ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الأعداد و الحساب/Z الموافقات في

تعريف

تعريف

  عدد طبيعي غير معدوم , القول أن عددين صحيحين  و  متوافقان بترديد   يعني أن للعددين  و  نفس الباقي في القسمه الإقليديه على  .

من التعريف 

* نكتب 

* نقرأ   يوافق  بترديد 

مثال 

- العددان  و  متوافقان بترديد   ونكتب 

-للعددين   و  نفس الباقي في القسمه على   هو  .

 و 

ملاحظه 

من أجل كل عدد صحيح  : 

مبرهنه

 و  عددان صحيحان , و عدد طبيعي غير معدوم . يكون للعددين  و نفس  الباقي في القسمه الإقليديه على  إذا وفقط إذا كان   مضاعفا للعدد 

مثال 

العدد  مضاعف للعدد 

ونكتب 

العددان  و  متوافقان بترديد 

ونكتب 

للعددين  و  نفس الباقي في القسمه على  هو 

حيث  و

خاصيه 

  عدد طبيعي غير معدوم يختلف عن  

كل عدد صحيح   يوافق بترديد  , باقي قسمته على n

 و 

حيث  عدد صحيحي و  

ملاحظه 

إذا كان   نقول عن  أنه باقي قسمه  على  في حاله إذا كان

مثال

 ليس باقي قسمه  على  لأن 

 

باقي قسمه  على  هو لأن 

مبرهنة

مبرهنة: 

  و  عددان صحيحان و  عدد طبيعي غير معدوم .   و  لهما نفس الباقي في القسمة الاقليدية على  ،إذا و فقط إذا كان  مضاعف ل  .

البرهان : 

نفرض أن   و  لهما نفس الباقي   في القسمة الاقليدية على   .

و منه نضع  و  حيث  و  عددين صحيحين و  .

ومنه 

بما أن  عدد صحيح فإن  مضاعف ل  .

عكسيا :

نفرض  مضاعف ل   . يوجد عدد صحيح  حيث أن  .

ليكن  باقي قسمة  على  .

لدينا  حيث  عدد صحيح و  .

ومنه : 

بما أن  عدد صحيح و  فإن   باقي القسمة الاقليدية للعدد   على  .

ومنه   و   لهما نفس الباقي في القسمة الاقليدية على  .

نتيجة : 

  و  عددان صحيحان و  عدد طبيعي غير معدوم .   و   متوافقان بترديد  إذا و فقط إذا كان  مضاعف ل  .

 

خواص

خاصية 1 :

 عدد طبيعي غير معدوم يختلف عن   .

كل عدد صحيح  يوافق باقي قسمته على  ، بترديد  .

البرهان :

 عدد صحيح و  باقي قسمته على  ، 

نعلم أن  حيث  عدد صحيح . ومنه 

و بالتالي  مضاعف ل  .

خاصية 2 :

 عدد طبيعي غير معدوم . من أجل كل عدد صحيح  لدينا  .

البرهان :

 عدد صحيح .  و  لهما نفس الباقي في القسمة الاقليدية على  و منه  .

خاصية 3 : 

 عدد طبيعي غير معدوم . و  عددان صحيحان . إذا كان  فإن  .

البرهان : 

 و  عددان صحيحان حيث  .

 يعني  ( عدد صحيح ) ومنه  . بما أن  عدد صحيح فإن  .

خاصية 4:

 عدد طبيعي غير معدوم .  ،  و  أعداد صحيحة . إذا كان ( و ) فإن  .

البرهان :

  ،  و  أعداد صحيحة . حيث أن  ( و ) .

( و ) يعني ( و ) ( و  عددان صحيحان ) ومنه و بالجمع نحصل على 

بما أن  عدد صحيح  فإن  .

خاصية 5 :

 عدد طبيعي غير معدوم .  ،  ،  و  أعداد صحيحة :

إذا كان ( و ) فإن

البرهان :

  ،  ،  و  أعداد صحيحة . حيث أن  ( و 

( و ) يعني ( و ) ( و  عددان صحيحان ) ومنه و بالجمع نحصل على

 بما أن  عدد صحيح  فإن  .

خاصية 6 :

 عدد طبيعي غير معدوم .  ،  ،  و  أعداد صحيحة :

إذا كان ( و ) فإن

البرهان :

  ،  ،  و  أعداد صحيحة . حيث أن  ( و ) .

( و ) يعني ( و ) ( و  عددان صحيحان ) ومنه

لدينا 

 بما أن  عدد صحيح  فإن  .

خاصية 7 : 

 عدد طبيعي غير معدوم .  و  عددان صحيحان .

من أجل كل عدد صحيح  . إذا كان  فإن  .

البرهان :

  و  عددان صحيحان .حيث أن  ليكن  عدد صحيح .

 إذن بتطبيق الخاصية 6 نحصل على  .

خاصية 8 : 

 و  عددان طبيعيان غير معدومين .  و  عددان صحيحان .إذا كان  فإن   .

البرهان :

 و  عددان صحيحان حيث  .(نستعمل البرهان بالتراجع)

من أجل  لدينا  ترديدة صحيحة (من المعطيات )

نفرض   صحيحة من أجل عدد طبيعي  .

بتطبيق الخاصية 7 ،  أي  إذن الخاصية وراثية ابتداءا من  .

إذن من أجل كل عدد طبيعي غير معدوم  . إذا كان   فإن   .

الإستدلال بالتراجع

1- مبدأ الإستدلال بالتراجع : 

مسلمة :     خاصية متعلقة بعدد طبيعي    و   عدد طبيعي .

للبرهان على صحة الخاصية    من أجل كل عدد طبيعي    أكبر أو يساوي    يكفي أن :

1- نتأكد من صحة الخاصية من أجل    أي     

2- نفرض أن خاصية صحيحة من أجل عدد طبيعي كيفي    أكبر أو يساوي     أي    (فرضية التراجع ) و نبرهن صحة الخاصية من أجل    أي     . 

لاحظ المخطط المرفق : 

الخلاصة : من أجل كل عدد طبيعي   أكبر من أو يساوي       صحيحة  

ملاحظة : بصفة عامة المرحلة الأولى تتمثل في عملية تحقق بسيطة لا تطرح أي مشل إلا أنها تبقى ضرورية لأنه يمكن لخاصية أن تكون وراثية و لكن خاطئة .

مثال : الخاصية : " من أجل كل عدد طبيعي    ,    مضاعف للعدد    "خاطئة رغم أنها وراثية . بالفعل :   

إذا كان     مضاعقا للعدد    فإنه يوجد عدد صحيح    بحيث    .

لدينا إذن      و منه      هو الآخر مضاعف للعدد   .

2- مثال : 

لنثبت صحة الخاصية التالية : من أجل كل عدد طبيعي   غير معدوم    

المرحلة الأولى :    من أجل    لدينا     و منه الخاصية صحيحة من أجل 

المرحلة التالية (الوراثة ) : 

نفرض صحة الخاصية من أجل عدد طبيعي    حيث    أي     

لنبرهن  صحةالخاصي من أجل    أي   : 

لدينا    

و منه  

الخلاصة : من اجل كل عدد طبيعي     غير معدوم