحدود من الدرجة الثالثة

الدرس

من الأستاذ(ة) وزارة التربية الوطنية

الدوال الكثيرات الحدود من الدرجة الأولى

1- دراسة مثال :

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ : $f(x)=3x-2$

و ليكن $(C_f )$ تمثيلها البياني في معلم $(O;\vec i;\vec j)$ .

* النهاييت : لدينا $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty$ و $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$ :

*المشتقة : الدالة $f$ قابلة للاشتقاق على $\mathbb{R}$ و لدينا من أجل كل $x$ من $\mathbb{R}$ , $f'(x)=3$

* إشارة المشتقة : من أجل كل $x$ من $\mathbb{R}$ , $f'(x)>0$ و منه الدالة $f$ متزايدة تماما على $\mathbb{R}$ .

*جدول التغيرات :

$x$	$-\infty$ $+\infty$
$f'(x)$	$+$
$f(x)$	$-\infty$ $\nearrow$ $+\infty$

* التمثيل البياني :

التقاطع مع المحورين :

* $f(x)=0$ يعني $3x-2=0$ أي $x=\frac{2}{3}$ و منه يتقاطع $(C_f )$ مع محور الفواصل $(xx')$ في النقطة التي فاصلتها $\frac{2}{3}$ .

* $f(0)=-2$ و منه يتقاطع $(C_f)$ مع محور التراتيب في النقطة التي ترتيبها $(yy')$ في النقطة التي ترتيبها $-2$ .

2- النتائج :

*التمثيل البياني للدالة $f:x \mapsto ax+b$ هو المستقيم الذي معادلته $y=ax+b$ , لتمثيله يكقي رسم نقطتين منه .

* نلاحظ أن : $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty}(3x)$ و $\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}(3x)$

نقبل بصفة عامة أن :

$\lim_{x\rightarrow -\infty}(ax+b )=\lim_{x\rightarrow -\infty}(ax )$ و $\lim_{x\rightarrow +\infty}(ax+b)=\lim_{x\rightarrow +\infty}(ax )$

* نستنتج هكذا أنه :

- إذا كان $a>0$ فإن $\lim_{x\rightarrow -\infty}(ax+b)=-\infty$ و $\lim_{x\rightarrow +\infty}(ax+b)=+\infty$

- إذا كان $a<0$ فإن $\lim_{x\rightarrow -\infty}(ax+b)=+\infty$ و $\lim_{x\rightarrow +\infty}(ax+b)=-\infty$

مثال : $\lim_{x\rightarrow -\infty}(3x+1)=\lim_{x\rightarrow -\infty}(3x)=-\infty$ و $\lim_{x\rightarrow +\infty}(3x+1)=\lim_{x\rightarrow +\infty}(3x)=+\infty$

الدوال كثيرات الحدود من الدرجة الثانية

1- دراسة مثال :

نعتبرالدالة $f$ المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ : $f(x)=2x^2-4x-6$ و ليكن $(C_f)$ تمثيلها البياني في معلم $(O;\vec i;\vec j)$

- النهايات : لدينا $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=+\infty$ و $\lim_{x\rightarrow +\infty}=+\infty$

- المشتقة : الدالة $f$ قابلة للإشتقاق على $\mathbb{R}$ لدينا من أجل كل $x$ من $\mathbb{R}$ , $f'(x)=4x-4=4(x-1)$

- إشارة المشتقة : من أجل كل $x$ من $\mathbb{R}$ إشارة $f'(x)$ هي من نفس إشارة $(x-1)$

$x-1\leq 0$ يعني $x\leq 1$ و منه الدالة $f$ متناقصة تماما على المجال $]-\infty;1]$ .

$x-1$ يعني $x\geq 1$ و منه الدالة $f$ متزايدة تماما على المجال $[1;+\infty[$ .

جدول التغيرات : لدينا : $f(1)=-8$

$x$	$-\infty$ $1$ $+\infty$
$f'(x)$	$-$ $0$ $+$
$f(x)$	$+\infty$ $\searrow$ $-8$ $\nearrow$ $+\infty$

التمثيل البياني : عندالرسم يمكن الإستعانة بنقط مساعدة .

* $2x^2-4x-6=0$ يعني $x=-1$ أو $x=3$ و منه يتقاطع $(C_f)$ مع محور الفواصل $(xx')$ في النقطتين اللتين فاصلتهما هما $(-1)$ و $3$

* $f(0)=-6$ يتقاطع $(C_f )$ مع $(yy')$ في النقطة التي ترتيبها $(-6)$

2- النتائج :

- يسمى التمثيل البياني للدالة $(a\neq 0)x \mapsto ax^2 +bx +c$ قطعا مكافئا .

