ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الدوال العددية/الدوال اللوغارتمية

الدرس

تعريف

الدالة $t \mapsto \frac{1}{t}$ مستمرة على المجال $]0;+\infty[$ فهي تقبل إذن دوالا أصلية من هذا المجال و تقبل بصفة خاصة دالة أصلية وحيدة و تأخذ القيمة $0$ من أجل القيمة $1$ للمتغير .

تعريف : نسمي الدالة اللوغاريتم النيبيري و نرمز اليها بالرمز $\ln$ الدالة الأصلية على المجال $]0;+\infty[$ للدالة $t \mapsto \frac{1}{t}$ و التي تنعدم عند $1$

ترميز : نرمز الى اللوغاريتم النيبيري لعدد $x$ من $]0;+\infty[$ بـ $\ln (x)$ و أحيانا $\ln x$

لدينا هكذا : من أجل كل $x$ من $\ln x=\int _1^x\frac{1}{t}dt ,~~~~]0;+\infty[$

مثال : باستعمال حاسبة نتحصل مثلا على : $\ln 3 \approx 1,09861$

نتائج

- من التعريف لدينا : $\ln (1)=0$

- الدالة اللوغاريتم النيبيري قابلة للاشتقاق على $]0;+\infty[$ و لدينا من أجل كل $x$ من $(\ln )'(x)=\frac{1}{x},~~]0;+\infty[$

- من أجل كل $x$ من $\frac{1}{x}>0,]0;+\infty[$ و منه الدالة $\ln$ متزايدة تماما على المجال $]0;+\infty[$

$x$	$0$ $1$ $+\infty$
$\ln '(x)$	$\|\|$ $+$
$\ln x$	$\|\|$ $\nearrow$ $0$ $\nearrow$

نستنتج الخواص التالية :

خواص : من أجل كل عددين حقيقيين $a$ و $b$ من $]0;+\infty[$ :

1) $\ln a =\ln b$ يعني $a=b$

2) $\ln a< \ln b$ يعني $a<b$

إشارة ln(x)

lمن أجل كل $x$ من $]0;+\infty[$ لدينا :

* $\ln x=0$ يعني $x=1$

* $\ln x>0$ يعني $x>1$

* $\ln x<0$ يعني $0<x<1$

الخواص الجبرية

1- الخاصية الأساسية :

خاصية : من أجل كل عددين حقيقيين $a$ و $b$ من $\ln (ab)=\ln a +\ln b;]0;+\infty[$

البرهان : $a$ عدد حقيقي موجب تماما . نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $]0;+\infty[$ بـ $f(x)=\ln (ax)-\ln (x)$

من أجل كل $x$ من $]0;+\infty[$ , $f'(x)=a\times \frac {1}{ax}-\frac{1}{x}$ و منه $f$ دالة ثابتة على $]0;+\infty[$

لدينا $f(1)=\ln (a)-\ln (1)=\ln (a)$ . إذن من أجل كل $x$ من $f(x)=\ln (a), ]0;+\infty[$ و بالتالي :

$\ln (ax )-\ln (x)=\ln (a)$ و هكذا من أجل كل $x$ من $]0;+\infty[$ , $f(x)=\ln (ax)=\ln (a)+\ln (x)$ نأخذ $x=b$

ملاحظة : يتم تعميم هذه النتيجة الى عدة أعداد حقيقية موجبة تماما و هكذا يكون لدينا :

من أجل كل أعداد حقيقية $a_n , ......, a_2, a_1$ من $]0;+\infty[$ , $\ln (a_1, a_2,.....,a_n)=\ln a_1+\ln a_2+.......+\ln a_n$

2- ننتائج :

نتيجة 1 : من أجل كل عددين حقيقيين $a$ و $b$ من $]0;+\infty[$

$\ln \left ( \frac{1}{a} \right )=-\ln a$ و $\ln \left ( \frac{a}{b} \right )=\ln a -\ln b$

البرهان :

* من أجل $a$ من $a\times \frac{1}{a}=1;~~]0;+\infty[$ و منه $\ln \left ( a\times \frac{1}{a} \right )$ أي $\ln (a)+\ln \left ( \frac{1}{a} \right )=0$ و منه $\ln \left ( \frac{1}{a} \right )$

* من أجل $a$ و $b$ من $\ln \left ( \frac{a}{b} \right )=\ln \left ( a \times \frac{1}{b} \right )=\ln \left ( \frac{1}{b} \right ) =\ln a -\ln b$

نتيجة 2 : من أجل كل $a$ من $]0;+\infty[$ و من أجل كل $n$ من $\mathbb{Z}$ , $\ln (a^n )=n\ln a$

البرهان : $a$ عدد حقيقي من $]0;+\infty[$ و $n$ عدد صحيح نسبي . نميز الحالات التالية :

1- الحالة الاولى : $n\geq 0$ نستعمل البرهان بالتراجع . و من أجل ذلك نسمي $P(n)$ الخاصية $\ln (a^n)=n\ln a$

- من أجل $n=0$ لدينا : $\ln (a^0)=\ln (1)=0=0\ln a$ و بالتالي $P(0)$ صحيحة

- فرضية التراجع : نفرض صحة $P(n)$ من أجل $n$ حيث $n\geq 0$ أي $\ln (a^n)=n\ln a$

- وراثية الخاصية ابتداء من الرتبة $0$ : نبرهن صحة $P(n+1)$ أي $\ln (a^{n+1})=(n+1)\ln a$ لدينا :

$\ln (a^{n+1})=\ln (a^n\times a)=\ln (a^n)+\ln (a^n)+\ln a=n\ln a +\ln a =(n+1)\ln a$ و منه $P(n+1)$ صحيحة

الخلاصة : من أجل كل عدد طبيعي $\ln (a^n)=n\ln a ~~, n$

2- الحالة الثانية : $\ln (a^n )=\ln \left ( \frac{1}{a^n} \right )=-\ln (a^{-n} )=-(n)\ln a =n\ln a ~~, n<0$ لأن $-n>0$

نتيجة 3: من أجل كل عدد حقيقي $a$ من $\ln (\sqrt a)=\frac{1}{2}\ln a ,~~~]0,+\infty[$

البرهان : من أجل $a$ من $\ln a =\ln [(\sqrt a)]^2=2\ln (\sqrt 2);~~]0;+\infty[$ و منه $\ln (\sqrt a)=\ln {1}{2}\ln a$

دراسة دالة اللوغاريتم النيبيري

1- النهايات :

خواص : نهاية الدالة $\ln$ عند $+\infty$ هي $+\infty$ و نهايتها عند $0$ هي $-\infty$

$\lim_{x\rightarrow +\infty}\ln x=+\infty ~~~(1)$ و $\lim_{x\rightarrow 0}\ln x=-\infty$

البرهان :

- تقبل دون برهان الخاصية (1)

- من أجل $x$ من $]0;+\infty[$ نضع $X=\frac{1}{x}$ و منه $\ln X=\ln \left ( \frac{1}{x} \right )=-\ln x$ لدينا $\lim_{x\underset{>}{\rightarrow}0}X=+\infty$

و من الخاصية (1) لدينا : $\lim_{X\rightarrow +\infty}(-\ln X)=-\infty$ وهكذا فإن : $\lim_{x\rightarrow 0}\ln x=\lim_{X\rightarrow +\infty}(-\ln X)=-\infty$

2- جدول التغيرات :

- دالة اللوغاريتم النيبيري قابلة للاشقاق على $]0;+\infty[$ و لدينا من أجل كل $x$ من $]0;+\infty[$ , $(\ln )'(x)=\frac{1}{x}$

- من أجل كل $x$ من $\frac{1}{x}>0, ~~~]0;+\infty[$ و منه الدالة $\ln$ متزايدة تماما على المجال $]0;+\inty [$

$x$

$0$ $1$ $+\infty$

$\ln '(x)$

$||$ $+$

$\ln x$

$\nearrow$ $+\infty$

$\nearrow$ $0$

$||$ $-\infty$

3- التمثيل البياني :

ليكن $(C)$ التمثيل البياني لدالة اللوغاريتم النيبيري في معلم متعامد و متجانس $(O,\vec i ;\vec j )$ .

