ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الأعداد المركبة/C العمليات الحسابية في

مرافق عدد مركب

تعريف :

مرافق العدد المركب z=x+iy هو العدد المركب x-iy  = 

خواص المرافق

الملخص خواص المرافق

1-        2-     3-

4-       5-  ; 

6-    ;   7- 

8-  ; 

 

نتائج

1) إذا كان z=x+iy ، فلدينا النتائج التالية : 

+ z

z-=2iy 

2) استخدام المرافق لاثبات أن Z حقيقي أو تخيلي صرف :  

Z حقيقي يعني 

Z تخيلي صرف يعني 

3) ملاحظة : في المستوي لمركب المنسوب إلى معلم متعامد ومتجانس (  O ) صورتا العددين المركبين المترافقين متناظرتان بالنسبة الى محور الفواصل

قابلية القسمة في Z

تعريف :

 a و  b عددان صحيحان و  a غير معدوم , القول أن العدد b  يعني وجود عدد صحيح  k  حيث :  b=ka   نقول كذلك  a  قاسم للعدد b  أو نقول كذلك b   مضاعف للعدد a

- نكتب  a|b  و نقرأ a  يقسم b

- في   للعددين a  و  a- نفس القواسم 

خواص : 

خاصية 1 : 

a,b,c  ثلاثة أعداد صحيحة غير معدومة 

إذا كان  a  يقسم  b  و b  يقسم  c  فإن a  يقسم c

خاصية 2 : 

a  و  b عددان صحيحان و a  غير معدوم 

إذا كان  a  يقسم  b فإنه من أجل كل عدد صحيح  m ; 

a  يقسم mb 

خاصية 3 : 

 a  و b  عددان صحيحان و a  غير معدوم 

إذا كان  a  يقسم  b فإنه من أجل كل عدد صحيح غير معدوم  ma  ,  m يقسم mb

خاصية 4: 

 a. b   و  c  ثلاثة أعداد صحيحة و a  غير معدوم 

إذا كان  a  يقسم العددين b و c  فإنه من أجل كل عددين صحيحين m  و a  ,  n  يقسم   mb +nc 

 

القسمة الاقليدية في Z

مبرهنة : 

a   عدد صحيح و b  عدد غير معدوم , توجد ثنائية وحيدة  (q,r)  من الاعداد الصحيحة حيث a=bq+r و  

- تسمى عملية البحث عن الثنائية   (q,r)  بالقسمة الاقليدية للعدد a   على العدد b

- يسمى  q و r  بهذا الترتيب حاصل و باقي القسمة الاقليدية للعدد  a  على العدد  b 

- يمكن تمديد مفهوم القسمة الإقليدية لعدد صحيح  a على عدد صحيح غير معدوم  b  و نحصل على : 

 a=bq+r    و   

- القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين : 

- مجموعة قواسم  0  هي 

تعريف : 

 a  و b  عددان طبيعيان غير معدومين    و     مجموعتا قواسم   a و b على الترتيب 

    هي مجموعة القواسم المشتركة للعددين a  و  b 

يسمى أكبر عنصر من المجموعة     بالقاسم المشترك الأكبر للعددين  a  و  b

و نرمز له بـ   

-      ( a  غير معدوم ) 

- مجموعة القواسم المشتركة لعددين طبيعيين غير معدومين هي مجموعة قواسم قاسمهما المشترك الأكبر 

- خواص القاسم المشترك الاكبر لعددين طبيعيين : 

- خاصية 1 :   a و b  عددان طبيعيان غير معدومين حيث     ,   باقي قسمة   a على b

 

خاصية 2 : القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين غير طبيعيين  a  و b   هو آخرباقي غير معدوم في سلسلة قسمات خوارزمية إقليدس 

خاصية 3 :  a  و b  عددان طبيعيان غيرمعدومين ,   k عدد طبيعي غير معدوم 

 

تعريف : a  و  b عددان طبيعيان غير معدومين 

يكون العددان  a و b  أولييين فيما بينهما إذا و فقط إذا قاسمهما المشترك الأكبر يساوي 1 

خاصية 4 : 

 a  و  b عددان طبيعيان غير معدومين    ,  d  قاسم مشترك للعددين a  و  b  , نضع     و    يكون  d  القاسم المشترك الأكبر للعددين a و b  إذا و فقط إذا و كان العددان الطبيعيان  'a  و 'b  أوليين فيما بينهما 

- تمديد القاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين:

تعريف :    

 a  و b  عددان صحيحان غير معدومين 

القاسم المشترك الأكبر للعددين  a و  b هو العدد الطبيعي الوحيد  d  حيث 

خاصية :   a و b عددان صحيحان غير معدومين   , k  عدد صحيح غير معدوم 

 

-   a و  b عددان صحيحان غير معدومين 

إذا كان  b   يقسم  a  فإن : 

 

 

الموافقات في Z

تعريف :  n  عدد طبيعي غير معدوم , القول أن عددين صحيحين a  و  b متوافقان يترديد  n  يعني  أن a  وb  لهما نفس الباقي في القسمة على  n و نرمز     و نقرأ  a  يوافق    b بترديد n

- من أجل كل عدد صحيح   x ;   

مبرهنة :   a و  b عددان صحيحان و n  عدد طبيعي غير معدوم  . a  و b  لهما نفس الباقي في القسمة الإقليدية على  n  إذا و فقط إذا كان  a-b   مضاعف لـ n

نتيجة :  a و b  عددان صحيحان و  n  عدد طبيعي غير معدوم   . a   و b  متوافقان بترديد  n  إذا و فقط إذا كان a-b   مضاعف لـ n

- خواص : 

خاصية 1 :    n عدد طبيعي غير معدوم يختلف عن 1 

            كل عدد صحيح  a  يوافق باقي قسمته على n  بترديد n

خاصية 2 :   n عدد طبيعي غير معدوم , من أجل كل عدد صحيح  a لدينا 

خاصية 3 :  n  عدد طبيعي غير معدوم ,  a و b   عددان صحيحان  . إذا كان    فإن 

خاصية 4 :  n  عدد طبيعي غير معدوم , a,b و c    أعداد صحيحة و إذا كان (    و    )   فإن  

خاصية 5 :  n عدد طبيعي غير معدوم  a ,b, c    و d أعداد صحيحة : 

إذا كان (      و    ) فإن    

خاصية 6 :  n  عدد طبيعي غير معدوم   a , b, c و d  أعداد صحيحة : 

إذا كان (    و   )   فإن    

خاصية 7 :   n عدد طبيعي غير معدوم  . a   و b  عددان صحيحان 

من أجل كل عدد صحيح     إذا كان     فإن 

خاصية 8 :   n و  p  عددان طبيعيان غير معدومين  . a   و b  عددان صحيحان . إذا كان      فإن 

- التعداد : 

مبرهنة :  x عدد طبيعي غير معدوم أكبر تماما من 1 . كل عدد طبيعي  a  أكبر من أن يساوي  x  يكتب بطريقة وحيدة على الشكل      حيث 

  و     مع  

 

 

 

التعداد ذو الأساس x

قاعدة :   x  عدد طبيعي غير معدوم أكبر تماما من 1 , يعتمد التعداد ذو الأساس  x على الاصلاحيين التاليين : 

1) إذا كان    (  a عدد طبيعي )  a  يمثل برمز وحيد يسمى رقما 

2) إذا كان      ( a عدد طبيعي ) من المبرهنة a    ينشر بطريقة وحيدة وفق العدد  x : 

   حيث : 

   و       مع 

يمثل العدد a    كمايلي :

الكتابة      هي كتابة العدد   a  في النظام ذي الاساس  x    إذا كان  x=10  نكتب : 

- الاعداد الاولية : 

تعريف : القول أن العدد الطبيعي  n عدد أولي معناه أن  n  يقبل قاسمين بالضبط في    :  1 و  n  نفسه 

-   0 غير أولي لأنه يقبل ما لا نهاية من القواسم 

-  1غير أولي لأنه يقبل قاسم واحد هو 1 

- 2 هو العدد الأولي الزوجي الوحيد 

- 2 ,3 , 5 , 7 , 11 ,13 , 17 , 19 , 23 هي الاعداد الاولية الاصغر من 25 

- خواص : 

خاصية 1 : كل عدد طبيعي   n  أكبر تماما من 1     يقبل على الاقل قاسما أوليا 

خاصية 2 : كل عدد طبيعي  n  عير أولي أكبر تماما من 1    يقبل قاسما أوليا  a  حيث  

خاصية 3 : مجموعو الاعداد الاولية غير منتهية 

طريقة : لمعرفة إذا كان طبيعي  n  أكبر تماما من 1    أوليا أم لا , نحسب 

- إذاكان    عددا طبيعيا أي n   مربع تام فإن غير أولي 

 إذا كان    غير طبيعي نقسم  n على الاعداد الاولية الأصغر من    على الترتيب 

-إذا وجدنا أحد البةاقي معدوما نتوقف و نقر أن   n غير أولي 

- إذا كانت كل البواقي غير معدومة نقر أن  n  أولي 

- تحليل عدد طبيعي الى جداء عوامل أولية : 

