ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الإحصاء و الإحتمالات /الإحصاء

الدرس

السلسلة الاحصائية لمتغيرين

أثناء دراسة على مجتمع إحصائي تتم أحيانا ملاحظة طبعين كميين ( كملاحظة مادتي الرياضيات و الفيزياء في ثانوية ما ) . عندئذ نعرف متغيرين $X$ و $Y$ تعطى قيمهما $x_i$ و $y_i$ في لا جدول

$X$	$x_1$	$x_2$	$x_3$	..........	$x_n$
$Y$	$y_1$	$y_2$	$y_3$	$........$	$y_n$

مجموعة الثنائيات $(x_i;y_i)$ تشكل إحصائية ذات متغيرين

ملاحظة :

1-1- سحابة نقط و النقطة المتوسطة :

في معلم متعامد ( مناسب) مجموعة النقط $M_i(x_i;y_i)$ هي سحابة نقط السلسلة ذات المتغيرين $X$ و $Y$ النقطة المتوسطة لهذه السلسلة في النقطة $G(\overline{x},\overline{y})$ حيث $\overline{x}$ معدل القيم $x_i$ و $\overline{y}$ معدل القيم $y_i$

$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+....+x_n}{n}$ $\overline{y}=\frac{y_1+y_2+.....+y_n}{n}$

ملاحظة :

مثال : يوضح الجدول التالي ارتفاع نسبة الننجاح في شعبة تسيير و اقتصاد خلال سبعة سنوات في مؤسسة ما

السنة $x_i$	$1975$	$1980$	$1985$	$1990$	$1995$	$2000$	$2001$
السنة $y_i$	$72,3$	$74$	$75,3$	$77$	$79,5$	$81,1$	$81,3$

سخابة النقط الممثلة لهذه السلسلة في معلم متعامد مبدؤه $O'(1975;70)$ النقطة المتوسطة $G(1989;77,2)$ لاحظ الشكل المرفق

1- 2 تغيير المبدأ أو الوحدة :

*تغيير المبدأ : $z_i=x_i-a$ و $t_i=y_i-b$

بخواص الخطية للمعدل : $\overline{z}=\overline{x}-a$ و $\overline{t}=\overline{y}-b$ . في المثال السابق $G'(14,4;7,2)$ مع أخذ $a=1975$ و $b=70$

* تغيير الوحدة : $u_i=ky_i$

التعديل الخطي

تعريف :

القيام نتسوية خطية أو بتعديل خطي لساحبة نقط $M_i(x_i;y_i)$

يعني إيجاد دالة خطية تعبر بكيفية تقريبية عن $Y$ بدلالة $X$

التعديل الخطي بالمربعات الدنيا :

عندما يكون لسحابة النقط المرفقة بسلسلة إحصائية لمتغيرين عددين شكل متطاول ,نتسائل عن امكانية إنشاء مستقيم تقع حوله نقط السحاية

مبدأ المربعات الدنيا :

نحسب المجموع : $S=M_1P_1^2+M_2P_2^2+........+M_nP_n^2$

أي : $S=\sum _{i=1}^nM_iP_i^2$ حيث $M_i$ هي نقط السحابة ذات الاحداثيات $(x_i;y_i)$ نقبل بوجود مستقيم (يسمى مستقيم الانحدار بالممربعات الدنيا ) يشمل النقطةالمتوسطة للسحابة و يجعل $S$ أصغريا .

تعريف و مبرهنة :

مستقيم الانحدار بالمربعات الدنيا هو المستقيم الذي يشمل النقطة المتوسطة لسحابة النقط و معادلته المختصرة هي من الشكل $y=ax+b$ حيث :

$a=\frac{\left ( \frac{1}{n}\sum _{i=1}^nx_iy_i \right )-\overline{x}\overrightarrow{y}}{ \frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2}$ و $b=\overline{y}-a\overline{x}$ لأن النقطة المتوسطة $G(\overline{x};\overline{y})$ نقطة من مستقيم الانحدار

ملاحظة :

العدد $a$ هو $a=\frac{Cov(x,y)}{V(x)}$ حيث :

$Cov (x,y)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})$ و $V(x)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2$