ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الإحصاء و الإحتمالات /العد القوائم الترتيبات التبديلات

الملخص

من الأستاذ(ة) عبعوب محمد

ما يجب معرفته

1- العاملي :

$n!=1\times 2\times 3\times 4.......\times \times ....n$

مثال :

حساب مايلي : عاملي $5!$

$5!=1\times 2\times 3\times 4\times 5=120$

لاتنسى : $1!=1$ و $0!=1$

2- الترتيبة:

$A^p_n=\frac{n!}{(n-p)!}$

مثلا لحساب $A_2^5$ :

$A^2_5=\frac{5!}{(5-2)!}=\frac{5!}{3!}=\frac{120}{6}=20$

لاتنسى $A_1^0=1$ و $A^1_1=1$

3- التوفيقة : وتحسب بالطريقة التالية :

$C_p^n=\frac{A^p_n}{p!}=\frac{n!}{p!(n-p)!}$

مثلا لحساب $C_2^5$ :

$C_2^5=\frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{5!}{2!\times 3!}=\frac{120}{24}=5$

دون أن تنسى : $C_n^n=C_n^0=1$ و $C_n^1=n$

4- التبديلة :

قانون حسابها : $A_n^n=n!$

5- القائمة :

قانون حسابها : $n^p$

العد (القوائم , الترتيبات , التبديلات )

1- قوائم عناصر مجموعة منتهية :

تعريف :

$E$ مجموعة منتهية ذات $n$ عنصرا $(n\geq 1)$ و $p$ عدد طبيعي $(p\geq 1)$

نسمي قائمة ذات $p$ عنصرا من $E$ كل متتالية من $p$ و عنصرا من عناصر $E$

إذا أردنا أن تكون هذه العناصر المرتبة متمايزة مثنى مثنى عندئذ لا يمكن للقائمة أن تحتوي أكثر من $n$ عنصرا و هذا ما يقتضي أن يكون $n\geq p\geq 1$ .

* من أجل كل عدد طبيعي $p$ $(p\geq 1)$ عدد قوائم $E$ ذات $p$ عنصرا يساوي $n^p$ بينما يكون عدد قوائم $E$ ذات $p$ عنصرا المتمايزة العناصر مثنى مثنى هو $n(n-1)(n-2)\times .....\times (n-p+1)$ هذا الجداء يحوي $p$ عاملا

2- التفسير :

في الحالة الأولى (عدم اشتراط تمايز العناصر ) يكون لكل عنصر من عناصر القائمة امكانية و منه فإن عدد القوائم هو $n\times n\times n \times .....\times n$ ( $p$ مرة ) أي $n^p$

في الحالة الثانية (قوائم عناصرها متمايزة مثنى مثنى ) يكون للعنصر الأول $n$ امكانية ثم $(n-1)$ امكانية للعنصر الثاني و $(n-2)$ للعنصر الثالث $....$ و أخيرا $n-p+1=(p-1)$ امكانية للعنصر الأخير الذي رتبته $p$

باستعمال مبدأ الضرب يكون عند هذه القوائم $n(n-1)(n-2)\times .....\times (n-p+1)$

ملاحظة : نسمي القائمة التي عناصرها متايزة مثنى مثنى ترتيبة و يرمز لعدد الترتيبات ذات $p$ عنصرا من بين $n$ عنصرا بالرمز $A^p_n$ و نكتب $A^p_n=n(n-1)(n-2)\times .....\times (n-p+1)$

مثال:

1) ما عدد الأعداد ذات $3$ أرقام و التي يمكن تشكيلها من الأرقام $5,4,3,2,1$ ؟

2) ما عدد الأعداد ذات $3$ أرقام متمايزةمثنى مثنى و التي يمكن تشكيلها من الأرقام $6,5,4,3,2,1$ ؟

الحل :

1) كل عدد هوقائمة ذات $3$ عناصر بين الأرقام $5,4,3,2,1$

عدد الأعداد هو $5\times 5\times 5=125$

2) كل عدد هو ترتيبة ذات $3$ عناصر متمايزة من بين الأرقام $6,5,4,4,2,1$

عدد الأرقام هو $6\times 5\times 4=120$

3- تعريف :

ترتيبة ذات $n$ عنصرا من مجموعة ذات $n$ عنصرا تسمى تبديلة ذات $n$ عنصرا عدد التبديلات إذن هو $n(n-1)(n-2)\times .....\times 2\times 1$ و يرمز له بالرمز $n!$ و يقرا مفكوك $n$ أو ( $n$ عاملي )

ملاحظة :

يمكن كتابة عدد الترتيبات ذات $p$ عنصرا من مجموعة ذات $n$ عنصرا يبالشكل $\frac{n!}{(n-p)!}$

