ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/فيزياء/الفصل الثاني/تطور جملة ميكانيكية

الملخص

مقاربة تاريخية لميكانيك نيوتن

1) مقاربة تاريخية لميكانيك نيوتن:

1 - 1) نبذة تاريخية:

منذ الفيزياء الأكثر حسية لأرسطو إلى غاية الفيزياء النسبية وتنبؤات آينشتاين، كان لفهم حركات الأجسام والفعل الجاذبي أثر كبير على الفكر، تمخضت عنه ثلاث ثورات على الأقل، أبرزها كان فيها الإنتقال من النظام المركزي الأرضي $(Geocentrique)$ لأرسطو إلى النظام المركزي الشمسي لكوبرنيك، وتفسير غاليلي ونيوتن للحركات.

- نظام أرسطو $Aristote (384-322)$ : ينقسم إلى ميكانيك أرضية وأخرى مثالية (علم الأجرام)، بحيث أن الأرض هي المركز الهندسي للكون وكان وصفه مبنيا على الحدس، بحيث يوجد نوعان من الحركات:

حركات طبيعية كالسقوط الحر، وحركة الكواكب

حركات عنيفة كالقذيفة مثلاً.

- نظام بطليموس $Ptolemee (140)$ : إقترح نظام حركة الأجرام مبنيا على فلك التدوير $(Epicycle)$ ، وفسر حركة الكواكب بالنسبة للمعلم الأرضي.

- نظام كوبرنيك $Copernic (1543-1473)$ : وضع فرضية النظام الهليومركزي $(Heliocentrique)$ ، وأثار عدة إشكاليات حول حركة بعض الكواكبن بحيث وضع $48$ مسار دائري لحركة الكواكب.

- نظام كبلر $Kepler (1630 - 1571)$ : عمل بالنظام الهليومركزي، ونشر سنة $1609$ قانونين:

ترسم الكواكب مدارات إهليجية لا دائرية.

سرعتها ليست ثابتة.

بحيث عوض $48$ بـ $7$ إهليجات ووضع قانون بين المسافة بين الكوكب والشمس ودور الحركة سوف نتطرق له في الدروس المقبلة.

- نظام غاليلي $Galilee (1642 - 1564)$ : إتبع كوبرنيك وشكك في المدارات الإهليجية وقدم البرهان القاطع الذي يفند كليا نظرية مركزية الأرض، فوضع قانون العطالة وبين أن التسارع ثابت في حقل الجاذبية الأرضية وفي شرحه للسقوط الحر.

- نظام نيوتن $Newton (1727 - 1642)$ : إعتمد على نظريات من سبقه فاستطاع ربط القوى المطبقة على جسم بتسارعه، وقدم قانون الجذب العام والتجاذب الكوني، ونتائجه القوانين الثلاثة لنيوتن.

بعض المفاهيم الأساسية

1 - 2) بعض المفاهيم الأساسية:

أ) المرجع والمعلم : (الشكل 01)

لدراسة حركة جسم ما وليكن المتحرك $G$ نحتاج إلى مرجع تنسب إليه الحركة، ولتحديد مواضعه $G$ في الفضاء نحتاج إلى معلم $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})$ ، وساعة لقياس الزمن.

- هناك عدة مراجع منها:

المراجع الغاليلية (العطالية)، المرجع الهليومركزي (الشمسي)، المرجع الجيومركزي (الأرضي)، المرجع السطحي الأرضي.

يمكن اعتبار الجمة نقطة مادية إذا كانت أبعادها مهملة أمام المرجع الذي تنسب إليه الحركة.

ب) مفهوم مركز العطالة: (الشكل 02)

في الجملة الشبه معزولة توجد على الأقل نقطة ساكنة أو تتحرك بحركة مستقيمة منتظمة بالنسبة لمعلم غاليلي، في ميكانيك نيوتن هذه النقطة تنطبق دائما على مركز الكتلة الذي يمثل مركز المسافات المتناسبة لمجموعة النقاط المادية $(M_{1},M_{2},M_{3}...)$ للجملة بحيث : $\overrightarrow{OG} = \frac{m_{1}\overrightarrow{OM_{1}}+m_{2} \overrightarrow{OM_{3}} +m_{3}\overrightarrow{OM_{3}}+ ...}{\sum m_{1}}$

بعض المفاهيم الأساسية

1 - 3) بعض المفاهيم الأساسية:

أ) مفهوم التسارع: (الشكل 01)

* شعاع الموضع : يكتب في الفضاء شعاع الموضع كما يلي: $\overrightarrow{r} = x.\overrightarrow{i}+y.\overrightarrow{j} + z.\overrightarrow{k}$