مبرهنة : كل عدد طبيعي غير أولي  n   حيث   يمكن تحليله الى جداء عوامل أولية 

- نقبل بدون برهان أن كل عدد طبيعي   n يقبل تحليلا وحيدا الى جداء عوامل أولية 

خاصية :  a و b عددان طبيعيان كلاهما أكبر تماما من 1 

يكون العدد b  قاسما للعدد a  إذا و فقط كان كل عامل أولي في تحليل b  موجودا في تحليل a   و بأس إما مساو و إما أصغر من أسه في تحليل a

طريقة : لإيجاد عدد قواسم طبيعي a  نحلل a  الى جداء عوامل أولية . الى كل أس في التحليل نضيف 1 ثم نحسب جداء الأعداد المحصل عليها 

 

المضاعف المشترك الأصغر لعددين

تعريف :  a و b  عددان طبيعيان غيرمعدومين ,    مجموعة مضاعفات  a ,    مجموعة مضاعفات b

   هي مجموعة المضاعفات المشتركة للعددين a  و   b

يسمى أصغر عنصر غير معدوم من المجموعة     المضاعف المشترك الأصغر للعددين a  و b

و نرمز له   

المضاف الوحيد لـ   0 هو 0

-  

- مجموعة المضاعفات المشتركة لعددين طبيعيين غير معدومين هي مجموعة المضاعفات المضاعف المشترك الأصغر لهما 

- تمديد المضاعف المشترك الاصغر لعددين صحيحين 

تعريف : a  و b  صحيحان غير معدومين 

المضاعف المشترك الاصغر للعددين  a و  b هو أصغر عدد طبيعي  m  غير معدوم حيث  

- خاصية للمضاعف  المشترك الأصغر لعددين طبيعيين : 

خاصية : a  و b   عددان طبيعيان غير معدومين ,  k عدد صحيح غير معدوم 

 

- حساب القاسم المشرك الأكبر باستعمال التحليل الى جداء عوامل أولية : 

خاصية : القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين a  و b كلاهما أكبر تماما من 1 هو جداء العوامل الأولية المشتركة في تحليلي العددين a  و b  بحيث يؤخذ كل عامل من هذه العوامل مرة واحدة بأصغر أس 

- حساب المضاعف المشترك الأأصغر باستعمال التحليلي الى جداء عوامل أولية

خاصية : المضاعف المشترك الأصغر لعددين طبيعيين a  و b  كلاهما أكبر تماما من 1     هو جداء العوامل الأولية المشتركة وغير المشتركة في تحليلي العددين  a و  b بحيث يؤخذ كل عامل من هذه العوامل مرة واحدة ة بأكبر أس

- العلاقة بين المضاعف المشترك الأصغر و القاسم المشترك الأكبر : 

خاصية : جداء عددين طبيعيين  a و b  كلاهما أكبر تماما من 1 مساو لجداء قاسمهما المشترك الأكبر و مضاعفهما المشترك الأصغر , بعبارة أخرى 

- مبرهنة :

مبرهنة : يكون عددان صحيحان   a و b  أوليين فيما بينهما إذا بينهما إذا و فقط إذا وجد عددانصحيحان  u و v  حيث : au+bv=1

خواص : 

خاصية 1 : إذا كان d  القاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين a  و b  فإنه   يوجد عددان صحيحان  u و  v حيث : au+bv=d

خاصية 2: إذا كان  a  عددا أوليا فإن a  أولي مع كل الأعداج التي لا يقسمها 

خاصية 3 : إذا كان   a عددا أوليا مع عددين صحيحين  b و c فإن   a أولي مع جدائهما 

مبرهنة غوص : 

مبرهنة :   a,b  و c  ثلاثة أعداد صحيحة غير معدومة 

إذا كان   a يقسم الجداء   bc و كان  a أوليا مع  b  , فإن  a  يقسم c

- خواص : 

خاصية 1 :  a  و b عددان طبيعيان غير معدومين  و   p عدد أولي 

إذا كان p   يقسم الجداء  ab فإن    يقسم   p  أو p   يقسم b

خاصية 2 :   b, a  و c  أعداد طبيعية غير معدومة 

إذا كان a   مضاعفا للعددين  b و  c و كان  b و  c أوليين فيما بينهما فإن  a  مضاعف للجداء bc