التوفيقات - دستور ثنائي الحد

1- تعريف :

$E$ مجموعة منتهية ذات $n$ عنصرا $(n\geq 1)$ و $p$ عدد طبيغي حيث $(n\geq p\geq 0)$ نسمي توفيقة ذات $p$ عنصرا من عناصر $E$ كل جزء من $E$ ذي $p$ عنصرا من عناصر $E$

نرمز لعدد التوفيقات ذات $p$ عنصرا من مجموعة ذات $n$ عنصرا بالرمز $C_n^p$ أو الرمز $\binom{p}{n}$

* نلاحظ أن $C_n^1=n$ أي أن عدد الأجزاء التي تحتوي عنصرا واحدا من مجموعة ذاات $n$ عنصرا هو $n$ بينما $C_n^n=1$ إذ لايوجد إلا جزء واحد يحوي كل العناصر و هو المجموعة نفسها و كذلك $C_n^0=1$ لأن الجزء الوحيد الذي لا يحوي أي عنصر هو الجزء الخالي

مبرهنة 2 :

من أجل كل عددين طبيعيين $n$ و $p$ حيث $(n\geq p\geq 0)$

$C_n^p=\frac{n(n-1)\times ....\times (n-p-1)}{n!}=\frac{n!}{n!(n-p)!}$

تفسير : من كل توفيقة ذات $p$ عنصرا يمكن تشكيل $p!$ ترتيبة ذات $p$ عنصرا . لكن عدد الترتيبات ذات $p$ عنصرا من مجموعة ذات $n$ عنصرا هو $\frac{n!}{n-p}$ و بالتالي $C_n^p=\frac{n!}{ p!(n-p)!}$

مثال :

نريد تشكيل لجنة ذات $6$ تلاميذ من بين $49$ تلميذا , ما عدد اللجان الممكن تشكيلها ؟

* كل لجنة هي توفيقة ذات $6$ عناصر من بين $49$ عنصر و بالتالي فإن عدد اللجان هو

$C_{49}^6=\frac{49!}{6!(49-6)!}=\frac{49\times 48\times 47\times 46\times 45\times 44}{6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}=13983816$

3- خواص :

1) من أجل كل عددين طبيعيين $n$ و $p$ حيث $(n\geq p\geq 0)$ لدينا $C_n^p=C_n^{n-p}$

2) من أجل كل عددين طبيعيين $n$ و $p$ حيث $(n-1\geq p\geq 1)$ لدينا $C_n^p=C_{n-1}^{p-1}$

تفسير :

1) عدد الأجزاء التتي تحوي $P$ عنصرا هو عدد متمماتها التي تحوي $(n-p)$ عنصرا .

2) عدد الأجزاء ذات $p$ عنصر التي تحوي العنصر $a$ هو $C_{n-1}^{p-1}$

و عدد الأجزاء ذات $p$ عنصرا و التي لا تحتوي العنصر $a$ هو $C_{p}^{n-1}$ و بالتالي فعدد الأجزاء ذات $p$ عنصر هو $C_{n-1}^p+C^{p-1}_{n-1}$ و هو $C_p^n$ .

ملاحظة :

تمكننا الخاصية الثانية من حساب $C^p_n$ إذا علمنا $C^{p-1}_{n-1}$ و $C^p_{n-1}$ كما هو مبين من الشكل

4- دستور ثنائي الحد:

$A$ و $b$ عددان طبيعيان $n$ عدد طبيعي $(n\geq 1)$ لدينا

$(a+b)^n=\sum _{p=0}^nC_n^pa^{n-p}b^p=C_n^1a^{n-1}+....+C_n^{n-1}ab^{n-1}+b^n$

نمذجة تجربة عشوائية

عندما يكون عدد مخارج تجربة عشوائية منتهيا , نعرف على مجموعة المخارج $E=\left \{ x_1,x_2,.....,x_r \right \}$ قانون احتمال و ذلك باعطاء متتالية أعداد $(p_,p_2,......;p_r)$ تحقق $\sum _{i=1}^rp_i=1$ و $p_i\geq 0$ من أجل كل $(r\geq i\geq 1)i$

مثال :

يحتوي صندوق $6$ كريات (ثلاثة منها تحمل الرقم $1$ وكريتان تحملان الرقم $2$ و كرية تحمل الرقم $3$ )

الكريات لا نكيز بينها عند اللمس نسحب عشوائيا كرية واحدة

هناك عدة اختبارات ممكنة للأعداد $p_i$ تحقق الشروط السابقة لكن النموذج المختار لا كون مناسب إلا في حالة اقتراب التكرارات الاحصائية من الأعداد $p_i$ عندما يكون عدد التجارب أكبر