إذا انتقل جسم بين موضعين كما في الشكل فإن شعاع الموضع $\Delta \overrightarrow{r}$ يكتب: $\Delta \overrightarrow{r} = \overrightarrow{r_{2}} - \overrightarrow{r_{1}} = \Delta x.\overrightarrow{i} + \Delta y. \overrightarrow{j} + \Delta z.\overrightarrow{k}$

* شعاع السرعة : يعرف كما يلي:

- شعاع السرعة المتوسطة : $\overrightarrow{V}_{moy} = \frac{\Delta \overrightarrow{r}}{\Delta \overrightarrow{t}}$

- شعاع السرعة اللحظية : $\overrightarrow{V} = \frac{d\overrightarrow{r}}{dt} =\begin{matrix} lim \\ \Delta t\rightarrow 0 \end{matrix} \, \, \frac{\Delta \overrightarrow{r}}{\Delta \overrightarrow{t}}$

أي : $\overrightarrow{V} = \frac{d\overrightarrow{r}}{dt} = \frac{dx}{dt}.\overrightarrow{i} + \frac{dy}{dt}.\overrightarrow{j} + \frac{dz}{dt}.\overrightarrow{k}$

قيمة السرعة في معلم كارتيزي هي : $V = \sqrt{V^{2}_{x}+V^{2} _{y}} + V^{2}_{z}$

ب) القانون الأول لنيوتن (مبدأ العطالة): في المعالم العطالية أو الغاليلية يحافظ الجسم على سكونه أو حركته المستقيمة المنتظمة إذا لم تتدخل أي قوة لتغيير حالته الحركية أي : لما $\overrightarrow{F_{i}} = \overrightarrow{0}$ $\sum_{}^{i}\,$ فإن $\Delta \overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$ ومنه $v = cte$ .

جـ) القانون الثالث لنيوتن: (الشكل 02)

* تجربة : كيف نرسم شعاع التسارع ؟ (عمل مخبري)

نقوم بالنشاط الموضح في (الشكل 02)، ونمثل شعاع التسارع $\overrightarrow{a}$ لمركز عطالة الجملة في أي لحظة كما هو مبين في الشكل المقابل.

- في معلم معين وفي لحظة معينة $t$ يعرف شعاع التسارع لمركز عطالة جملة كما يلي : $\overrightarrow{a} = \frac{d\overrightarrow{v}_{G}}{dt} = \begin{matrix} lim\\ \Delta t\rightarrow 0 \end{matrix} \, \frac{\Delta \overrightarrow{v}_{G}}{\Delta t}$ وحته $(m/s^{2})$ .

* عبارة القانون الثانية لنيوتن: في معلم غاليلي المجموع الشعاعي للقوة المؤثرة على جملة مادية يساوي في كل لحظة جداء كتلتها في شعاع تسارع مركز عطالتها بحيث : $\overrightarrow{F_{ex}} = m.\overrightarrow{a}$ $\sum$

د) القانون الثالث لنيوتن (مبدأ الفعلين المتبادلين):

إذا أثرت جملة $A$ على جملة $B$ بقوة $\overrightarrow{F}_{A/B}$ فإن الجملة $B$ تؤثر على الجملة $A$ بقوة $\overrightarrow{F}_{B/A}$ تماثلها في الشدة وتزامنها وتعاكسها في الإتجاه ولهما نفس الحامل بحيث : $\overrightarrow{F}_{A/B} = -\overrightarrow{F}_{B/A}$ .

شرح حركة كوكب أو قمر صناعي

2) شرح حركة كوكب أو قمر صناعي : محاكاة $TICE$

2 - 1) شروط الحصول على حركة دائرية :

تكون الجملة المادية في حالة حركة دائرية منتظمة إذا كانت سرعتها الإبتدائية غير معدومة خاصعة لقوة مركزية (قوة عمودية على شعاع السرعة).

عبارة التسارع الناظمي ودور الحركة

2 - 2) عبارة التسارع الناظمي ودور الحركة : (الشكل 01)

تعطى عبارة التسارع الناظمي $a_{n}$ كما يلي : $a_{n} = \frac{v^{2}}{r}$

* دور الحركة هو المدة اللازمة لإنجاز دورة واحدة أي قطع مسافة $2\pi r$ بحيث : $T = \frac{2\pi r}{v} ............. (1) \Leftarrow T = \frac{x}{v}$

الحركة الدائرية المنتظمة للكواكب والأقمار الإصطناعية

2 - 3) الحركة الدائرية المنتظمة للكواكب والأقمار الإصطناعية : (الشكل 01)

أ) تفسير الحركة : نختار معلما بحيث يكون أحد محاوره ناظمي كما في (الشكل 01).