- نلاحظ أن $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty}(2x^2)$ و $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}(2x^2)$

نقبل بصفة عامة أن :

$\lim_{x\rightarrow -\infty}(ax^2+bx +c)=\lim_{x\rightarrow -\infty}(ax^2)$ و $\lim_{x\rightarrow +\infty}(ax^2+bx +c)=\lim_{x\rightarrow +\infty}(ax^2)$

- نستنتج هكذا أنه :

* إذا كان $a>0$ فإن $\lim_{x\rightarrow -\infty}(ax^2+bx+c)=+\infty$ و $\lim_{x\rightarrow +\infty}(ax^2+bx +c)=+\infty$

* إذا كان $a<0$ فإن $\lim_{x\rightarrow -\infty}(ax^2+bx +c)=-\infty$ و $\lim_{x\rightarrow +\infty}(ax^2+bx +c)=-\infty$

مثال : $\lim_{x\rightarrow -\infty}(3x^2+x-2)=\lim_{x\rightarrow -\infty}(3x^2)=+\infty$ و $\lim_{x\rightarrow +\infty }(3x^2+x-)=\lim_{x\rightarrow +\infty}(3x^2)=+\infty$

$\lim_{x\rightarrow -\infty }(-2x^2+x-2)=\lim_{x\rightarrow -\infty}(-2x^2)=-\infty$ و $\lim_{x\rightarrow +\infty }(-2x^2+x-2)=\lim_{x\rightarrow +\infty}(-2x^2)=-\infty$

الدوال كثيرات الحدود من الدرجة الثالثة

1- دراسة مثال :

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ : $f(x)=x^3+x-2$

ليكن $(C_f)$ تمثيلها البياني في معلم متعامد $(O;\vec i;\vec j)$

* النهايات : لدينا $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty$ و $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$

* المشتقة : الدالة $f$ قابلة للاشقاق على $\mathbb{R}$ و لدينا من أجل كل $x$ من $f'(x)=3x^2+1;\mathbb{R}$

*إشارة المشتقة : من أجل كل $x$ من $\mathbb{R}$ , $f'(x)>0$ و منه الدالة $f$ متزايدة تماما على $\mathbb{R}$ .

* جدول التغيرات :

$x$	$-\infty$ $+\infty$
$f'(x)$	$+$
$f(x)$	$-\infty$ $\nearrow$ $+\infty$

* التمثيل البياني : مثلنا في الشكل المقابل $(C_f )$ و مماسه $(\Delta )$ عند الانعطاف , النقطة التي فاصلتها $0$ و ترتيبها $2$ .

2- النتاشج :

* التمثيل البياني للدالة $(a\neq 0)x \mapstoa x^3+bx^Z2+cx+d$ يقبل نقطة انعطاف فاصلتها $x_0$ بحيث $x_0$ هي القيمة التي تنعدم عندها المشتقة الثانية $f''$ للدالة $f$ مغيرة إشارتها .

* نلاحظ أن : $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty}(x^3)$ و $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}(x^3)$

نقبل بصفة عامة أن :

$\lim_{x\rightarrow -\infty}(ax^3+bx^2+cx+d)=\lim_{x\rightarrow -\infty}(ax^3)$ و $\lim_{x\rightarrow +\infty}(ax^2+bx^2+cx +d)=\lim_{x\rightarrow +\infty}(ax^3)$

نستنتج هكذا أنه :

* إذا كان $a>0$ فإن $\lim_{x\rightarrow -\infty }(ax^3+bx^2+cx +d )=-\infty$ و $\lim_{x\rightarrow +\infty }(ax^3+bx^2+cx +d )=+\infty$

* إذا كان $a<0$ فإن $\lim_{x\rightarrow -\infty }(ax^3+bx^2+cx +d )=+\infty$ و $\lim_{x\rightarrow +\infty }(ax^3+bx^2+cx +d )=-\infty$

مثال :

$\lim_{x\rightarrow -\infty }(2x^3-x^2-3x+1 )=\lim_{x\rightarrow -\infty}(2x^3)=-\infty$ و $\lim_{x\rightarrow +\infty }(2x^3-x^2-3x+1 )=\lim_{x\rightarrow +\infty}(2x^3)=+\infty$

$\lim_{x\rightarrow -\infty }(-3x^3+3x-4 )=\lim_{x\rightarrow -\infty}(-3x^3)=+\infty$ و $\lim_{x\rightarrow +\infty }(-3x^3+3x-4 )=\lim_{x\rightarrow +\infty}(-3x^3)=-\infty$

وفيما يلي مثتال اخر في هذا الفيديو:

مقترحات شاملة

للمزيد من التفاصيل اليك بعض التمارين الشاملة في الفيديوهات التالية :

الفيديو الأول :