إن الحدس يقودنا الى النموذج التالي :

* في حالة تساوي الأعداد $p_i$ نقول أن قانون الإحتمال متساوي التوزيع (أونقول تساوي الاحتمال )

أي (من أجل كل $i$ لدينا $p(x_i)=p_i=\frac{1}{r}$

* نذكر أن أمل قانون الاحتمال هو العدد $\mu =\sum _{i=1}^rp_ix_i$ تباينه العدد $V=\sum _{i=1}^{r}p_i(x_i-\mu )^2$ و انحرافه المعياري هو العدد $\sigma =\sqrt V$

* و نذكر أن الحادثة هي كل جزء من $E$ و أن $\left \{ x_i \right \}$ تدعى حدثة أولية . $E$ الحادثة الاكيدة و $\phi$ هي الحادثة المستحيلة

* احتمال حادثة $A$ هو مجموع احتمالات كل المخارج التي تنتمي الى $(p(\phi)=0)A$ و في حالة تساوي احتمال يؤول حساب احتمال $A$ أي $p(A)$ الى مسألة عد .

مبرهنة :

في حالة تساوي احتمال على $E$ يكون لدينا من أجل كل حادثة $A$

عددعناصر $E$ / عدد عناصر $A$ $p(A)$

أخيرا نذكر ببعض الخواص :

أجزاء $E$	لغة الحوادث	الخاصية
$A$	$A$ حادثة كيفية	$1\geq p(A)\geq 0$
$\phi ,E$	الحادثتان الاكيدة و المستحيلة	$p(\phi )=0$
$A\cap B =\phi$	$B,A$ غير متلائمتين	$p(A\cup B)=p(A)+p(B)$
$\overline{A}$	$\overline{A}$ الحادثة العكسية للحادثة $A$	$p(\overline{A})=1-p(A)$
$B,A$	$A$ و $B$ كيفيتان	$p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$

المتعير العشوائي , الأمل الرياضي و التباين لمتغير عشوائي

متغير عشوائي $X$ هو دالة عددية عرفة على مجموعة المخارج $E$ و مزودة باحتمال $P$

$X$ يأخذ القيبم $x_1,x_2,.....,x_n$ بالاحتمالات $p_1,p_2,.....,p_n$ معرف كمايلي $p_i=p(X=x_i)$

إرفاق القيم $p_i$ بالقيم $x_i$ هوتعريف قانون احتمال جديد على $E'$ هذا القانون يرمز له بـ $p'$ أو $p_x$ و يسمى قانون $X$

الأمل الرياضي لمتغير عشوائي $X$ هو الأم الرياضاتي لقانون احتماله $P_x$ و كذلك التباين والانحراف المعياري و نرمز لها على الترتيب بالرموز $\sigma (X);Var (X);E(X)$

* خواص الأمل الرياضاتي و التباين لمتغير عشوائي :

$E(X)$ هو معدل القيم $x_i$ مرفقة بالقيم $p_i$ بالمقارنة مع مجال الاحصاء $E(X)$ هو $\overline{x}$ و في ميدان الألعاب هو الربح المتوسط الذي يأمله اللاعب بعد تكرار اللعبة مرات كثيرة , فانعدام $E(X)$ يدل على أن اللعبة عادلة و $E(X)> 0$ يعني أن اللعية مربحة و في حالة $E(X)<0$ فهي ليست في مصلحة اللاعب كما في مجال الاحصاء فإن التباين و الانحراف المعياري مقياس تشتت .

يمكن ان نبرهن بسهولة مايلي :

مبرهنة :

$X$ و $Y$ متغيران عشوائيان معرفان على نفس الوضعية و $a$ عدد حقيقي لدينا $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ و $E(aX)=aE(X)$

حيث $E(X+Y)$ و $E(aX)$ هما الأملان الرياضياتيان لكل من $X+Y$ و $aX$

ينتج من المبرهنة السابقة الخواص التالية :

$X$ متغير عشوائي و $b,a$ عددان حقيقيان لدينا :

$E(X+b)=E(X)+b\\\\ Var(X)=E(X-E(X)^2)=E(X^2)-(E(X))^2\\\\$

$Var(aX)=a^2Var(X)$ و $\sigma (aX)=|a|\sigma (X)$

$Var(X+b)=Var(X)$ و $\sigma (X+b)=\sigma (X)$

ملاحظة : برهان ما سبق ينتج مباشرة من التعريف (بحسابات بسيطة نتحقق من المتساويات في المبرهنة و الخواص )