* باستعمال القانون الثاني لنيوتن نجد:

$\overrightarrow{F} = m.\overrightarrow{a} \Leftarrow \sum \overrightarrow{F_{ex}} = m.\overrightarrow{a}$

بالإسقاط على الناظم نجد :

$F = m\frac{v^{2}}{r} .............. {(1)}' \! \! \Leftarrow F = m.a_{n}$

* باستعمال قانون الجذب العام نجد :

$F = G \ast \frac{m.M}{r^{2}} ................ {(2)}'$ بحيث $G = 6,67 \ast 10^{-11}$ : ثابت الجذب العام.

من ${(1)}'$ و ${(2)}'$ نجد $v^{2} = G\ast \frac{M}{r} \Leftarrow \not{m} \frac{v^{2}}{r} = G \ast \frac{\not{m}.M}{r^{2}}$ ومنه نجد عبارة السرعة المدارية ${\color{Red} v_{orb} = \sqrt{\frac{G.M}{r}}}$

ومن العلاقة $(1)$ نجد : $T = \frac{2\pi r}{v_{orb}}$ نتحصل على العلاقة ${\color{Red} T^{2} =} \frac{4\pi ^{2}}{G.M}{\color{Red} ^{3}}$

- في حالة كوكب يدور حول الشمس $(S)$ : يكون $v_{orb} = \sqrt{\frac{G.M{\color{Red} _{s}}}{r}}$ ، $T^{2} = \frac{4\pi ^{2}}{G.M{\color{Red} _{s}}}r^{3}$

بحيث $M_{s}$ : كتلة الشمس.

$r$ : البعد بين الكوكب ومركز الشمس.

- في حالة قمر اصطناعي يدور حول الأرض $(T)$ : يكون $v_{orb} = \sqrt{\frac{G.M_{r}}{r}}$ ، $T^{2} = \frac{4\pi ^{2}}{G.M{\color{Red} _{r}}}r^{3} = \frac{4\pi ^{2}}{G.M{\color{Red} _{r}}} (R_{R} + h)^{3}$

بحيث : $M_{r}$ : كتلة الأرض.

$R_{r}$ : نصف قطر الأرض.

$h$ : بعد القمر عن سطح الأرض.

*** إن كتلة الكواكب والأقمار لا تؤثر على السرعة المدارية والدور.

قوانين كبلر

2 - 4) قوانين كبلر:

أ) القانون الأول : (الشكل 01)

إن الكواكب تتحرك وفق مدارات إهليجية تمثل الشمس أحمد محرقيها (الشكل 01)

- الإهليج : هو منحنى يكون فيه مجموع المسافتين من نقطة منه إلى المحرقين ${F}',F$ ثابتا (قطع ناقص).

* $a = r_{1} + r_{2}$ : المحور الكبير.

* $2d$ : المحور الصغير.

ب) القانون الثاني : (الشكل 02)

إن المستقيم الرابط بين الشمس وكوكب يمسح مساحات متساوية خلال مجالات زمنية متساوية (الشكل 02).

* إذا كان المجالين الزمنيين للإنتقالين متساويين فإن سرعة الكوكب هي التي تتغير على مداره.

جـ) القانون الثالث:

يتناسب مربع الدور لمدار كوكب مع مكعب البعد المتوسط للكوكب عن الشمس (نصف المحور الكبير) بحيث : ${\color{Red} T^{2} = K\, .a^{3}}$ ، $K = cte$ .

إستنتاج قانون الجذب العام من قانون كبلر

2 - 5) إستنتاج قانون الجذب العام من قانون كبلر:

من القانون الثالث لكبلر ومن عبارة الدور السابقة : $T^{2} = K\, .r^{3} = \frac{4\pi ^{2}}{G.M}r^{3}$

يمكن تحديد القوة المتسببة في الحركة الدائرية المنتظمة للأقمار والكواكب، علما أن $\left \{ v^{2} = \frac{4\pi ^{2}r^{2}}{T^{2}} \! \, \, \, ,\! \! \, \, \, T = \frac{2\pi r^{3}}{v} \right \}$

وحسب القانون الثاني لنيوتن : $F = \frac{4\pi ^{2}m}{Kr^{3}} ................. {\color{Red} {(2)}'} \Leftarrow F = m\, .a_{n} = m\frac{v^{2}}{r}$

بحيث $m$ : كتلة الكوكب أو القمر الصناعي.

