ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الدوال العددية/الإشتقاقية 1

تعريف

دالة عددية قابلة للإشتقاق على المجال المفتوح  نسمي الدالة التي ترفق بكل عدد حقيقي   من المجال  العدد المشتق 

الدالة المشتقة الأولى للدالة   نرمز إليه بالرمز  .

مثال : 

 قابلة للإشتقاق على  من أجل كل عدد حقيقي  العدد المشتق  هو  إذن  : 

العدد المشتق-الدالة المشتقة

تعريف :

 دالة معرفة على المجال  من  ,  و  عددان حقيقيان من  مع  .

نقول أن  تقبل الإشتقاق عند  إذا قبلت النسبة  ، نهاية محدودة لما يؤول   إلى  .تسمى هذه النهاية 

العدد المشتق للدالة   عند   و نرمز لها بالرمز  .

ملاحظة : 

يوضع :  

لدينا :

أو :

المشتقات و العمليات على الدوال

                    ملاحظات

                الدالة 

                    الدالة 

                                           ثابت حقيقي        

        

                                       

        

                                                           
                                                    
                                                       
                                                      

                        

                                 دالة قابلة  للإشتقاق على  

           
                      و  دالين قابلتين  للإشتقاق على             
                      و  دالين قابلتين  للإشتقاق على           

                    و  دالين قابلتين  للإشتقاق على  

                                           و 

         

                 

         

                                           

         

 

 

 

التفسير الهندسي للعدد المشتق

إذا كانت  قابلة للإشتقاق من اليسار عند  فإن المنحنى  يقبل في النقطة  نصفي مماس في هذه الحالة النقطة  

تدعى نقطة زاوية معناه : 

مماس منحنى الدالة

الملخص مماس منحنى الدالة

إذا قبلت الدالة  للإشتقاق عند  فإن المنحنى  يقبل في النقطة   مماسا معامل توجيهه العدد  

و تكون معادلة المماس : 

للمزيد من التفاصيل اليك الفيديوهات التالية :

الفيديو الأول : 

قابلية الاشتقاق في عدد

- نقول إن دالة    قابلة للاشتقاق في العدد    إذا كانت : 

هذه النهاية تسمى العدد المشتق للدالة    في   و يرمز له بالرمز  : 

 

معادلة المماس لمنحنى الدالة

الملخص معادلة المماس لمنحنى الدالة

لتكن    دالة قابلة للاشتقاق في  

معادلة المماس لمنحتى الدالة    في النقطة التي فاصلتها    هي : 

ملاحظة : 

الدالة    المعرفة على   كمايلي : 

   تسمى الدالة التآلفية المماسة لمنحنى الدالة     في النقطة التي قاصلتها    و هي تقريب للدالة    بجوار 

قابلية الاشتقاق على اليمين -قابلية الاشتقاق على اليسار

- نقول إن الدالة    قابلة للاشتقاق على اليمين في   إذا كانت : 

هذه النهاية تسمى العدد المشتق للدالة     على يمين  

- نقول إن الدالة     قابلة للاشتقلق على اليسار في    إذا كانت : 

هذه النهاية تسمى العدد المشتق للدالة   على يسار  

ملاحظة : 

تكون دالة    قابلة للاشتقاق في    إذا كانت     قابلة للاشتقاق على اليمين في    و على اليسار في     و : 

الاشتقاق و الاستمرارية

إذا كانت    دالة قابلة للاشتقاق في العدد  

فإن  :     دالة مستمرة في العدد 

جدول مشتقات بعض الدوال المألوفة

0
x 1

العمليات على الدوال المشتقة

مشتق مركب دالتين

مشتق الدالة الجذر

الاشتقاق و اتجاه تغير دالة

لتكن    دالة قابلة للاشتقاق على المجال   .