- المنحنى $(C )$ الممثل للدالة اللوغاريتم النيبيري يقبل محور التراتيب كمستقيم مقارب .

- لدينا $\ln '(1)=1$ و $\ln 1=0$ إذن يقبل المنحني $(C)$ عند النقطة ذات الفاصلة $1$ مماسا $(\Delta ): y=x-1$

* العدد $e$ :

الدالة $\ln$ مستمرة و متزايدة تماما على المجال $]0;+\infty[$ و تأخذ قيمتها في $\mathbb{R}$ , حسب مبرهنة القيم المتوسطة المعادلة $\ln x=1$ تقبل حلا وحيدا في المجال $]0;+\infty[$ نرمز الى هذا الحل بالرمز $e$ .

تعريف : العدد $e$ هو العدد الذ ي لوغاريتمية النيبيري يساوي $1$ . $(\ln e =1)$ تعطينا الحاسبة $e\approx 2,718281828$ .

دراسة الدالة ln o u

1- النهايات :

لدراسة نهاية دالة $\ln \circ u$ مستعمل المبرهنة الخاصة بنهاية مركبة .

مثال : نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $]2;+\infty[$ بـ $f(x)=\ln (x-2)$

- لدينا $\lim_{x\rightarrow 2}(x-2)=0$ و بما أن $\lim_{X\rightarrow 0}\ln X =-\infty$ فإن $\lim_{x\rightarrow 2}\ln (x-2)=-\infty$ أي $\lim_{x\rightarrow 2}f(x)=-\infty$

- لدينا $\lim_{x\rightarrow +\infty }(x-2)=+\infty$ و بما أن $\lim_{X\rightarrow +\infty }\ln X=+\infty$ فإن $\lim_{x \rightarrow +\infty}\ln (x-2)=+\infty$ أي $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$

2- اتجاه التغيرات :

خاصية : إذا كانت $u$ دالة معرفة و موجبة تمما على مجال فإن الدالتين $u$ و $\ln \circ u$ نفس اتجاه الغيرات على المجال $I$ .

البرهان :

نعلم أن الدالة $\ln$ متزايدة تماما على المجال $]0;+\infty[$ , إذن حسب المبرهنة الخاصة باتجاه تغير دالة مركبة يكون للدالتين و نفس اتجاه التغيرات .

مثال : نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $]1;+\infty [$ بـ $f(x)=\ln \left (\frac{3}{x-2} \right )$

نلاحظ أن $f=\ln \circ u$ حيث $u$ هي الدالة المعرفة على $]1;+\infty[$ بـ $u(x)=\frac{3}{x-1}$

بما أن الدالة $u$ متناقصة تماما على المجال $]1,+\infty[$ فإن الدالة $f$ متناقصة تماما على المجال $]1;+\infty[$ .

3- المشتقة و دوال أصلية :

خاصية : إذا كانات $u$ دالة قابلة للاشتقاق و موجية تماما على مجال $I$ فإن :

- الدالة $\ln \circ u$ قابلة للاشتقاق على $I$ و لدينا من أجل $x$ من $(\ln \circ u)'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}$

- الدالة $x \mapsto \ln [u(x)]$ دالة ألية للدالة $x \mapsto \frac{u'(x)}{u(x)}$ على $I$

البرهان :

- يكفي تطبيق المبرهنة المتعلقة بمشتقة دالة مركبة

- يكفي حساب مشتقة الدالة $x \mapsto \ln [u(x)]$ .

مثال :

- مشتقة الدالة $f$ المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ $f(x)=\ln (x^2+x+1)$ هي $f'(x)=\frac{2x+1}{x^2+x+1}$

- الدالة $F$ حيث $F(x)=\ln (2x+1)$ هي دالة أصلية للدالة $f$ حيث $f(x)=\frac{2}{2x+1}$ على $\left ] -\frac{1}{2};+\infty \right [$