$K$ : يتعلق بكتلة الجسم المركزي $M$ فقط فجميع مدارات الكواكب لها نفس الثابت.

* بالنسبة للكواكب : $K_{s} = \frac{4\pi ^{2}}{GM_{s}}$ .

* بالنسبة للأقمار الإصطناعية : $K_{r} = \frac{4\pi ^{2}}{GM_{r}}$ .

بتعويض قيمة $K$ في العلاقة ${(2)}'$ : $F = \frac{4\pi ^{2}m}{Kr^{3}} = \frac{\not{4}\not{\pi }^{2}mGM}{\not{4}\not{\pi }^{2}r^{2}}$ ومنه نستنتج قانن الجذب العام : ${\color{Red} F = G\frac{mM}{r^{2}}}$

دراسة حركة السقوط الشاقولي لجسم صلب في الهواء

3) دراسة حركة السقوط الشاقولي لجسم صلب في الهواء:

3 - 1) دراسة حركة السقوط الحقيقي لجسم صلب في الهواء - عمل مخبري : (الشكل 01)

التجربة : نترك أربع بالونات مربوطة مثقلة بجسم كتلته $m = 19g$ و حجم $V = 5,4L$

* عند القيام بالتجربة وتسجيل النتائج بواسطة برنامج مناسب نجد المنحنى $v = f(t)$ ونميز فيه نظامين (إنتقالي ودائم)، بحيث نجد السرعة الحدية $V_{L} = 2m/s$ - الزمن المميز : $\tau = 0,32s$

القوى المؤثرة على جسم صلب

3 - 2) القوى المؤثرة على جسم صلب: (الشكل 01)

- القوى هي :

* الثقل : قوة تأثير الأرض $\overline{p} = m.\overline{g}$ .

* دافعة أرخميس : يخضع لها كل جسم مغمور في مائع (هواء، سائل).

قيمتها تساوي ثقل المائع المزاح : $\overline{\pi } = -\rho_{f}.V.\overrightarrow{g}$

$\rho _{f}$ : الكتلة الحجمية للمائع $V - (Kg/m^{3})$ : حجم الجسم الصلب المتحرك $(m^{3})$

$g$ : تسارع الجاذبية $(m/s^{2})$

* قوى الإحتكاك $\overrightarrow{f}$ : قوة مقاومة الهواء للجسم الساقط تزداد بزيادة السرعة.

- في حالة السرعة الضعيفة $f = k\, v$ .

- وفي حالة السرعات الكبيرة $f = {k}'v^{2}$ بحيث $K$ ، ${K}'$ ثابتان.

تطبيق القانون الثاني لنيوتن على الجسم الصلب

3 - 3) تطبيق القانون الثاني لنيوتن على الجسم الصلب:

باختيار مرجع مناسب وبتطبيق القانون الثاني لنيوتن (الشكل السابق) نجد : $\overrightarrow{P} + \overrightarrow{\pi } + \overrightarrow{f} = m.\overrightarrow{a} \Leftarrow \sum \overrightarrow{F}_{ex} = m.\overrightarrow{a}$

بالإسقاط على محور الحركة نجد : $P - \pi - f = m.a$

لدينا : $m\frac{dv_{z}}{dt} = mg - \rho _{f}Vg-f \Leftarrow a = \frac{dv_{z}}{dt}$

* لما $\Leftarrow f = k\, v$ المعادلة من الشكل $\frac{dv_{z}}{dt} = \frac{k}{m}v = g \left [ 1-\frac{\rho _{f}}{\rho _{s}} \right ]$ حلها من الشكل : $v = \frac{mg}{k}\left [ 1-\frac{\rho _{f}}{\rho _{s}} \right ]\left [ 1-e^{-\frac{k}{m}t} \right ]$

السرعة الحدية : $V_{L} = \frac{mg}{k}\left [ 1-\frac{\rho _{f}}{\rho _{s}} \right ]$ ، الزمن المميز : $\tau = \frac{m}{k}$

* لما $\Leftarrow f = {k}'v^{2}$ المعادلة من الشكل $\frac{dv_{z}}{dt} + \frac{{k}'}{m}v^{2} = g \left [ 1-\frac{\rho _{f}}{\rho _{s}} \right ]$ ، السرعة الحدية : $V_{L} = \sqrt{\frac{mg}{{k}'}\left [ 1-\frac{\rho _{f}}{\rho _{s}} \right ]}$

- $V_{L}$ : تزداد بزياد الكتلة الحجمية للجسم الصلب $\rho _{S}$ .

