ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الدوال العددية/الدوال الأسية

الدرس

تعريف الدالة الأسية

تعريف :

الدالة الأسية التي نرمز لها بالرمز $\exp$ هي الدالة المعرفة على $\mathbb{R}$ و التي ترفق بكل $x$ من $\mathbb{R}$ العدد الحقيقي الموجب تماما $y$ حيث $x=\ln (y)$

من أجل كل $x$ من $\mathbb{R}$ و من أجل كل $y$ من $]0;+\infty[$ , $y=\exp(x)$ يعني $x=\ln (y)$

الرمز e

خاصية : من أجل كل عدد صحيح نسبي $\ln (e^n)=n,~~n$ ,

البرهان : من أجل كل عدد صحيح نسبي $n$ لدينا : $\ln(e^n)=n\ln (e)=n$

لدينا إذن : من أجل كل عدد صحيح نسبي $\ex^(n)=e^n,~~n$

لصطلاحا نرمز , من أجل كل عدد حقيقي $x$ الى $\exp (x)$ بـ $e^x$

من أجل كل عدد حقيقي $\exp (x)=e^x,~~x$

تقرأ $e^x$ : " أسية $x$ "

بعض خواص الدوال الأسية

من التعريف و باستعمال الترميز $e^x$ نستنتج الخواص التالية :

خواص :

(1) من أجل كل $\mathbb{R}$ من $e^x>0$

(2) من أجل كل $x$ من $\mathbb{R}$ و من أجل كل $y$ من $]0;+\infty[$ , $y=e^x$ يعني $x=\ln (y)$

(3) من أجل كل $x$ من $\ln (e^x)=x$

(4) من أجل كل $x$ من $e^{\ln (x)}=x,~~]0;+\infty[$

أمثلة :

- لدينا $\ln (1)=0$ و منه $e^0=1$

- لدينا $\ln (e)=1$ و منه $e^1=e$

خواص أخرى : من أجل كل عددين حقيقيين $a$ و $b$ لدينا :

(5) $e^a=e^b$ يعني $a=b$

(6) $e^a<e^b$ يعني $a<b$

البرهان :

- $e^a=e^b$ يعني $\ln(e^a)=\ln (e^b)$ أي $a=b$

- $e^a<e^b$ يعني $\ln (e^a)<\ln (e^b)$ أي $a<b$

ملاحظة : الدالة الأسية متزايدة تماما على $\mathbb{R}$ .

الخواص الجبرية

1- الخاصية الأساسية :

خاصية : من أجل كل عددين حقيقيين $a$ و $b$ , $e^{a+b}=e^ae^b$

البرهان :

لإثبات أن $\alpha=\beta$ مع $\alpha>0$ و $\beta>0$ يكفي أن نثبت أن $\ln \alpha =\ln \beta$

الأعداد $e^a$ , $e^b$ و $e^{a+b}$ موجبة تماما .

لدينا من جهة $\ln (e^{a+b})=a+b$ و لدينا من جهة ثانية $\ln (e^ae^b)=\ln (e^a)+\ln (e^b)=a+b$

و منه $\ln (e^{a+b})=\ln (e^ae^b)$ إذن $e^{a+b}=e^ae^b$

نقول عن الدالة الأسية أنها تحول مجموع الى جداء

أمثلة : $e^{ x^2-2}=e^{x^2}\times e^{2}$

ملاحظة : يتم تعميم هذه النتيجة الى عدة أعداد حقيقية و هكذا يكون لدينا :

من أجل كل أعداد حقيقية $e^{a_1+a_2+.....+a_n}=e^{a_1}e^{a_2}......e^{a_n}~~~~,a_n,.........,a_2,a_1$

2- نتائج :

نتيجة : من أجل كل عددين حقيقيين $a$ و $b$

$e^{-a}=\frac{1}{e^a}$ و $e^{a-b}=\frac{e^a}{e^b}$

البرهان :

* من أجل كل عدد حقيقي $a$ لدينا :

$e^a\times e{-a}=e^{a-a}=1$ و بالتالي $e^{-a}=\frac{1}{e^a}$

* من أجل كل عددين حقيقيين $a$ و $b$ لدينا :

$e^{a-b}=e^{a+(-b)}=e^a\times e^{-b}=e^a\times \frac{1}{e^b}=\frac{e^a}{e^b}$

أمثلة : $e^{2x-3}=\frac{e^{2x}}{e^3}$ , $\frac{e^{2x-5}}{e^{x+1}}=e^{(2x-5)-(x+1)}$

نتيجة 2: من إجل كل عدد حقيقي $a$ و من أجل كل صحيح نسبي $(e^a)^n=e^{na}~~,n$

البرهان :

العددان $(e^a)^n$ و $e^{na}$ موجبان تماما

لدينا من جهة $\ln [(e^a)^n]=n\ln (e^a)=na\ln (e)=na$ و لدينا من جهة ثانية $\ln (e^{na})=na\ln (e)=na$

و منه $\ln [(e^a)^n]=\ln (e^{na})$ إذن $(e^a)^n=e^{na}$

أمثلة

$e^{3x}=(e^x)^3,e^{2x}=(e^x)^2$

دراسة الدالة الأسية

1- النهايات :

خواص : نهاية الدالة $\exp$ عند $+\infty$ هي $+\infty$ و نهايتها عند $-\infty$ هي $0$

$\lim_{x\rightarrow +\infty}e^x=+\infty ~~~~(1)$ و $\lim_{x\rightarrow -\infty }e^x=0~~~(2)$

