ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الحساب التكاملي/الدوال الأصلية

الملخص

تعريف

$f$ دالة معرفة على على المجال $I$ .

نسمي دالة أصلية للدالة $f$ على المجال $I$ كل دالة قابلة للاشتقاق على مشتقتها ${F}'$ هي من أجل كل $x$ من $I$ ، ${F}'(x)=f(x)$

مثال :

الدالة $F$ المعرفة على $\mathbb{R}$ ب :

$F(x)=x^{3}-4x+2$ هي دالة أصلية للدالة المعرفة على $\mathbb{R}$ ب : $f\left ( x \right )=3x^{2}-4$ لأن :

${F}'\left ( x \right )=3x^{2}-4=f\left ( x \right )$

خواص

خواص (دون برهان ) :

- إذا كانت $f$ مستمرة على $I$ فإن $f$ تقبل دوالا أصلية على $I$ .

- إذا كانت $F$ دالة أصلية للدالة $f$ على المجال $I$ فإن كل الدوال الأصلية للدالة $f$ على $I$ هي الدوال :

$x \mapsto F\left ( x \right )+K$ حيث $K$ عدد حقيقي ثابت .

مثال :

لدينا : $f\left ( x \right )=3x^{2}+4x-1$ كل الدوال الأصلية للدالة $f$ هي الدوال $F$ المعرفة ب :

$F\left ( x \right )=x^{3}+2x^{2}-x+K$ حيث $K$ عدد حقيقي ثابت .

$f$ مستمرة على المجال $I$ ، $x_{0}$ عدد حقيقي من $I$ و $y_{0}$ عدد حقيقي كيفي ، توجد دالة أصلية وحيدة $F$ للدالة $f$ على المجال $I$ تحقق الشرط : $F\left ( x_{0} \right )=y_{0}$

* إذا كانت $F$ و $G$ دالتين أصليتين على الترتيب لـ $f$ و $g$ على مجال $I$ فإن $F+G$ دالة أصلية لـ $f+g$ على $I$

* إذا كانت $F$ دالة أصلية للدالة $f$ على مجال $I$ فإن $kF$ دالة أصلية للدالة $kf$ على $(k\in \mathbb{R})I$ .

الدالة الأصلية التي تأخذ قيمة معلومة من أجل قيمة للمتغير

خاصية :

$f$ دالة مستمرة على مجال $I$ . $x_0$ عدد حقيقي من $I$ و $y_0$ عدد حقيقي كيفي .

توجد دالة اصلية وحيدة $F$ للدالة $f$ على المجال $I$ تحقق الشرط $F(x_0)=y_0$ .

البرهان :

بما أن الدالة $f$ مستمرة على $I$ فهي تقبل دوالا أصلية على $I$ و لتكن $G$ إحدى هذه الدوال الأصلية .

إذا كانت $F$ دالة أصلية أخرى للدالة $f$ على $I$ فإن من أجل كل $x$ من $I$ , $F(x)=G(x)+k$ حيث $k$ عدد حقيقي .

الشرط $F(x_0)=y_0$ يعني أن $G(x_0)+k=y_0$ أي أن $k=y_0-G(x_0)$ . لقد تم تحديد العدد الحقيقي $k$ .

توجد إذن دالة أصلية وحيدة $F$ للدالة $f$ على المجال $I$ تحقق الشرط $F(x_0)=y_0$ و لدينا : $F(x)=G(x)+y_0-G(x_0)$

التفسير البياني :

التمثيلات البيانية في معلم $(O;\vec i ;\vec j)$ للدوال الأصلية للدالة $f$

تستنتج من أحدها بواسطة انسحابات من أحدها بواسطة انسحابات شعاعها $k\vec j$ حيث $k$ عدد حقيقي واحد فقط من بين هذه التمثيلات البيانية يمر من النقطة $A(x_0;y_0)$

جدول الدوال الأصلية

شروط على الدالة	الدوال الأصلية	الدالة
$\mathbb{R}$	$x \mapsto e^U+C$	$x \mapsto e^{U}+{U}'$
$a\neq 0$ حيث	$x \mapsto \frac{1}{a} e^{\alpha U}+C$	$x \mapsto e^{\alpha U}$
$\left ]0;+\infty \right [$	$x \mapsto ln\left \|U \right \|+C$	$x \mapsto \frac{{U}'}{U}$
$a\neq 0$ حيث	$x \mapsto \frac{1}{a}\sin \left ( ax+b \right )+C$	$x \mapsto \cos \left ( ax+b \right )$
$a\neq 0$ حيث	$x \mapsto -\frac{1}{a}\cos \left ( ax+b \right )+C$	$x \mapsto \sin \left ( ax+b \right )$
$a\neq 0$ حيث	$x \mapsto \frac{2}{3a}\left ( ax+b \right )\sqrt{ax+b}+C$	$x \mapsto \sqrt{ax+b}$
$a\neq 0$ حيث	$x \mapsto \frac{2}{a}\sqrt{ax+b}+C$	$x \mapsto \frac{1}{\sqrt{ax+b}}$
$U(x)>0$ ; $I$ من أجل كل $x$ من	$x \mapsto \frac{2}{3}U\times \sqrt{U}+C$	$x \mapsto {U}'\sqrt{U}$
$U(x)>0$ ; $I$ من أجل كل $x$ من	$x \mapsto 2\sqrt{U}+C$	$x \mapsto \frac{{U}'}{\sqrt{U}}$
$\left ( n\in \mathbb{N},n\geq 2 \right )$ $U(x)\neq 0$ ; $I$ من أجل كل $x$ من	$x \mapsto \frac{-1}{\left ( n-1 \right )U^{n+1}}+C$	$x \mapsto \frac{{U}'}{U^{n}}$
$n\in \mathbb{N}^{\ast }$	$x \mapsto \frac{1}{\left ( n+1 \right )}U^{n+1}+C$	$x \mapsto {U}'\times U^{n}$
$\left ( b\in \mathbb{N};a\neq 0 \right )$ أعداد حقيقية $a,b$	$x \mapsto \frac{-1}{a\left ( n-1 \right )\left ( ax+b \right )^{n-1}}+C$	$x \mapsto \frac{1}{\left ( ax+b \right )^{n}}$
$\left ( b\in \mathbb{N};a\neq 0 \right )$ أعداد حقيقية $a,b$	$x \mapsto \frac{1}{a\left ( n+1 \right )}\times \left ( ax+b \right )^{n+1}+C$	$x \mapsto \left ( ax+b \right )^{n}$
$\left ( n\in \mathbb{N},n\geq 2 \right )$ $\left ] -\infty ;0\right [$ أو $\left ] 0;+\infty \right [$	$x \mapsto \frac{-1}{\left ( n-1 \right )\left ( x \right )^{n-1}}+C$	$x \mapsto \frac{1}{\left ( x \right )^{n}}$
$\left ] -\infty ;0\right [$ أو $\left ] 0;+\infty \right [$	$x \mapsto \frac{-1}{x}+C$	$x \mapsto \frac{1}{\left ( x \right )^{2}}$
$n\in \mathbb{N}^{\ast }$ من أجل كل $x$ من $\mathbb{R}$ و	$x \mapsto \frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$	$\left ( n\in \mathbb{N}^{\ast } \right )\: \: \: x \mapsto x^{n}$
$\mathbb{R}$ من أجل كل $x$ من	$x \mapsto ax+C$	(عدد حقيقي $a$ ) $a$

التكامل بالتجزئة

إذا كانت المشتقة الأولى للدالتين $U$ و $V$ مستمرتين على المجال $I$ لدينا :

$\int {U}'Vdx=UV-\int U{V}'dx$

الدوال الأصلية لدوال مألوفة

تم الحصول على النتائج الملخصة في الجدول الموالي انطلاقا من قراءة عكسية لمشتقات دوال مألوفة ,

الدوال الاصلية للدالة $f$ على المجال $I$ هي الدوال $F$ يمثل $c$ عددا حقيقيا كيفيا .

$f(x)=$	$F(x)=$	$I=$
$a$ ( $a$ عدد حقيقي )	$ax+c$	$\mathbb{R}$
$x$	$\frac{1}{2}x^2+c$	$\mathbb{R}$
$(n\in \mathbb{N}^*)x^n$	$\frac{1}{n+1}x^{n+1}+c$	$\mathbb{R}$
$\frac{1}{x^2}$	$-\frac{1}{x}+c$	$]0;+\infty[$ أو $]-\infty;0[$
$(n\geq 2 et n\in \mathbb{N}) \frac{1}{x^n}$	$-\frac{1}{(n-1)x^{n-1}}+c$	$]0;+\infty[$ أو $-]\infty;0[$
$\frac{1}{\sqrt x}$	$2\sqrt x+c$	$]0;+\infty[$
$\sin x$	$-\cos x+c$	$\mathbb{R}$
$\cos x$	$\sin x+c$	$\mathbb{R}$
$1+\tan ^2 x =\frac{1}{\cos^2 x}$	$\tan x +c$	$(k\in \mathbb{Z})\left ] -\frac{\pi}{2}+k\pi ; \frac{\pi}{2}+k\pi \right [$

الدوال الأصلية و العمليات على الدوال

$u$ دالة قابلة للاشتقاق على مجال $I$ .

الدالة $f$	الدوال الأصلية للدالة $f$ على $I$	شروط على الدالة $u$
$u'u$	$\frac{1}{2}u^2+c$
$(n\in \mathbb{N}^*)u'u^n$	$\frac{1}{n+1}u^{n+1}+c$
$\frac{u'}{u^2}$	$-\frac{1}{u}+c$	من أجل كل $x$ من $u(x)\neq 0,I$
$(n\geq 2 et n\in \mathbb{N})\frac{u'}{u^n}$	$-\frac{1}{(n-1)u^{n_1}}+c$	من أجل كل $x$ من $u(x)\neq 0;I$
$\frac{u'}{\sqrt u}$	$2\sqrt u+c$	كم أجل كل $x$ من $u(x)>0,I$