اتجاه تغي الدالة  إشارة 
  متناقصة على المجال 
  متزايدة على المجال 
  ثابتة على المجال 

 

الاشتقاق و التفسير الهندسي

التفسير الهندسي  قابلية الاشتقاق  النهاية   

المنحنى الممثل للدالة    يقبل مماسا في النقطة   

a معامل توجيهه 

  قابلة للاشتقاق في  1
المنحنى الممثل للدالة    يقبل مماسا أفقيا في النقطة   قابلة للاشتقاق في     2

المنحنى الممثل للدالة   يقبل نصف مماس في النقطة

 على اليمين  معامل توجيهه حامله 

  قابلة للاشتقاق على يمين     3
المنحنى الممثل للدالة    يقبل نصف مماس افقي على اليمين في النقطة      قابلة للاشتقاق على يمين     4
المنحنى الممثل للدالة    يقبل نصف مماس عمودي على اليمين في النقطة    موجه نحو الاسفل    غير قابلة للاشتقاق على يمين    5
المنحنى الممثل للدالة   يقبل نصف مماس عمودي على اليمين في النقطة    موجه نحو الاعلى    غير قابلة للاشتقاق على يمين    6
المنحنى الممثل للدالة    يقبل نصف مماس في النقطة    على اليسار معامل توجيه حامله     قابلة للاشتقاق على يسار     7
المنحنى الممثل للدالة    يقبل نصفر مماس افقي على اليسار في النقطة    قابلة للاشتقاق على يسار      8
المنحتى الممثل للدالة  يقبل نصف مماس عمودي على اليسار في النقطة   موجه نحو الاعلى    غير قابلة للاشتقاق على يسار    9
المنحنى الممثل للدالة    يقبل نصف مماس عمودي على اليسار في النقطة   موجه نحو الاسفل    غير للاشتقاق على يسار     10

التفسير البياني

الملخص التفسير البياني
2- المنحنى الممثل للدالة    يفبل ماسا أفقيا في النقطة  1- المنحمى الممثل للدالة    يقبل مماسا في النقطة    معامل توجيهه 
4- المنحنى الممثل للدالة    يقبل نصف مماس أفقي على اليمين في النقطة  3- المنحنى الممثل للدالة   يقبل نصف مماس في المقطة   على اليمين معامل توجيه حامله 
6- المنحنى الممثل للدالة    يقبل نصف مماس عمودي على اليمين في النقطة موجه نحو الأعلى  5- المنحنة الممثل للدالة   يقبل نصف مماس عمودي على اليمين في النقطة   موجه نحو الاسفل 
8- المنحنى الممثل للدالة   يقبل نصف مماس افقي على اليسار في النقطة  7- المنحنى الممثل للدالة    يقبل نصف مماس فب المقطة    على اليسار معامل توجيه حامله a
10- المنحنى الممثل للدالة   يقبل نصف مماس عمودي على اليسار في النقطة    موجه نحو الاسفل  9- المنحنى الممثل للدالة    يقبل نصف مماس عمودي على اليسار في النقطة    موجه نحوالاعلى 

نهايات تتعلق بالاشتقاقية

 

الملاحظات التفسير الهندسي  النهاية
النهاية تعني ان الدالة تقبل الاشتقاق عند القيمة  المنحنى  يقبل عند النقطة ذات الفاصلة  -مماسا معامل توجيههه   او 

النهاية تعنى ان الدالة  لا تقبل الاشتقاق عند القيمة 

لاحظ هنا ان النقطة ذات الفاصلة  نقطة انعطاف ل 

المنحنى  يقبل عند النقطة ذات الفاصلة   مماسا يوازي محور التراتيب

او

نهايات تتعلق بالدوال التى تحقق  :

 

 

الملاحظات  التفسير الهندسي  النهاية 
النهاية تعنى ان الدالة تقبل الاشتقاق عند 0 االمنحنى   يقبل عند المبدا مماسا معامل توجيهه   

النهاية تعنى ان الدالة لا تقبل الاشتقاق عند 0

*لاحظ ا هنا المبدا نقطة انعطاف ل 

المنحنى  يقبل عند المبدا مماسا يوازي محور التراتيب   او 
النهاية تعني ان الدالة  تقبل الاشتقاق عند 0 من اليمين .     يقبل  عند المبدا نصف مماس ( من اليمبن) معامل توجيهه   
النهاية تعني ان الدالة   تقبل الاشتقاق عند 0 من اليسار   يقبل عند المبدا نصف مماس (من اليسار) معامل توجيهه    
النهاية تعني ان الدالة لا تقبل الاشتقاق عند 0 من اليمين   يقبل عند المبدا نصف مماس يوازي محور التراتيب   او 
النهاية تعني ان الدالة  لا تقبل الاشتقاق عند 0 من اليسار   يقبل عند المبدا نصف مماس يوازي محور التراتيب   او