ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الدوال العددية/مسائل حول دراسة دوال عددية

الدرس

المشتقة و اتجاه التغيرات

مبرهنة ( دون برهان ) : $f$ دالة قابلة للاشتقاق على مجال $I$ من $\mathbb{R}$

* إذا كانمن أجل كل $x$ من $I$ , $f'(x)>0$ ما عدا ممكن من أجل عدد محدود من القيم التي تنعدم الدالة $f$ من أجلها , فإن الدالة متزايدة تماما على $I$ .

* إذا كان من أجل كل $x$ من $f'(x)<0;I$ ماعدا ممكن من أجل عدد محدود من القيم التي تنعدم من أجلها الدالة $f$ متناقصة على $I$ .

* إذا كان من أجل $x$ من $f'(x)=0,I$ فإن الدالة $f$ ثابتة على $I$ .

مثال : نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ $f(x)=3x^2-8x^3+6x^2-3$

$f$ دالة كثيرة حدود فهي إذن قابلة للاشتقاق على $\mathbb{R}$ و لدينا : $f(x)=12x^2-24x^2+12x$

بعد التحليل نجد : $f'(x)=12x(x-1)^2$

من أجل $x\in ]-\infty;0]$ , $f'(x)<0$ و من أجل $x\in [0;+\infty [$ , $f'(x)>0$

بالإضافة الى ما سبق لدينا : $\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=+\infty$ و $\lim_{x\rightarrow -\infty }=+\infty$ و منه جدول تغيرات الدالة $f$

$x$	$-\infty$ $0$ $1$ $+\infty$
$f'(x)$	$-$ $0$ $+$ $0$ $+$
$f(x)$	$-\infty$ $\searrow$ $-3$ $\nearrow$ $-2$ $\nearrow$ $+\infty$

القيم الحدية المحلية

تعاريف : $f$ دالة معرفة على مجال $I$ من $\mathbb{R}$ و $x_0$ عدد حقيقي من $I$ .

* القول أن $f(x_0)$ قيمة حدية محلية عظمى للدالة $f$ يعني أنه يوجد مجال مفتوح $J$ محتوى في $I$ و يشمل $x_0$ بحيث من أجل كل $x$ من $J$ , $f(x)\leq f(x_0)$

* القول أن $f(x_0)$ قيمة حدية محلية صغرى للدالة $f$ يعني أنه يوجد مجال مفتوح $J$ محتوى في $I$ و يشمل $x_0$ بحيث من أجل كل $x$ من $J$ , $f(x)\leq f(x_0)$

* القول أن $f(x_0)$ قيمة حدية محلية لـ $f$ يعني أن $f(x_0)$ قيمة حدية محلية عظمى أو صغرى .

مثال : نعتبر نفس معطيات المثال السابق .

* نلاحظ أن من جدول تغيرات الدالة $f$ أن $f(0)=-3$ هي قيمة حدية صغرى لـ $f$ لأنه يوجد على الأقل مجال مفنتوح ( مثلا $]-1;+1[$ ) محتوى في $\mathbb{R}$ و يشمل $0$ بحيث من أجل كل $x$ من $]-1;+1[$ , $f(x)\geq f(0)$

* $f(1)=-2$ ليس قيمة حدية للدالة $f$ .

اشتقاق دالة مركبة دالتين

1- مشتقة الدالة $v\circ u$ :

مبرهنة (دون برهان ) : إذا قبلت الدالة $u$ الاشتقاق على مجال $I$ من $\mathbb{R}$ و قبلت الدالة $v$ الاشتقاق على $I$ فإن الدالة $v\circ u$ تقبل الاشتقاق على $I$ و لدينا :

$(v\circ u)'(x)=v'[u(x)]\times u'(x)$

مثال : لتكن $f$ الدالة المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ $f(x)=2(x^2+1)-3$

نلاحظ $f=v\circ u$ حيث $u:x \mapsto x^2 +1$ و $v:x \mapsto 2x^3-3$ و منه $f'(x)=v'(x^2+1)\times u'(x)$

بعد الحساب نجد $f'(x)=6(x^2+1)\times 2x=12x(x^2+1)^2$

2- نتائج :

* مشتقة الدالة $x \mapsto \sqrt {u(x)}$

إذا كانت الدالة $u$ قابلة للاشتقاق على مجال $I$ من $\mathbb{R}$ و كانت موجبة تماما على $I$ فإن الدالة $\sqrt u$ تقبل الاشتقاق على $I$ و لدينا $(\sqrt u)'=\frac{u'}{2\sqrt u}$ .

مثال : لتكن $f$ الدالة المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ $f(x)=\sqrt {x^2+2}$

نلاحظ أن $f=\sqrt u$ مع $u(x)=x^2+2$ . و بما أن $u$ قابلة للاشتقاق على $\mathbb{R}$ و من أجل كل $x$ من $\mathbb{R}$ , $u(x)>0$

فإن الدالة $f$ قابلة للاشتقاق على $\mathbb{R}$ و لدينا : $f'(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+2}}=\frac{x}{\sqrt {x^2+2}}$

* مشتقة الدالة $x \mapsto [u(x)]^n$ ( $n$ عدد طبيعي يحقق $n\geq 2$ )

إذا كانت الدالة $u$ قابلة للاشتقاق على مجال $I$ من $\mathbb{R}$ فإن الدالة $u^n$ تقبل الاشتقاق على $I$ و لدينا : $(u^n)'=nu'u^{n-1}$

مثال : لتكن $f$ الدالة المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ $f(x)=(2x^2-3x+3)^2$

نلاحظ أن $f=u^3$ مع $u(x)=2x^2-3x+3$ .و بما أن $u$ قابلة للاشتقاق على $\mathbb{R}$ فإن الدالة $f$ قابلة للاشتقلق على $\mathbb{R}$

و لدينا $f'(x)=3(4x-3)(2x^2-3x+3)^2$

* مشتقة دالة $x \mapsto \frac{1}{[u(x)^n]}$ ( $n$ عدد طبيعي يحقق $n\geq 1$ )

إذا كانت الدالة $u$ قابلة للاشتقاق على مجال $I$ من $\mathbb{R}$ و لا تنعدم على $I$ فإن الدالة $\frac{1}{u^n}$ تقبل الاشتقاق على $I$ و لدينا $\left ( \frac{1}{u^n} \right )'=\frac{nu'}{u^{n+1}}$