الاحتمالات الشرطية

1- تعريف

لتكن $A$ حادثة من مجموع المخارج $E$ حيث $p(A)\neq 0$ . نعرف على $E$ احتمالا جديدا يرمزله بالرمز $p_A$ حيث من أجل كل حادثة $B$ نكتب $p_A(B)=\frac{p(A\cap B)}{p(A)}$

$p_A$ يسمى الاحتمال الشرطي علما أن $A$ محققة

$p_A(B)=p(B/A)$ و نقرأ " احتمال $B$ علما أن $A$ محققة "

مثال :

صندوق يحوي $5$ قريصات مرقمة بالأرقام $8,6,4,2,0$ و $3$ قريصات مرقمة بالأرقام $5,3,1$

لا نميز بينها عند اللمس . نسحب عشوائيا على التوالي و دون ارجاع قريصتين من الصندوق .

- ما احتمال الحصول على رقمين زوجيين ؟

الحل :

نسمي $A$ الحادثة "القريصةالمسحوبة الأولى رقما زوجيا " و $B$ الحادثة " القريصة الثانية تحمل رقما فرديا "

واضخ أن $p(A)=\frac{5}{8}$ و نريد حساب $p(A\cap B)$ أي $p(A)\times p(B/A)$

$p(A)\times p(B/A)$ لكن $p(B/A)$ هو احتمال سحب رقما زوجيا من الصندوق الذي يحوي الا اربعة أرقام زوجية من بين $7$ ارقام أي $p(B/A)=\frac{4}{7}$ و بالتالي $p(A\cap B)=\frac{5}{8}\times \frac{4}{7}=\frac{5}{14}$

2- دستور الاحتمالات الكلية :

2-1 تجزئة مجموعة : نسمي تجزئة مجموعة أجزاء لهذه المجموعة كلها ليست خالية منفصلة مثنى مثنى (لا يوجد جزءان لهما عنصر مشترك ) و اتحادهما المجموعة الكلية

1) $A_1\neq \phi$

2) $A_1\cap A_5=\phi$

3) $A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4\cup A_5=E$

2-2 لتكن $A_n,....,A_3,A_2,A_1$ حوادث احتمالاتها غير معدومة تشكل تجزئة للمجموعة الشاملة $E$

لدينا من أجل كل حادثة $B$

$p(B)=p(A_1\cap B)+p(A_2\cap B)+....+p(A_n\cap B)$

مع $p(A_k\cap B)=p(A_k)\times p_{A_k}(B)$ من أجل كل $k$ حيث $1\leq k\leq n$

لاحظ أن العائلة $\left \{ A_k\cap B;1\leq k\leq n \right \}$ تشكل تجزئة للحادثة $B$ .

الحوادث المستقلة و المتغيرات العشوائية المستقلة

1- تعريف :

نقول عن حادثتين $A$ و $B$ أنهما مستقلتان إذا و فقط إذا كان $p(A\cap B)=p(A)\cap p(B)$

إذا كان $p(A)\neq 0$ فإن $p(B/A)=p(B)$

2- تعريف :

$X$ و $Y$ متغيران عشوائيان معرفان على نفس الفضاء $E$

لتكن $x_n ,.....,x_2,x_1$ قيم المتغير $X$ و $y_m,.....,y_2,y_1$ قيم المتغير $Y$

نقول أن $X$ و $Y$ مستلان عندما تكون الحادثتان $(X=x_i)$ و $(Y=y_i)$ مستقلتان من أجل كل $i$ و $j$ حيث ( $1\leq i\leq n$ و $1\leq j\leq m$ )

* في حالة استقلال الحوادث يكون احتمال قائمة النتائج هو جداء احتمالات كل النتائج (يحصل هذا عموما في التجارب العشوائية المكررة )

* متغيران عشوائيان مرتبطان بتجربتين مختلفتين مستقلان

مثال :

نرمي $n$ مرة ( $n$ عدد طبيعي أكبر من $1$ ) حجم نرد مكعب غير مزور أوجهه مرقمة من $1$ الى $6$

ماهو احتمال الحادثة $A$ حيث $A$ نحصل مر واحدة على الاقل رقم فردي

حل :

لو فكرننا في الاجابة المباشرة (الحصول على رقم فردي واحد أو رقمين فرديين فقط أو .....أو كل الأرقام فردية )

فإن الحسابسيكون طويلا ومعقدا نةعا ما , و علبيه نفضل استعمال الخاصية التي تنص على مايلي .

"مجموع احتمالي حادثتين متعاكستين يساوي $1$ "

$\overline{A}$ هي الحادثة "لا نحصل على الارقام الزوجية "

$p(\overline{A})=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}.......\frac{1}{2}=\frac{1}{2 ^n}$

و منه

$p(A)=1-p(\overline{A})$

$=1-\frac{1}{2}$