ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/ المتتاليات/عموميات حول المتتاليات العددية

تعريف المتتالية العددية

نسمي متتالية عددية حقيقية :

 كل دالة عددية ترفق بكل عدد طبيعي  حيث :  العدد الحقيقي  و  عدد طبيعي معطى .

تغيرات متتالية عددية

      - نقول إن المتتالية  متزايدة تماما إذا تحقق ما يلي : 

من أجل كل عدد طبيعي  :  

      - نقول إن المتتالية  متناقصة تماما إذا تحقق ما يلي : 

من أجل كل عدد طبيعي  : 

      - نقول إن المتتالية  ثابت إذا تحقق ما يلي : 

من أجل كل عدد طبيعي  : 

تقارب متتالية عددية

 متتالية عددية و  عدد حقيقي

إذا كانت  نقول أن المتتالية  متقاربة نحو 

إذا كانت  نقول أن المتتالية  متباعدة نحو 

إذا كانت  نقول أن المتتالية  متباعدة نحو 

المتتالية الرتيبة

تعريف:

نقول عن المتتالية  أنها رتيبة (تماما) إذا كانت متزايدة (تماما) أو متناقصة (تماما) في 

المتتالية التراجعية

تعريف : 

نسمي متتالية تراجعية كل متتالية معرفة بحدهل الاول و علاقة تربط حدين متتابعين .

المتتالية المحدودة

المتتالية المحدودة من الأعلى :

تعريف :

القول أن المتتالية  محدودة من الأعلى يعني وجود عدد حقيقي   حيث من أجل كل عدد طبيعي  : 

 نقول أن عنصر حاد من الأعلى .

المتتالية المحدودة من الأسفل :

تعريف :

القول أن المتتالية  محدودة من الأسفل يعني وجود عدد حقيقي   حيث من أجل كل عدد طبيعي  : 

نقول أن عنصر حاد من الأسفل .

مبرهنة : 

إذا كانت  متتالية متزايدة و محدودة من الأعلى فإنها متقاربة.

إذا كانت  متتالية متناقصة  و محدودة من الأسفل فإنها متقاربة.

طرق اثبات ان المتتالية محدودة 

لاثبات ان متتالية  نحدودة من الاعلى بعدد حقيقي  او من الاسفل بعدد حقيقي ، يمكن اتباع احدى الطرق الاتية:

1. استعمال الاستدلال بالتراجع لاثبات انه من اجل كل عدد طبيعي  أو

2. المقارنة بين  و  أو  و  بدراسة اشارة  أو 

 3. اذا كانت ، ندرس تغيرات  على 

المتتاليتان المتجاورتان

تعريف :

تكون متتاليتان عدديتان متجاورتان   و  إذا كانت و فقط إذا إحداهما متزايدة و الأخرى متناقصة و الفرق بينهما يؤول إلى الصفر . 

خلاصة :

    -  المتتالية  متزايدة . 

    -  المتتالية  متناقصة . 

    -  . 

نتائج تتعلق بالمتتالية الثابتة

1.  متتالية عددية معرفة على :

 ثابتة يعني: مهما كان  من ، 

2.  متتالية عددية معرفة على :

 ثابتة يعني: مهما كان  من ،

3.  متتالية عددية معرفة على :

للبرهان بالتراجع ان  ثابتة يمكن ان نبين انه:

من اجل كل عدد طبيعي :   

4.  متتالية عددية معرفة على :

للبرهان بالتراجع ان  ثابتة يمكن ان نبين انه:

من اجل كل عدد طبيعي  غير معدوم:   

طرق دراسة اتجاه تغير متتالية

الطريقة الأولى : نحسب الفرق التالي     فإذا كان 

                اتجاه التغير         الاشارة 
      متزايدة تماما     
      متناقصة تماما      
     ثابتة        

مثال : نأخذ المثال السابق      أولا نحسب     

و منه     نستنتج أن     متزايدة تماما 

الطريقة الثانية : هذه الطريقة يشترط فيها المتتالية    كل حدودها موجبة اماما 

نحسب النسبة التالية       فإذا كانت : 

                اتجاه التغير         الاشارة 
      متزايدة تماما   
      متناقصة تماما     
     ثابتة      

 الطريقة الثالثة :  إذا كانت الدالة     المرفقة بالمتتالية     متزايدة ,فإنه يمكن معرفة اتجاه تغير     من إشارة الفرق بين الحدين     و   إذا كان : 

                اتجاه التغير         الاشارة 
      متزايدة تماما    
      متناقصة تماما      
     ثابتة