- تبلغ الحركة النظام الدائم (ثبات السرعة) لما $t \simeq 5\tau$

دراسة حركة السقوط الحر لجسم صلب بإهمال قوى الإحتكاك

3 - 4) دراسة حركة السقوط الحر لجسم صلب بإهمال قوى الإحتكاك:

أ) قانون السقوط الحر :

إن السقوط في الفراغ غير مرتبط بالكتلة في غياب مقاومة الهواء، كل الأجسام تسقط بالتسارع نفسه، مهما كان حجمها أو شكلها.

ب) حركة مركز عطالة جسم في سقوط حر: (الشكل 01)

الدراسة التحريكية:

بعد تمثيل القوى وبإهمال قوى الإحتكاك وإهمال $\overrightarrow{\pi }$ أمام $\overrightarrow{P}$ بتطبيق القانون الثاني لنيوتن على الجسم $(s)$ نجد:

$\overrightarrow{P} + \not{\overrightarrow{\pi }} + \not{\overrightarrow{f}} = m\, {\overrightarrow{a}} \Leftarrow \sum \overrightarrow{F}_{ex} = m. {\overrightarrow{a}}$

${\color{Red} a = g} .................... {\color{Red} (1)} \Leftarrow m \, g = m\, a \Leftarrow P = m\, a$

ثابت $\leftarrow a =$ إذا الحركة مستقيمة متغيرة بانتظام.

الدراسة التحليلية:

يجب تحديد الشروط الإبتدائية $t = 0$

لما $\left \{ v_{0} = 0 \, ,\, z_{0} = 0 \right \} \leftarrow t = 0$

* معادلة السرعة : $v (t) = \int a(t).dt$ بمكاملة العلاقة $(1)$ نجد $v(t) = g.t + c_{1}$

نحدد $c_{1}$ من الشروط الإبتدائية بحيث ${\color{Blue} c1 = 0} \Leftarrow v (0) = g\ast 0 + c_{1} = 0$ ومنه معادلة السرعة ${\color{Red} v(t) = g.t} .............. {\color{Red} (2)}$

* معادلة المسافة : $z(t) = \int v(t).dt$ بمكاملة العلاقة $(2)$ نجد $z (t) = \frac{1}{2}g.t^{2} + c_{2}$ .

نحدد $c_{2}$ من الشروط الإبتدائية بحيث ${\color{Blue} c_{2} = 0}\Leftarrow z(0) = \frac{1}{2}g\ast 0^{2} + c_{2} = 0$ ومنه معادلة ${\color{Red} z(t) = \frac{1}{2}g.t^{2}} ............... {\color{Red} (2)}$

تطبيقات

4) تطبيقات:

4 - 1) تطبيق القانون الثاني لنيوتن:

4 - 1 - 1) حركة قذيفة بسرعة إبتدائية غير شاقولية:

نقذف جسم بسرعة إبتدائية $\left \{ \overrightarrow{v}_{0} \right \}$ كما هو موضح في الشكل، نختار معلما $(O,\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ بحيث يكون متواجد في المستوي $(XOY)$ (الشكل 01).

نحدد الشروط الإبتدائية:

ونمثل القوى المؤثرة :

بتطبيق القانون الثاني لنيوتن : $\overrightarrow{P} = m\, \overrightarrow{a} \Leftarrow \sum \overrightarrow{F} = m.\overrightarrow{a}$ بالإسقاط :

* على المحور $\overrightarrow{OX}$ : ${\color{Red} a_{0} = 0} .............. {\color{Red} (1)} \Leftarrow 0 = m\, a_{x}$

حركة مستقيمة منتظمة $v_{x} = cte$

معادلة السرعة : من العلاقة ${\color{Red} v_{x}(t) = v_{xo} = v_{o}\, cos\, a} ............. {\color{Red} (2)} \leftarrow (1)$

معادلة السرعة : من العلاقة ${\color{Red} x(t) = v_{o}\, cos\, a \, \, \, t} ............. {\color{Red} (3)} \leftarrow (2)$

* على المحور ${\color{Red} \overrightarrow{OY}}$

نجد : ${\color{Red} a_{y} = -g} ................ {\color{Red} {(1)}'}\leftarrow -m\, g = m\, a_{y}$

حركة مستقيمة متغيرة بانتظام $a_{y} = cte$

معادلة السرعة : من العلاقة ${\color{Red} v_{y}(t) = -g\, t+v_{o}\, cos\, a} ............. {\color{Red} {(2)}'} \leftarrow {(1)}'$

وفيما يلي تفاصيل اكثر في هذه الفيديوهات:

الفيديو الاول: