ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الحساب التكاملي/الدوال الأصلية

تعريف

 دالة معرفة على على المجال .

نسمي دالة أصلية للدالة  على المجال  كل دالة قابلة للاشتقاق على مشتقتها  هي من أجل كل   من  ، 

مثال : 

الدالة  المعرفة على  ب :

 هي دالة أصلية للدالة المعرفة على  ب :  لأن : 

خواص

خواص (دون برهان ) : 

- إذا كانت  مستمرة على   فإن  تقبل دوالا أصلية على  .

- إذا كانت دالة أصلية للدالة   على المجال  فإن كل الدوال الأصلية للدالة   على  هي الدوال  : 

 حيث  عدد حقيقي ثابت .

مثال : 

لدينا :  كل الدوال الأصلية للدالة هي الدوال  المعرفة ب :

    حيث  عدد حقيقي ثابت .

 

 مستمرة على المجال  ،  عدد حقيقي من  و  عدد حقيقي كيفي ، توجد دالة أصلية وحيدة  للدالة  على المجال  تحقق الشرط : 

 

* إذا كانت     و   دالتين أصليتين على الترتيب لـ     و   على مجال     فإن     دالة أصلية لـ    على    

* إذا كانت    دالة أصلية للدالة     على مجال    فإن     دالة أصلية للدالة    على   

الدالة الأصلية التي تأخذ قيمة معلومة من أجل قيمة للمتغير

خاصية : 

    دالة مستمرة على مجال      .    عدد حقيقي  من   و    عدد حقيقي  كيفي  .

توجد دالة اصلية وحيدة       للدالة   على المجال     تحقق الشرط 

البرهان : 

بما أن الدالة      مستمرة على     فهي تقبل دوالا أصلية على    و لتكن    إحدى هذه الدوال الأصلية . 

إذا كانت     دالة أصلية أخرى للدالة    على     فإن من أجل كل     من     ,  حيث     عدد حقيقي . 

الشرط     يعني أن      أي أن     . لقد تم تحديد العدد الحقيقي    .

توجد إذن دالة أصلية وحيدة     للدالة      على المجال    تحقق الشرط     و لدينا :  

التفسير البياني : 

التمثيلات البيانية في معلم    للدوال الأصلية للدالة   

تستنتج من أحدها بواسطة انسحابات من أحدها بواسطة انسحابات شعاعها      حيث     عدد حقيقي واحد فقط من بين هذه التمثيلات البيانية يمر من النقطة   

جدول الدوال الأصلية

     شروط على الدالة

  الدوال الأصلية

                 الدالة

                     
        حيث 
     
    حيث 
    حيث 
    حيث 
    حيث 
  ; من أجل كل  من 
 ; من أجل كل  من 

         

; من أجل كل  من 

                

                 

                     أعداد حقيقية  

 

               

                     أعداد حقيقية  

     أو 
  أو 
       من أجل كل  من  و
                   من أجل كل  من        (عدد حقيقي  )     

 

التكامل بالتجزئة

إذا كانت المشتقة الأولى للدالتين  و  مستمرتين على المجال  لدينا :

الدوال الأصلية لدوال مألوفة

تم الحصول على النتائج الملخصة في الجدول الموالي انطلاقا من قراءة عكسية لمشتقات دوال مألوفة ,

الدوال الاصلية للدالة   على المجال    هي الدوال     يمثل     عددا حقيقيا كيفيا . 

 

                                                               
           (    عدد حقيقي )                                           
                                                                  
                                                       
                                                أو   
                             أو   
                                                    
                                                      
                                                       
                          

 

الدوال الأصلية و العمليات على الدوال

   دالة قابلة للاشتقاق على مجال    .

                     الدالة       الدوال الأصلية للدالة     على          شروط على الدالة  
                                       
                               
                                 من أجل كل    من    
                   من أجل كل     من   
                               كم أجل كل    من