البرهان :

- نقبل دون برهان الخاصية (1)

- من أجل $x$ من $\mathbb{R}$ نضع $X=-x$ و منه $e^x=e^{-X}=\frac{1}{e^X}$ لدينا $\lim_{x\rightarrow -\infty }X=+\infty$

و من الخاصية (1) لدينا : $\lim_{X\rightarrow +\infty}(e^X)=+\infty$ و هكذا فإن $\lim_{X\rightarrow +\infty }\frac{1}{e^X}=0$

و بالتالي فإن حسب المبرهنة النتعلقة بنهاية دالة مركبة $\lim_{x\rightarrow -\infty }e^x=0$

2- مشتقة الدالة الأسية :

خاصية : الدالة الأسية قابلة للاشتقاق على $\mathbb{R}$ و لدينا من أجل كل $x$ من $\exp '(x)=e^x:\mathbb{R}$

البرهان : نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ $f(x)=\ln \left [ \exp (x) \right ]$

نلاحظ أن $f=\ln \circ u$ حيث $u:x \mapsto \exp (x)$

الدالة $f$ تقبل الاشتقاق على $\mathbb{R}$ و لدينا من أجل كل $x$ من $\mathbb{R}$ , $f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{\exp '(x)}{\exp (x)}$

نعلم من جهة ثانية أن $f(x)=\ln (e^x)=x$ و منه $f'(x)=1$ و هكذا فإن من أجل كل $x$ من $\mathbb{R}$ , $\frac{\exp '(x)}{\exp (x)}=1$

و هذا يعني أن $\exp'(x)=\exp (x)=e^x$

نتائج :

- الدالة الأسية متزايدة تماما على $\mathbb{R}$ لأن من أجل كل $x$ من $\mathbb{R}$ , $e^x>0$

- دالة أصلية للدالة $x \mapsto e^x$ على $\mathbb{R}$ هي الدالة $x \mapsto e^x$ نفسها .

3- التمثيل البياني :

$x$

$-\infty$ $0$ $1$ $+\infty$

$\ln '(x)$

$+$

$\ln x$

$+\infty$

$e$ $\nearrow$

$1$ $\nearrow$

$-\infty$ $\nearrow$

معادلة المماس عند النقطة التي فاصلتها $0$ هي : $y=x+1$

دراسة الدالة exp o u

1- النهايات :

لدراسة نهاية $\exp \circ u$ نستعمل المبرهنة الخاصة بتخاية دالة مركبة

مثال :

نعتبرالدالة $f$ المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ $f(x)=e^{-x+2}$

- لدينا $\lim_{x\rightarrow +\infty}(-x+2)=+\infty$ و بما أن $\lim_{x\rightarrow +\infty}e^x=+\infty$ فإن $\lim_{x\rightarrow -\infty}e^{-x+2}=+\infty$ أي $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=+\infty$

- لدينا $\lim_{x\rightarrow +\infty}(-x+2)=-\infty$ و بما أن $\lim_{X\rightarrow -\infty}e^{X}=0$ فإن $\lim_{x\rightarrow +\infty}e^{-x+2}=0$ أي $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0$

2- اتجاه التغيرات :

خاصية : إذا كانت $u$ دالة معرفة على مجال $I$ فإن للدالتين $u$ و $\exp \circ u$ نفس اتجاه التغيرات على المجال $I$ .

البرهان :

نعلم أن الدالة $\exp$ متزايدة على المجال $\mathbb{R}$ إذن حسب المبرهنة الخاصة باتجاه تغير دالة يكون للدالتين $u$ و $\exp \circ u$ نفس اتجاه التغيرات على المجال $I$

مثال :

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ $f(x)=e^{x^2-1}$

نلاحظ أن $f=\exp \circ u$ حيث $u$ هي الدالةالمعرفة على $\mathbb{R}$ بـ $u(x)=x^2-1$

بما أن الدالة $u$ متناقصة تماما على المجال $]-\infty,0]$ فإن الدالة $f$ متناقصة تماما على المجال $]-\infty;0]$ .

بما أن الدالة $u$ متوايدة تماما على المجال $[0;+\infty[$ فإن الدالة $f$ متزايدة تماما على المجال $[0;+\infty[$

3- المستقة و دوال أصلية :

خاصية : إذا كانت $u$ دالة قابلة للاشتقاق على مجال $I$ فإن :

-الدالة $\exp \circ u$ قابلة للاشتقاق على $I$ و لدينا من أجل كل $x$ من $I$

$(\exp \circ u)'(x)=u'(x)e^{u(x)}$

- الدالة $x \mapsto e^{u(x)}$ دالة أصلية للدالة $x \mapsto u'(x)e^{u(x)}$ على $I$

البرهان :

- يكفي تطبيق النبرهنة المتعلقة بمشتقة دالة مركبة .

- يكفي حساب مشتقة الدالة $x \mapsto e^{u(x)}$ .

مثال :

- مشتقة الدالة $f$ المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ $f(x)=e^{x^2+x+1}$ هي $f'(x)=(2x+1)e^{x^2+x+1}$

- الدالة $F$ حيث $F(x)=e^{-x^2}$ هي دالة أصلية للدالة $f$ حيث $f(x)=-2xe^{-x^2}$ على $\mathbb{R}$

تمرين شامل

فيما يلي تمرين شامل حول دراسة دالة عددية في هذا الفيديو: